Círculo interno y círculo externo

Las coordenadas trilineales de un punto en el triángulo son la razón de todas las distancias a los lados del triángulo. Dado que el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales del incentro son ^{[ 6 ].}$${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

Las coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo dan ponderaciones tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas del incentro vienen dadas por $${\displaystyle a:b:c}$$ dónde${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$son las longitudes de los lados del triángulo, o equivalentemente (usando la ley de los senos ) por $${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$ dónde${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$, y${\displaystyle C}$son los ángulos en los tres vértices.

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices utilizando las longitudes de los lados del triángulo en relación con el perímetro (es decir, utilizando las coordenadas baricéntricas dadas anteriormente, normalizadas para que sumen la unidad) como ponderaciones. Las ponderaciones son positivas, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente. Si los tres vértices están ubicados en${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$,${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$, y${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$, entonces el centro está en$${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

Denotemos el incentro de${\displaystyle \triangle ABC}$como${\displaystyle I}$.

La distancia desde el vértice${\displaystyle A}$al centro${\displaystyle I}$es: $${\displaystyle {\overline {AI}}=d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

Utiliza la ley de los senos en el triángulo.${\displaystyle \triangle IAB}$.

Nosotros obtenemos${\displaystyle {\frac {\overline {AI}}{\sin {\frac {B}{2}}}}={\frac {c}{\sin \angle AIB}}}$Tenemos eso${\displaystyle \angle AIB=\pi -{\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {C}{2}}}$.

Resulta que${\displaystyle {\overline {AI}}=c\ {\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}}$.

La igualdad con la segunda expresión se obtiene de la misma manera.

Las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen la ecuación ^{[ 7 ].}$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

Además, ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$ dónde${\displaystyle R}$y${\displaystyle r}$son el radio de la circunferencia circunscrita y el radio de la circunferencia inscrita del triángulo , respectivamente.

La colección de centros de triángulos puede tener la estructura de un grupo mediante la multiplicación coordenada por coordenada de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento identidad . ^{[ 6 ]}

Las distancias desde un vértice a los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; por ejemplo, desde el vértice${\displaystyle A}$: ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+ca)=sa,}$$ dónde${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$es el semiperímetro .

De manera similar, los puntos de tangencia del círculo inscrito dividen los lados en segmentos de longitudes${\displaystyle sb}$de${\displaystyle B}$, y${\displaystyle sc}$de${\displaystyle C}$(véase Líneas tangentes a un círculo ).

El radio interno${\displaystyle r}$del círculo inscrito en un triángulo con lados de longitud${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$,${\displaystyle c}$está dado por ^{[ 11 ]}$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}},}$$ dónde${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$es el semiperímetro (véase la fórmula de Herón ).

El radio del círculo inscrito está relacionado con el área del triángulo. ^{[ 12 ]} La razón entre el área del círculo inscrito y el área del triángulo es menor o igual que${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$, con la igualdad cumpliéndose solo para triángulos equiláteros . ^{[ 13 ]}

Suponer${\displaystyle \triangle ABC}$tiene un círculo inscrito con radio${\displaystyle r}$y centro${\displaystyle I}$. Dejar${\displaystyle a}$ser la longitud de${\displaystyle {\overline {BC}}}$,${\displaystyle b}$la longitud de${\displaystyle {\overline {AC}}}$, y${\displaystyle c}$la longitud de${\displaystyle {\overline {AB}}}$.

Ahora, el círculo inscrito es tangente a${\displaystyle {\overline {AB}}}$en algún momento${\displaystyle T_{C}}$, y entonces${\displaystyle \angle AT_{C}I}$es correcto. Por lo tanto, el radio${\displaystyle T_{C}I}$es una altitud de${\displaystyle \triangle IAB}$.

Por lo tanto,${\displaystyle \triangle IAB}$tiene longitud de base${\displaystyle c}$y altura${\displaystyle r}$y también tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$.

Similarmente,${\displaystyle \triangle IAC}$tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$y${\displaystyle \triangle IBC}$tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$.

Dado que estos tres triángulos se descomponen${\displaystyle \triangle ABC}$, vemos que el área${\displaystyle \Delta }$de${\displaystyle \triangle ABC}$es: $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$ y $${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$$ dónde${\displaystyle \Delta }$es el área de${\displaystyle \triangle ABC}$y${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$es su semiperímetro .

Para una fórmula alternativa, considere${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$. Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a${\displaystyle r}$y el otro lado igual a${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$Lo mismo ocurre con${\displaystyle \triangle IB'A}$El triángulo grande está compuesto por seis triángulos de este tipo y su área total es:$${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

Si las alturas desde lados de longitudes${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$son${\displaystyle h_{a}}$,${\displaystyle h_{b}}$, y${\displaystyle h_{c}}$, entonces el radio interno${\displaystyle r}$es un tercio de la media armónica de estas altitudes; es decir, ^{[ 14 ]}$${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

El producto del radio del círculo inscrito${\displaystyle r}$y el radio del círculo circunscrito${\displaystyle R}$de un triángulo con lados${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$es ^{[ 15 ]}$${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

Algunas relaciones entre los lados, el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito son: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

Cualquier línea que atraviese un triángulo y divida tanto su área como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su círculo inscrito). Hay una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado. ^{[ 17 ]}

El radio del círculo inscrito no es mayor que un noveno de la suma de las alturas. ^{[ 18 ] : 289}

La distancia al cuadrado desde el incentro${\displaystyle I}$al circuncentro${\displaystyle O}$está dado por ^{[ 19 ] : 232}$${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$ y la distancia desde el incentro hasta el centro${\displaystyle N}$del círculo de nueve puntos es ^{[ 19 ] : 232}$${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). ^{[ 19 ] : 233, Lema 1}

Fuente: ^{[ 23 ]}

Dejemos el círculo exterior en el lado${\displaystyle AB}$tocar en el lateral${\displaystyle AC}$extendido en${\displaystyle G}$y sea el radio de este círculo excircunferencial${\displaystyle r_{c}}$y su centro sea${\displaystyle J_{c}}$. Entonces${\displaystyle J_{c}G}$es una altitud de${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$, entonces${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$. Por un argumento similar,${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$y${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$tiene área${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$. Por lo tanto, el área${\displaystyle \Delta }$del triángulo${\displaystyle \triangle ABC}$es $${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}.}$$

Entonces, por simetría, denotando${\displaystyle r}$como el radio del círculo inscrito, $${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}.}$$

Por la Ley de los Cosenos , tenemos $${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

Combinando esto con la identidad${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$, tenemos $${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

Pero${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$, y entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$ que es la fórmula de Herón .

Combinando esto con${\displaystyle sr=\Delta }$, tenemos $${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

Similarmente,${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$da $${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

De las fórmulas anteriores se puede ver que los círculos externos son siempre mayores que el círculo interno y que el círculo externo más grande es el tangente al lado más largo y el círculo externo más pequeño es el tangente al lado más corto. Además, combinando estas fórmulas se obtiene: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$