Excelente anillo

• Un anillo${\displaystyle R}$que contiene un campo${\displaystyle k}$se denomina geométricamente regular sobre${\displaystyle k}$si para cualquier extensión finita${\displaystyle K}$de${\displaystyle k}$el anillo${\displaystyle R\otimes _{k}K}$es regular .
• Un homomorfismo de anillos de${\displaystyle R\to S}$se llama regular si es plano y para cada${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$la fibra${\displaystyle S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})}$es geométricamente regular sobre el campo residual${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})}$de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• Un anillo${\displaystyle R}$se denomina anillo G ^{[ 1 ]} (o anillo de Grothendieck ) si es noetheriano y sus fibras formales son geométricamente regulares; esto significa que para cualquier${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$, el mapa del anillo local${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to {\hat {R_{\mathfrak {p}}}}}$hasta su finalización es regular en el sentido antes mencionado.
• Finalmente, un anillo${\displaystyle R}$es J-2 si cualquier tipo finito${\displaystyle R}$-álgebra${\displaystyle S}$es J-1 , lo que significa el subesquema regular${\displaystyle {\text{Reg}}({\text{Spec}}(S))\subset {\text{Spec}}(S)}$está abierto. ^{[ 2 ]}

Un anillo${\displaystyle R}$Se denomina cuasi-excelente si es un anillo G y un anillo J-2. Se denomina excelente ^{[ 3 ] pág. 214} si es cuasi-excelente y universalmente catenario .

Un esquema se considera excelente o casi excelente si está cubierto por subesquemas afines abiertos con la misma propiedad, lo que implica que cada subesquema afín abierto posee dicha propiedad.

Dado un excelente plan${\displaystyle X}$y un morfismo de tipo localmente finito${\displaystyle f:X'\to X}$, entonces${\displaystyle X'}$es excelente ^{[ 3 ] pág. 217} .

Cualquier anillo casi excelente es un anillo Nagata .

Cualquier anillo local reducido cuasi-excelente se reduce analíticamente .

Cualquier anillo local normal cuasi-excelente es analíticamente normal .

La mayoría de los anillos conmutativos que aparecen de forma natural en la teoría de números o la geometría algebraica son excelentes. En particular:

• Todos los anillos locales noetherianos completos, por ejemplo todos los cuerpos y el anillo Z _p de enteros p -ádicos , son excelentes.
• Todos los dominios de Dedekind de característica 0 son excelentes. En particular, el anillo Z de los enteros es excelente. Los dominios de Dedekind sobre cuerpos de característica mayor que 0 no tienen por qué ser excelentes.
• Los anillos de series de potencias convergentes en un número finito de variables sobre R o C son excelentes.
• Cualquier localización de un anillo excelente es excelente.
• Cualquier álgebra finitamente generada sobre un anillo excelente es excelente. Esto incluye todas las álgebras de polinomios.${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$con${\displaystyle R}$Excelente. Esto significa que la mayoría de los anillos considerados en geometría algebraica son excelentes.

Aquí hay un ejemplo de un anillo de valuación discreta A de dimensión 1 y característica p > 0 que es J-2 pero no un G-anillo y por lo tanto no es cuasi-excelente. Si k es cualquier cuerpo de característica p con [ k  : k ^p ] = ∞ y A es el anillo de series de potencias Σ a _i x ⁱ tal que [ k ^p ( a ₀ , a ₁ , ...)  : k ^p ] es finito entonces las fibras formales de A no son todas geométricamente regulares por lo que A no es un G-anillo. Es un anillo J-2 ya que todos los anillos locales noetherianos de dimensión como máximo 1 son anillos J-2. También es universalmente catenario ya que es un dominio de Dedekind. Aquí k ^p denota la imagen de k bajo el morfismo de Frobenius a → a ^p .

Aquí tenemos un ejemplo de un anillo que es un G-anillo pero no un J-2-anillo y, por lo tanto, no es cuasi-excelente. Si R es el subanillo del anillo de polinomios k [ x ₁ , x ₂ ,...] en infinitos generadores generados por los cuadrados y cubos de todos los generadores, y S se obtiene de R adjuntando inversos a todos los elementos que no están en ninguno de los ideales generados por algún x _n , entonces S es un dominio noetheriano unidimensional que no es un J-1- anillo ya que S tiene una singularidad de cúspide en cada punto cerrado , por lo que el conjunto de puntos singulares no es cerrado, aunque sea un G-anillo. Este anillo también es universalmente catenario, ya que su localización en cada ideal primo es un cociente de un anillo regular.

El ejemplo de Nagata de un anillo local noetheriano bidimensional que es catenario pero no universalmente catenario es un anillo G, y también es un anillo J-2, ya que cualquier anillo G local es un anillo J-2 ( Matsumura 1980 , p. 88, 260) . Por lo tanto, es un anillo local catenario cuasi-excelente que no es excelente.