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Articulo de referencia

Conjetura de cierre existencial

Gráfico de coloración de dominio de exp ⁡ ( z ) − z {\displaystyle \exp(z)-z} en el plano complejo. Los puntos negros representan los ceros de la función. En matemáticas , espec...

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Gráfico de coloración de dominio deexp⁡(z)−z{\displaystyle \exp(z)-z}en el plano complejo. Los puntos negros representan los ceros de la función.

En matemáticas , específicamente en los campos de la teoría de modelos y la geometría compleja , los problemas de cierre existencial buscan determinar cuándo los sistemas de ecuaciones con varias variables que involucran suma, multiplicación y algunas funciones trascendentales meromorfas especiales (por ejemplo, funciones exponenciales o modulares) tienen soluciones en los números complejos. Esta cuestión surge naturalmente en la teoría de modelos de funciones analíticas. Para ciertas funciones trascendentales, esta pregunta se responde conjeturalmente mediante la conjetura de cierre existencial para la función en cuestión. Estas conjeturas pueden considerarse generalizaciones del Teorema Fundamental del Álgebra y del Nullstellensatz de Hilbert , que tratan sobre la resolubilidad de (sistemas de) ecuaciones polinómicas en los números complejos.

La conjetura de cierre existencial fue propuesta por primera vez por Boris Zilber en su trabajo sobre la teoría de modelos de la exponenciación compleja. [ 1 ] [ 2 ] La conjetura de Zilber se conoce como cierre exponencial o cierre algebraico exponencial y abarca el caso de cierre existencial cuando la función trascendental involucrada es la función exponencial compleja. Posteriormente se generalizó a funciones exponenciales de variedades semiabelianas, [ 3 ] y se propusieron conjeturas análogas para funciones modulares [ 4 ] y variedades de Shimura. [ 5 ]

Declaración

De manera informal, dada una función trascendental complejaF{\displaystyle f}, la conjetura de cierre existencial paraF{\displaystyle f}afirma que los sistemas de ecuaciones que involucran operaciones de campo yF{\displaystyle f}siempre tenga soluciones endo{\displaystyle \mathbb {C} }a menos que la existencia de una solución contradiga trivialmente las propiedades algebraicas y trascendentales (hipotéticas) deF{\displaystyle f}A continuación se analizan dos casos concretos.

Cierre exponencial

En el caso de la función exponencialexp:do→do×:z↦miz{\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }:z\mapsto e^{z}} , la propiedad algebraica a la que se hace referencia anteriormente viene dada por la identidadexp⁡(z1+z2)=exp⁡(z1)⋅exp⁡(z2){\displaystyle \exp(z_{1}+z_{2})=\exp(z_{1})\cdot \exp(z_{2})}Se supone que sus propiedades trascendentales están capturadas por la conjetura de Schanuel . Esta última es un problema abierto de larga data en la teoría de números trascendentales e implica, en particular, quemi{\displaystyle e}yπ{\displaystyle \pi }son algebraicamente independientes sobre los racionales.

Algunos sistemas de ecuaciones no pueden tener soluciones debido a estas propiedades. Por ejemplo, el sistemaz2=2z1+1,exp⁡(z2)=(exp⁡(z1))2{\displaystyle z_{2}=2z_{1}+1,\exp(z_{2})=(\exp(z_{1}))^{2}}no tiene soluciones, y de manera similar para cualquier polinomio distinto de cero.pag(incógnita,Y){\displaystyle p(X,Y)}con coeficientes racionales el sistemaexp⁡(z)=−1,pag(z,exp⁡(1))=0{\displaystyle \exp(z)=-1,p(z,\exp(1))=0}no tiene solución si asumimosmi{\displaystyle e} yπ{\displaystyle \pi }son algebraicamente independientes. [ 6 ] Este último es un ejemplo de un sistema sobredeterminado , donde tenemos más ecuaciones que variables. La propiedad de cierre exponencial establece que un sistema de ecuaciones, que no está sobredeterminado y que no puede reducirse a un sistema sobredeterminado utilizando la propiedad algebraica mencionada anteriormente,exp{\displaystyle \exp }Siempre tiene soluciones en los números complejos. Formalmente, todo sistema libre y redondo de ecuaciones exponenciales tiene una solución. La libertad y la redondez son condiciones técnicas que definen la noción de un sistema no sobredeterminado.

Cierre existencial modular

En el entorno modular, la función trascendental que se considera es laj{\displaystyle j}-función . Sus propiedades algebraicas se rigen por las reglas de transformación bajo la acción deGRAMOL2+(Q){\displaystyle \mathrm {GL} _{2}^{+}(\mathbb {Q} )}– el grupo de2×2{\displaystyle 2\times 2}Matrices racionales con determinante positivo – en el semiplano superior . Las propiedades trascendentales dej{\displaystyle j}están capturadas por la Conjetura Modular de Schanuel. [ 4 ]

El cierre existencial modular establece que todo sistema de ecuaciones libre y amplio que involucre operaciones de campo y elj{\displaystyle j}La función tiene una solución compleja, donde la libertad y la amplitud desempeñan el papel de la libertad y la redondez mencionadas anteriormente.

Relación con la conjetura de Schanuel

La existencia de cierre puede considerarse una afirmación dual de la conjetura de Schanuel o su análogo en el contexto adecuado. Schanuel implica que ciertos sistemas de ecuaciones no pueden tener soluciones (o soluciones que sean independientes en algún sentido, por ejemplo, linealmente independientes), como demuestra el ejemplo anterior de ecuaciones exponenciales. Entonces, la existencia de cierre puede interpretarse, en términos generales, como la afirmación de que existen soluciones a menos que su existencia contradiga la conjetura de Schanuel. Este es el enfoque utilizado por Zilber. [ 2 ] Su axiomatización de la pseudoexponenciación incluye prominentemente a Schanuel y una versión fuerte de la existencia de cierre, que de hecho es dual a Schanuel. Esta versión fuerte predice la existencia de soluciones genéricas y se deduce de la combinación de las conjeturas de existencia de cierre, Schanuel y Zilber-Pink . [ 7 ] Sin embargo, la existencia de cierre es una conjetura natural por derecho propio y tiene sentido sin asumir necesariamente la conjetura de Schanuel (ni ninguna otra conjetura). De hecho, la conjetura de Schanuel se considera inalcanzable [ 8 ], mientras que el cierre existencial parece ser mucho más manejable, como lo demuestran los desarrollos recientes, algunos de los cuales se discuten a continuación.

Terminología

El nombre de Cerradura Existencial proviene de la propiedad de las estructuras propia de la teoría de modelos, conocida como cierre existencial , que describe el caso en que fórmulas sin cuantificadores, cuya realización en un modelo mayor ya existe en el modelo original. En el contexto de las funciones complejas, la conjetura de la Cerradura Existencial no implica que el cuerpo complejo dotado de la función dada sea existencialmente cerrado en un sentido de primer orden; en cambio, es existencialmente cerrado en ciertas extensiones autosuficientes .

Resultados parciales y casos especiales

La conjetura de la clausura existencial está abierta en su totalidad general tanto en el contexto exponencial como en el modular, pero se han demostrado muchos casos especiales y versiones débiles. Por ejemplo, la conjetura (en ambos contextos) se ha demostrado asumiendo una proyección dominante : cualquier sistema de ecuaciones polinómicas en las variablesz1,...,znorte{\displaystyle z_{1},...,z_{n}}yexp⁡(z1),...,exp⁡(znorte){\displaystyle \exp(z_{1}),...,\exp(z_{n})}(oj(z1),...,j(znorte){\displaystyle j(z_{1}),...,j(z_{n})}), lo cual no implica ninguna relación algebraica entrez1,...,znorte{\displaystyle z_{1},...,z_{n}}, tiene soluciones complejas. [ 9 ] [ 6 ] [ 10 ] Otro caso especial importante es la resolubilidad de sistemas de tipo elevación a potencias . [ 11 ] También se han demostrado análogos diferenciales/funcionales de la conjetura de cierre existencial. [ 12 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Zilber, Boris (2002), "Ecuaciones de sumas exponenciales y la conjetura de Schanuel", J. London Math. Soc. , 65 (2): 27– 44, doi : 10.1112/S0024610701002861.
  2. 1 2 Zilber, Boris (2005), "Pseudoexponenciación en cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero." , Ann. Pure Appl. Logic. , 132 (1): 67–95 , doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001.
  3. ↑ Bays, Martin; Kirby, Jonathan (2018), "Mapas pseudoexponenciales, variantes y cuasiminimalidad", Álgebra y Teoría de Números , 12 (3): 493– 549, arXiv : 1512.04262 , doi : 10.2140/ant.2018.12.493.
  4. 1 2 Aslanyan, Vahagn; Kirby, Jonathan (2022), "Desenfoques de laj{\displaystyle j}-función", Quarterly Journal of Mathematics , 72 (2): 461– 475, arXiv : 2005.10167 , doi : 10.1093/qmath/haab037.
  5. ↑ Eterović, Sebastian; Zhao, Roy (2025), "Variedades algebraicas y funciones automorfas", International Mathematics Research Notices (4), arXiv : 2107.10392 , doi : 10.1093/imrn/rnaf029
  6. 1 2 Aslanyan, Vahagn; Kirby, Jonathan; Mantova, Vincenzo (2023), "Un enfoque geométrico para algunos sistemas de ecuaciones exponenciales", International Mathematics Research Notices , 2023 (5): 4046– 4081, arXiv : 2105.12679 , doi : 10.1093/imrn/rnab340.
  7. ↑ Kirby, Jonathan; Zilber, Boris (2014), "Campos exponencialmente cerrados y la conjetura sobre intersecciones con toros", Annals of Pure and Applied Logic , 165 (11): 1680–1706 , arXiv : 1108.1075 , doi : 10.1016/j.apal.2014.06.002.
  8. ↑ Aslanyan, Vahagn (2024), "The Existential Closedness and Zilber–Pink conjectures", Model Theory , 3 (2): 599– 624, arXiv : 2403.09304 , doi : 10.2140/mt.2024.3.599.
  9. ↑ Brownawell, Dale; Masser, David (2017), "Estimaciones cero con objetivos en movimiento" (PDF) , J. Lond. Math. Soc. , 95 (2): 441–454 , doi : 10.1112/jlms.12014.
  10. ↑ Eterović, Sebastián; Herrero, Sebastián (2021), "Soluciones de ecuaciones que involucran el móduloj{\displaystyle j}-función", Trans. Amer. Math. Soc. , 374 (6): 3971– 3998, arXiv : 1907.09858 , doi : 10.1090/tran/8244.
  11. ↑ Gallinaro, Francesco (2023), "Ecuaciones de sumas exponenciales y geometría tropical", Selecta Mathematica , 29 (49), arXiv : 2203.13767 , doi : 10.1007/s00029-023-00853-y.
  12. ↑ Aslanyan, Vahagn; Eterović, Sebastian; Kirby, Jonathan (2021), "Cierre existencial diferencial para elj{\displaystyle j}-función", Proc. Amer. Math. Soc. , 149 : 1417– 1429, arXiv : 2003.10996 , doi : 10.1090/proc/15333.