Ejemplos de espacios vectoriales

Esta página enumera algunos ejemplos de espacios vectoriales . Consulte espacio vectorial para ver las definiciones de los términos utilizados en esta página. Véase también: dimensión , base .

Notación . Sea F un campo arbitrario como los números reales R o los números complejos C .

El ejemplo más simple de un espacio vectorial es el trivial: {0}, que contiene únicamente el vector cero (véase el tercer axioma en el artículo sobre espacios vectoriales ). Tanto la suma de vectores como la multiplicación escalar son triviales. Una base para este espacio vectorial es el conjunto vacío , de modo que {0} es el espacio vectorial de dimensión 0 sobre F. Todo espacio vectorial sobre F contiene un subespacio isomorfo a este.

El espacio vectorial cero es conceptualmente diferente del espacio nulo de un operador lineal L , que es el núcleo de L. (Por cierto, el espacio nulo de L es un espacio cero si y solo si L es inyectivo ).

El siguiente ejemplo más sencillo es el propio cuerpo F. La suma de vectores es simplemente la suma de cuerpos, y la multiplicación escalar es simplemente la multiplicación de cuerpos. Esta propiedad se puede usar para demostrar que un cuerpo es un espacio vectorial. Cualquier elemento no nulo de F sirve como base, por lo que F es un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo.

El campo es un espacio vectorial bastante especial; de hecho, es el ejemplo más simple de un álgebra conmutativa sobre F. Además, F tiene solo dos subespacios : {0} y F mismo.

Un ejemplo básico de espacio vectorial es el siguiente. Para cualquier entero positivo n , el conjunto de todas las n -tuplas de elementos de F forma un espacio vectorial n- dimensional sobre F, a veces llamado espacio de coordenadas y denotado F ⁿ . ^{[ 1 ]} Un elemento de F ⁿ se escribe

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

donde cada x _i es un elemento de F. Las operaciones sobre F ⁿ se definen por

${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$

${\displaystyle \alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})}$

${\displaystyle 0=(0,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})}$

Generalmente, F es el cuerpo de los números reales , en cuyo caso obtenemos el espacio de coordenadas reales R ⁿ . El cuerpo de los números complejos da lugar al espacio de coordenadas complejas C ⁿ . La forma a + bi de un número complejo muestra que C es un espacio vectorial real bidimensional con coordenadas ( a , b ). De manera similar, los cuaterniones y los octoniones son, respectivamente, espacios vectoriales reales de cuatro y ocho dimensiones, y C ⁿ es un espacio vectorial real de 2n dimensiones.

El espacio vectorial F ⁿ tiene una base estándar :

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots ,1)}$

donde 1 denota la identidad multiplicativa en F.

Sea F ^∞ el espacio de secuencias infinitas de elementos de F tales que solo un número finito de elementos son distintos de cero. Es decir, si escribimos un elemento de F ^∞ como

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$

Entonces, solo un número finito de los x _i son distintos de cero (es decir, las coordenadas se vuelven todas cero después de cierto punto). La suma y la multiplicación escalar se dan como en un espacio de coordenadas finito. La dimensionalidad de F ^∞ es infinitamente numerable . Una base estándar consiste en los vectores e _i que contienen un 1 en la i -ésima posición y ceros en las demás. Este espacio vectorial es el coproducto (o suma directa ) de un número numerable de copias del espacio vectorial F.

Nótese el papel de la condición de finitud aquí. Se podrían considerar secuencias arbitrarias de elementos en F , que también constituyen un espacio vectorial con las mismas operaciones, a menudo denotado por F ^N - ver más abajo . F ^N es el producto de una cantidad numerable de copias de F .

Según el lema de Zorn , F ^N tiene una base (no hay una base obvia). Hay infinitos elementos no numerables en la base. Dado que las dimensiones son diferentes, F ^N no es isomorfo a F ^∞ . Cabe destacar que F ^N es (isomorfo a) el espacio dual de F ^∞ , porque una aplicación lineal T de F ^∞ a F está determinada unívocamente por sus valores T ( e _i ) en los elementos de la base de F ^∞ , y estos valores pueden ser arbitrarios. Así, se observa que un espacio vectorial no tiene por qué ser isomorfo a su doble dual si es de dimensión infinita, a diferencia del caso de dimensión finita.

Partiendo de n espacios vectoriales, o de una colección infinita numerable de ellos, cada uno con el mismo cuerpo, podemos definir el espacio producto como se indicó anteriormente.

Sea F ^{m × n} el conjunto de matrices m × n con entradas en F. Entonces F ^{m × n} es un espacio vectorial sobre F. La suma de vectores es simplemente la suma de matrices y la multiplicación escalar se define de la forma obvia (multiplicando cada entrada por el mismo escalar). El vector cero es simplemente la matriz cero . La dimensión de F ^{m × n} es mn . Una posible elección de base son las matrices con una sola entrada igual a 1 y todas las demás entradas iguales a 0.

Cuando m = n la matriz es cuadrada y la multiplicación matricial de dos de estas matrices produce una tercera. Este espacio vectorial de dimensión n ² forma un álgebra sobre un cuerpo .

Consulte el artículo principal en Espacio de funciones , especialmente la sección de análisis funcional.

Sea X un conjunto arbitrario no vacío y V un espacio vectorial arbitrario sobre F. El espacio de todas las funciones de X a V es un espacio vectorial sobre F bajo la suma y multiplicación puntuales . Es decir, sean f  : X → V y g  : X → V dos funciones, y sea α en F. Definimos

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

${\displaystyle (\alpha f)(x)=\alpha f(x)}$

donde las operaciones del lado derecho son las de V. El vector cero viene dado por la función constante que envía todo al vector cero en V. El espacio de todas las funciones de X a V se denota comúnmente como V ^X.

Si X es finito y V es de dimensión finita, entonces V ^X tiene dimensión | X |(dim V ), de lo contrario el espacio es de dimensión infinita (no numerable si X es infinito).

Muchos de los espacios vectoriales que surgen en matemáticas son subespacios de algún espacio de funciones. A continuación, presentamos algunos ejemplos adicionales.

Supongamos que K es un subcampo de F (véase extensión de campo ). Entonces F puede considerarse un espacio vectorial sobre K restringiendo la multiplicación escalar a elementos de K (la suma vectorial se define como normal). La dimensión de este espacio vectorial, si existe, ^{[ a ]} se denomina grado de la extensión. Por ejemplo, los números complejos C forman un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales R. De igual modo, los números reales R forman un espacio vectorial sobre los números racionales Q que tiene dimensión infinita (no numerable), si existe una base de Hamel. ^{[ b ]}

Si V es un espacio vectorial sobre F, también puede considerarse un espacio vectorial sobre K. Las dimensiones están relacionadas por la fórmula

tenue _K V = (tenue _F V )(tenue _K F )

Por ejemplo, C ⁿ , considerado como un espacio vectorial sobre los números reales, tiene dimensión 2 n .

Aparte del caso trivial de un espacio cero-dimensional sobre cualquier cuerpo, un espacio vectorial sobre un cuerpo F tiene un número finito de elementos si y solo si F es un cuerpo finito y el espacio vectorial tiene una dimensión finita. Así, tenemos F _q , el único cuerpo finito (salvo isomorfismo ) con q elementos. Aquí q debe ser una potencia de un primo ( q = p ^m con p primo). Entonces, cualquier espacio vectorial n- dimensional V sobre F _q tendrá q ⁿ elementos. Nótese que el número de elementos en V también es una potencia de un primo (porque una potencia de una potencia de un primo es de nuevo una potencia de un primo). El ejemplo principal de tal espacio es el espacio de coordenadas ( F _q ) ⁿ .

Estos espacios vectoriales son de vital importancia en la teoría de la representación de grupos finitos , la teoría de números y la criptografía .

• Lang, Serge (1987). Álgebra lineal . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96412-6.