Valor esperado

Ni Pascal ni Huygens utilizaron el término "expectativa" en su sentido moderno. En particular, Huygens escribe: ^{[ 7 ]}

Que cualquier posibilidad o expectativa de ganar algo vale exactamente la misma suma que se obtendría con la misma posibilidad y expectativa en una apuesta justa. ... Si espero a o b, y tengo la misma probabilidad de obtenerlos, mi expectativa vale (a+b)/2.

Más de cien años después, en 1814, Pierre-Simon Laplace publicó su tratado " Théorie analytique des probabilités ", donde se definió explícitamente el concepto de valor esperado: ^{[ 8 ]}

... esta ventaja en la teoría de la probabilidad es el producto de la suma esperada por la probabilidad de obtenerla; es la suma parcial que debería resultar cuando no deseamos correr los riesgos del evento suponiendo que la división sea proporcional a las probabilidades. Esta división es la única equitativa cuando se eliminan todas las circunstancias extrañas, porque un grado igual de probabilidad otorga un derecho igual a la suma esperada. Llamaremos a esta ventaja esperanza matemática.

Consideremos una variable aleatoria${\displaystyle X}$con una lista finita${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$de posibles resultados, cada uno de los cuales (respectivamente) tiene probabilidad${\displaystyle p_{1},...,p_{k}}$de ocurrir. La expectativa de${\displaystyle X}$se define como ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$$

Dado que las probabilidades deben satisfacer${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$, es natural interpretar${\displaystyle E[X]}$como un promedio ponderado de la${\displaystyle x_{i}}$valores, con ponderaciones dadas por sus probabilidades${\displaystyle p_{i}}$.

En el caso especial de que todos los resultados posibles sean equiprobables (es decir,${\displaystyle p_{1}=...=p_{k}}$), el promedio ponderado viene dado por el promedio estándar . En el caso general, el valor esperado tiene en cuenta el hecho de que algunos resultados son más probables que otros.

Ejemplos

• Dejar${\displaystyle X}$representan el resultado de lanzar un dado justo de seis caras. Más específicamente,${\displaystyle X}$será el número de puntos que se muestran en la cara superior del dado después del lanzamiento. Los posibles valores para${\displaystyle X}$son 1 , 2 , 3, 4, 5 y 6, todos los cuales son igualmente probables con una probabilidad de 1/6 . La esperanza de${\displaystyle X}$es$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$$Si uno tira el dado${\displaystyle n}$veces y calcula el promedio ( media aritmética ) de los resultados, luego como${\displaystyle n}$a medida que crece, el promedio casi con seguridad convergerá al valor esperado, un hecho conocido como la ley fuerte de los grandes números .
• El juego de la ruleta consiste en una pequeña bola y una rueda con 38 casillas numeradas alrededor del borde. A medida que la rueda gira, la bola rebota aleatoriamente hasta que se detiene en una de las casillas. Supongamos que la variable aleatoria${\displaystyle X}$representa el resultado (monetario) de una apuesta de $1 a un solo número (apuesta "directa"). Si la apuesta gana (lo que ocurre con una probabilidad de 1/38 en la ruleta americana), la ganancia es de $35; de lo contrario , el jugador pierde la apuesta. La ganancia esperada de dicha apuesta será$${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.}$$Es decir, el valor esperado a ganar con una apuesta de $1 es −$ 1 / 19 . Por lo tanto, en 190 apuestas, la pérdida neta probablemente será de alrededor de $10.

De manera informal, la esperanza de una variable aleatoria con un conjunto infinito numerable de resultados posibles se define de forma análoga como el promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde las ponderaciones vienen dadas por las probabilidades de obtener cada valor dado. Esto quiere decir que $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}$$ dónde${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$son los posibles resultados de la variable aleatoria${\displaystyle X}$y${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$son sus probabilidades correspondientes. En muchos libros de texto no matemáticos, esto se presenta como la definición completa de valores esperados en este contexto. ^{[ 13 ]}

Sin embargo, la suma infinita presenta ciertas sutilezas, por lo que la fórmula anterior no resulta adecuada como definición matemática. En particular, el teorema de la serie de Riemann, del análisis matemático, demuestra que el valor de ciertas sumas infinitas con sumandos positivos y negativos depende del orden en que se presentan dichos sumandos. Dado que los resultados de una variable aleatoria no tienen un orden natural, esto dificulta la definición precisa del valor esperado.

Por esta razón, muchos libros de texto de matemáticas solo consideran el caso en que la suma infinita dada anteriormente converge absolutamente , lo que implica que la suma infinita es un número finito independiente del orden de los sumandos. ^{[ 14 ]} En el caso alternativo en que la suma infinita no converge absolutamente, se dice que la variable aleatoria no tiene esperanza finita. ^{[ 14 ]}

Ahora consideremos una variable aleatoria.${\displaystyle X}$que tiene una función de densidad de probabilidad dada por una función${\displaystyle f}$en la recta numérica real . Esto significa que la probabilidad de${\displaystyle X}$La toma de cualquier valor en un intervalo abierto dado viene dada por la integral de f sobre ese intervalo. La esperanza de${\displaystyle X}$entonces viene dada por la integral ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.}$$ Una formulación general y matemáticamente precisa de esta definición utiliza la teoría de la medida y la integración de Lebesgue , y la teoría correspondiente de variables aleatorias absolutamente continuas se describe en la siguiente sección. Las funciones de densidad de muchas distribuciones comunes son continuas a trozos , y como tal, la teoría se desarrolla a menudo en este contexto restringido. ^{[ 16 ]} Para tales funciones, basta con considerar únicamente la integración de Riemann estándar . A veces, las variables aleatorias continuas se definen como aquellas que corresponden a esta clase especial de densidades, aunque el término es utilizado de manera diferente por varios autores.

De forma análoga al caso numerable-infinito anterior, existen sutilezas en esta expresión debido a la región infinita de integración. Dichas sutilezas pueden verse concretamente si la distribución de${\displaystyle X}$viene dada por la distribución de Cauchy Cauchy(0, π) , de modo que${\displaystyle f(x)=(x^{2}+\pi ^{2})^{-1}}$En este caso, es sencillo calcular que $${\displaystyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.}$$ El límite de esta expresión como${\displaystyle a\to -\infty }$y${\displaystyle b\to +\infty }$no existe: si los límites se toman de manera que${\displaystyle a=-b}$, entonces el límite es cero, mientras que si la restricción${\displaystyle 2a=-b}$se toma, entonces el límite es${\displaystyle \ln(2)}$.

Para evitar tales ambigüedades, en los libros de texto de matemáticas es común exigir que la integral dada converja absolutamente , con${\displaystyle E[X]}$de lo contrario queda sin definir. ^{[ 17 ]} Sin embargo, las nociones de la teoría de la medida que se presentan a continuación pueden utilizarse para dar una definición sistemática de${\displaystyle E[X]}$para variables aleatorias más generales${\displaystyle X}$.

Todas las definiciones del valor esperado pueden expresarse en el lenguaje de la teoría de la medida . En general, si${\displaystyle X}$es una variable aleatoria de valor real definida en un espacio de probabilidad${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$, entonces el valor esperado de${\displaystyle X}$, denotado por${\displaystyle E[X]}$, se define como la integral de Lebesgue ^{[ 18 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} .}$$ A pesar de la situación recién abstracta, esta definición es extremadamente similar en naturaleza a la definición más simple de valores esperados, dada anteriormente, como ciertos promedios ponderados. Esto se debe a que, en la teoría de la medida, el valor de la integral de Lebesgue de${\displaystyle X}$se define mediante promedios ponderados de aproximaciones de${\displaystyle X}$que toman un número finito de valores. ^{[ 19 ]} Además, si se da una variable aleatoria con un número finito o numerable de valores posibles, la teoría de la esperanza de Lebesgue es idéntica a las fórmulas de suma dadas anteriormente. Sin embargo, la teoría de Lebesgue aclara el alcance de la teoría de las funciones de densidad de probabilidad. Una variable aleatoria${\displaystyle X}$Se dice que es absolutamente continua si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• existe una función medible no negativa${\displaystyle f}$en la línea real de tal manera que$${\displaystyle \operatorname {P} (X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx,}$$para cualquier juego de Borel${\displaystyle A}$, en la que la integral es de Lebesgue.
• la función de distribución acumulativa de${\displaystyle A}$es absolutamente continuo .
• para cualquier juego de Borel${\displaystyle A}$de números reales con medida de Lebesgue igual a cero, la probabilidad de${\displaystyle X}$ser valorado en${\displaystyle A}$también es igual a cero
• para cualquier número positivo${\displaystyle \varepsilon }$Hay un número positivo${\displaystyle \delta }$tal que: si${\displaystyle A}$es un conjunto de Borel con medida de Lebesgue menor que${\displaystyle \delta }$, entonces la probabilidad de${\displaystyle X}$ser valorado en${\displaystyle A}$es menor que${\displaystyle \varepsilon }$.

Todas estas condiciones son equivalentes, aunque esto no es trivial de establecer. ^{[ 20 ]} En esta definición,${\displaystyle f}$se denomina función de densidad de probabilidad de${\displaystyle X}$(en relación con la medida de Lebesgue). Según la fórmula de cambio de variables para la integración de Lebesgue, ^{[ 21 ]} combinada con la ley del estadístico inconsciente , ^{[ 22 ]} se deduce que $${\displaystyle \operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx}$$ para cualquier variable aleatoria absolutamente continua${\displaystyle X}$La discusión anterior sobre variables aleatorias continuas es, por lo tanto, un caso especial de la teoría general de Lebesgue, debido al hecho de que toda función continua a trozos es medible.

El valor esperado de cualquier variable aleatoria de valor real.${\displaystyle X}$También se puede definir en la gráfica de su función de distribución acumulativa.${\displaystyle F}$por una igualdad de áreas cercanas. De hecho,${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$con un número real${\displaystyle \mu }$si y solo si las dos superficies en la${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$-plano, descrito por $${\displaystyle x\leq \mu ,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad {\text{or}}\quad x\geq \mu ,\;\,F(x)\leq y\leq 1}$$ respectivamente, tienen la misma área finita, es decir, si $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,dx=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,dx}$$ y ambas integrales de Riemann impropias convergen. Finalmente, esto es equivalente a la representación $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}1-F(x){\bigr )}\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$ también con integrales convergentes. ^{[ 23 ]}

Los valores esperados, tal como se definen anteriormente, son automáticamente números finitos. Sin embargo, en muchos casos es fundamental poder considerar los valores esperados de${\displaystyle \pm \infty }$Esto resulta intuitivo, por ejemplo, en el caso de la paradoja de San Petersburgo , en la que se considera una variable aleatoria con posibles resultados.${\displaystyle x_{i}=2^{i}}$, con probabilidades asociadas${\displaystyle p_{i}=2^{-i}}$, para${\displaystyle i}$abarcando todos los enteros positivos. Según la fórmula de sumatoria en el caso de variables aleatorias con una cantidad numerable de resultados, se tiene $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .}$$ Es natural decir que el valor esperado es igual a${\displaystyle +\infty }$.

Existe una teoría matemática rigurosa que sustenta tales ideas, la cual a menudo se toma como parte de la definición de la integral de Lebesgue. ^{[ 19 ]} La primera observación fundamental es que, independientemente de cuál de las definiciones anteriores se siga, a cualquier variable aleatoria no negativa se le puede asignar un valor esperado inequívoco; cuando falla la convergencia absoluta, entonces el valor esperado se puede definir como${\displaystyle +\infty }$La segunda observación fundamental es que cualquier variable aleatoria puede escribirse como la diferencia de dos variables aleatorias no negativas. Dada una variable aleatoria${\displaystyle X}$, uno define las partes positivas y negativas por${\displaystyle X^{+}=\max(X,0)}$y${\displaystyle X^{-}=\max(-X,0)}$Estas son variables aleatorias no negativas, y se puede comprobar directamente que${\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}$. Desde${\displaystyle E[X^{+}]}$y${\displaystyle E[X^{-}]}$Si ambos se definen entonces como números no negativos o +∞ , entonces es natural definir: $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty$$ ;\\+\infty &{\text{si }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ y }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty  ;\\-\infty &{\text{si }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ y }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty  ;\\{\text{indefinido}}&{\text{si }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ y }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}}

Según esta definición,${\displaystyle E[X]}$existe y es finito si y solo si${\displaystyle E[X^{+}]}$y${\displaystyle E[X^{-}]}$ambos son finitos. Debido a la fórmula${\displaystyle \left|X\right|=X^{+}+X^{-}}$, este es el caso si y solo si${\displaystyle E[\left|X\right|]}$es finito, y esto equivale a las condiciones de convergencia absoluta en las definiciones anteriores. Por lo tanto, las presentes consideraciones no definen valores esperados finitos en ningún caso no considerado previamente; solo son útiles para expectativas infinitas.

• En el caso de la paradoja de San Petersburgo, uno tiene${\displaystyle X^{-}=0}$y entonces${\displaystyle E[X]=+\infty }$como se desee.
• Supongamos que la variable aleatoria${\displaystyle X}$toma valores${\displaystyle 1,-2,3,-4,...}$con probabilidades respectivas${\displaystyle 6\pi ^{-2},6(2\pi )^{-2},6(3\pi )^{-2},6(4\pi )^{-2},...}$Entonces se deduce que${\displaystyle X^{+}}$toma valor${\displaystyle 2k-1}$ con probabilidad${\displaystyle 6((2k-1)\pi )^{-2}}$para cada entero positivo${\displaystyle k}$y toma valor${\displaystyle 0}$con la probabilidad restante. De manera similar,${\displaystyle X^{-}}$toma valor${\displaystyle 2k}$con probabilidad${\displaystyle 6(2k\pi )^{-2}}$para cada entero positivo${\displaystyle k}$y toma valor${\displaystyle 0}$con probabilidad restante. Usando la definición para variables aleatorias no negativas, se puede demostrar que ambas${\displaystyle E[X^{+}]=\infty }$y${\displaystyle E[X^{-}]=\infty }$(véase Serie armónica ). Por lo tanto, en este caso la expectativa de${\displaystyle X}$no está definido.
• De manera similar, la distribución de Cauchy, como se mencionó anteriormente, tiene una esperanza indefinida.

En el caso de una variable aleatoria con valor entero no negativo${\displaystyle X}$, el valor esperado también puede expresarse en términos de sus probabilidades de cola (a veces llamada fórmula de suma de cola ):

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{k=0}^{\infty }\Pr(X>k).}$

Una versión más general es válida para cualquier variable aleatoria no negativa (discreta o continua):

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\Pr(X>t)\,dt,}$

donde el integrando es la función de supervivencia de${\displaystyle X}$.

Las desigualdades de concentración controlan la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores grandes. La desigualdad de Markov es una de las más conocidas y sencillas de demostrar: para una variable aleatoria no negativa X y cualquier número positivo a , establece que ^{[ 37 ]}$${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$$

Si X es cualquier variable aleatoria con esperanza finita, entonces la desigualdad de Markov se puede aplicar a la variable aleatoria | X −E[ X ]| ² para obtener la desigualdad de Chebyshev.$${\displaystyle \operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},}$$ donde Var es la varianza . ^{[ 37 ]} Estas desigualdades son significativas por su casi completa falta de supuestos condicionales. Por ejemplo, para cualquier variable aleatoria con esperanza finita, la desigualdad de Chebyshev implica que hay al menos un 75% de probabilidad de que un resultado esté dentro de dos desviaciones estándar del valor esperado. Sin embargo, en casos especiales, las desigualdades de Markov y Chebyshev a menudo proporcionan información mucho más débil que la disponible de otro modo. Por ejemplo, en el caso de un dado sin peso, la desigualdad de Chebyshev dice que las probabilidades de obtener entre 1 y 6 son al menos del 53%; en realidad, las probabilidades son, por supuesto, del 100%. ^{[ 38 ]} La desigualdad de Kolmogorov extiende la desigualdad de Chebyshev al contexto de sumas de variables aleatorias. ^{[ 39 ]}

Las siguientes tres desigualdades son de fundamental importancia en el campo del análisis matemático y sus aplicaciones a la teoría de la probabilidad.

• Desigualdad de Jensen : Sea f : R → R una función convexa y X una variable aleatoria con esperanza finita. Entonces ^{[ 40 ]}$${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$$Parte de la afirmación es que la parte negativa de f ( X ) tiene una esperanza finita, de modo que el lado derecho está bien definido (posiblemente infinito). La convexidad de f puede expresarse como que la salida del promedio ponderado de dos entradas subestima el mismo promedio ponderado de las dos salidas; la desigualdad de Jensen extiende esto al contexto de promedios ponderados completamente generales, como los representados por la esperanza. En el caso especial de que f ( x ) = | x | ^{t / s} para números positivos s < t , se obtiene la desigualdad de Lyapunov ^{[ 41 ].}$${\displaystyle \left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$$Esto también se puede demostrar mediante la desigualdad de Hölder. ^{[ 40 ]} En teoría de la medida, esto es particularmente notable para demostrar la inclusión L ^s ⊂ L ^t de espacios L ^p , en el caso especial de espacios de probabilidad .
• Desigualdad de Hölder : si p > 1 y q > 1 son números que satisfacen p ⁻¹ + q ⁻¹ = 1 , entonces$${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$$para cualesquiera variables aleatorias X e Y. ^{[ 40} ] El caso especial de p = q = 2 se denomina desigualdad de ^Cauchy -Schwarz y es particularmente conocido. ^{[ 40 ]}
• Desigualdad de Minkowski : dado cualquier número p ≥ 1 , para cualesquiera variables aleatorias X e Y con E| X | ^p y E| Y | ^p ambos finitos, se deduce que E| X + Y | ^p también es finito y ^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$$

Las desigualdades de Hölder y Minkowski pueden extenderse a espacios de medida generales y suelen presentarse en ese contexto. Por el contrario, la desigualdad de Jensen es específica del caso de los espacios de probabilidad.

En general, no es el caso que${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]}$incluso si${\displaystyle X_{n}\to X}$puntualmente. Por lo tanto, no se pueden intercambiar límites y esperanza sin condiciones adicionales sobre las variables aleatorias. Para ver esto, sea${\displaystyle U}$sea ​​una variable aleatoria distribuida uniformemente en${\displaystyle [0,1].}$Para${\displaystyle n\geq 1,}$definir una secuencia de variables aleatorias $${\displaystyle X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\right\},}$$ con${\displaystyle \mathbf {1} \{A\}}$siendo la función indicadora del evento${\displaystyle A.}$Entonces, se deduce que${\displaystyle X_{n}\to 0}$punto por punto. Pero,${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \Pr \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1}$para cada${\displaystyle n.}$Por eso,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].}$

Análogamente, para una secuencia general de variables aleatorias${\displaystyle \{Y_{n}:n\geq 0\},}$El operador de valor esperado no es${\displaystyle \sigma }$-aditivo, es decir $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].}$$

Un ejemplo se obtiene fácilmente estableciendo${\displaystyle Y_{0}=X_{1}}$y${\displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$para${\displaystyle n\geq 1,}$dónde${\displaystyle X_{n}}$es como en el ejemplo anterior.

Varios resultados de convergencia especifican condiciones exactas que permiten intercambiar límites y expectativas, como se indica a continuación.

• Teorema de convergencia monótona : Sea${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$sea ​​una secuencia de variables aleatorias, con${\displaystyle 0\leq X_{n}\leq X_{n+1}}$(como) para cada${\displaystyle n\geq 0.}$Además, dejemos${\displaystyle X_{n}\to X}$punto por punto. Entonces, el teorema de convergencia monótona establece que${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].}$
  Utilizando el teorema de convergencia monótona, se puede demostrar que la esperanza efectivamente satisface la aditividad numerable para variables aleatorias no negativas. En particular, sea${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$sean variables aleatorias no negativas. Del teorema de convergencia monótona se deduce que$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$$
• Lema de Fatou : Dejemos${\displaystyle \{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}}$Sea una secuencia de variables aleatorias no negativas. El lema de Fatou establece que$${\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].}$$
  Corolario. Dejemos${\displaystyle X_{n}\geq 0}$con${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\leq C}$a pesar de${\displaystyle n\geq 0.}$Si${\displaystyle X_{n}\to X}$(como), entonces${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq C.}$
  La prueba consiste en observar que${\textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$(como) y aplicando el lema de Fatou.
• Dominated convergence theorem: Let ${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$ be a sequence of random variables. If ${\displaystyle X_{n}\to X}$pointwise (a.s.), ${\displaystyle |X_{n}|\leq Y\leq +\infty }$ (a.s.), and ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty .}$ Then, according to the dominated convergence theorem,
  • ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$;
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]}$
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
• Uniform integrability: In some cases, the equality ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]}$ holds when the sequence ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ is uniformly integrable.

The probability density function ${\displaystyle f_{X}}$ of a scalar random variable ${\displaystyle X}$ is related to its characteristic function${\displaystyle \varphi _{X}}$ by the inversion formula: $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$

For the expected value of ${\displaystyle g(X)}$ (where ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$ is a Borel function), we can use this inversion formula to obtain $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt\right]dx.}$$

If ${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$ is finite, changing the order of integration, we get, in accordance with Fubini–Tonelli theorem, $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,dt,}$$ where $${\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,dx}$$ is the Fourier transform of ${\displaystyle g(x).}$ The expression for ${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$ also follows directly from the Plancherel theorem.