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Argumento de indispensabilidad explicativa

El argumento de indispensabilidad explicativa [ a ] es un argumento en la filosofía de las matemáticas a favor de la existencia de objetos matemáticos . Afirma que, racionalment...

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El argumento de indispensabilidad explicativa [ a ] es un argumento en la filosofía de las matemáticas a favor de la existencia de objetos matemáticos . Afirma que, racionalmente, deberíamos creer en objetos matemáticos como los números porque son indispensables para las explicaciones científicas de los fenómenos empíricos. Una forma modificada del argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam , se diferencia de este en su mayor énfasis en explicaciones específicas en lugar de teorías completas y en su cambio hacia la inferencia a la mejor explicación como justificación para creer en objetos matemáticos en lugar del holismo confirmatorio .

Entre las explicaciones específicas propuestas como ejemplos de explicaciones matemáticas en la ciencia se incluyen por qué las cigarras periódicas tienen ciclos de vida primos , por qué el panal de abejas tiene una estructura hexagonal y la solución al problema de los Siete Puentes de Königsberg . Las objeciones al argumento incluyen la idea de que las matemáticas solo se usan como un dispositivo de representación, incluso cuando aparecen en explicaciones científicas; que las matemáticas no necesitan ser verdaderas para ser explicativas porque podrían ser una ficción útil ; y que el argumento es circular y, por lo tanto, incurre en una petición de principio a favor de los objetos matemáticos.

Fondo

El argumento de indispensabilidad explicativa es una forma modificada del argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam [ 3 ], planteado por primera vez por W.V. Quine y Hilary Putnam en las décadas de 1960 y 1970. [ 4 ] El argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam respalda la conclusión de que existen objetos matemáticos con la idea de que las matemáticas son indispensables para las mejores teorías científicas. [ 5 ] Se basa en la perspectiva, denominada holismo confirmatorio , de que las teorías científicas se confirman como totalidades, y que las confirmaciones de la ciencia se extienden a las matemáticas que utiliza. [ 6 ]

La dependencia del argumento de Quine-Putnam en el holismo confirmatorio es controvertida y ha enfrentado desafíos influyentes de Penelope Maddy y Elliott Sober . [ 7 ] El argumento también ha sido criticado por no especificar la forma en que las matemáticas son indispensables para la ciencia; según Joseph Melia , uno solo necesitaría creer en las matemáticas si son indispensables de la manera correcta. [ 8 ] Específicamente, deben ser indispensables para las explicaciones científicas para que estén tan fuertemente justificadas como entidades teóricas como los electrones . [ 9 ] Esta afirmación de Melia surgió a través de un debate con Mark Colyvan a principios de la década de 2000 sobre el argumento, [ b ] en el que Colyvan afirmó que las matemáticas mejoran el poder explicativo de la ciencia. Inspirado por este debate, Alan Baker desarrolló una forma explícitamente explicativa del argumento de indispensabilidad, que denominó argumento de indispensabilidad mejorada. [ c ] [ 10 ] También fue motivado por las objeciones contra el holismo confirmatorio; Su formulación tenía como objetivo reemplazar el holismo confirmatorio con una inferencia a la mejor explicación . [ 11 ] Por lo tanto, se centra más en explicaciones científicas individuales que en teorías completas. [ 12 ]

Entre las influencias de Baker se encontraba Hartry Field , a quien se le atribuye ser la primera persona en establecer una conexión entre los argumentos de indispensabilidad y la explicación. [ 13 ] [ d ] Baker citó a Field como el origen de una forma explicativa del argumento, [ 15 ] aunque Sorin Bangu afirma que Field simplemente aludió a dicho argumento sin desarrollarlo completamente, [ 16 ] y Russell Marcus argumenta que estaba discutiendo la explicación dentro del contexto del argumento de indispensabilidad original de Quine-Putnam en lugar de sugerir un nuevo argumento de indispensabilidad explicativo. [ 17 ] Según Marcus, la discusión de Colyvan sobre el poder explicativo también se limitó inicialmente a su papel dentro del argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam. Él le atribuye a Baker el origen del argumento de indispensabilidad explicativo. [ 18 ] Otros, como Christopher Pincock, sitúan el comienzo del desarrollo del argumento con Colyvan mientras señalan que Baker agudizó su enfoque explicativo. [ 19 ]

Resumen del argumento

Una formulación estándar del argumento de indispensabilidad explicativa se presenta a continuación: [ 20 ]

  • Deberíamos creer racionalmente en la existencia de cualquier entidad que desempeñe un papel explicativo indispensable en nuestras mejores teorías científicas.
  • Los objetos matemáticos desempeñan un papel explicativo indispensable en la ciencia.
  • Por lo tanto, racionalmente deberíamos creer en la existencia de objetos matemáticos.

El argumento se basa en la idea de que la inferencia a la mejor explicación, que se usa a menudo para justificar entidades teóricas como los electrones, puede brindar un apoyo similar a los objetos matemáticos. [ 21 ] También requiere que existan explicaciones genuinamente matemáticas en la ciencia. Para que las explicaciones sean genuinamente matemáticas, no basta con que se expresen con la ayuda de las matemáticas. En cambio, las matemáticas deben desempeñar un papel esencial en el trabajo explicativo. [ 22 ] Dada la dependencia del argumento en la existencia de tales explicaciones, gran parte de la discusión al respecto se ha centrado en evaluar estudios de caso específicos para determinar si son explicaciones genuinamente matemáticas o no. [ 23 ]

Estudios de caso

cigarras periódicas

Recta numérica con múltiplos de 3 y 4 resaltados hasta el número 12. Una ilustración de una cigarra se encuentra en el número 13.
La recta numérica ilustra por qué los ciclos de vida con números primos son ventajosos en comparación con los ciclos de vida con números no primos. Si los depredadores tienen ciclos de vida de 3 o 4 años, se sincronizan rápidamente con un ciclo de vida con un número no primo, como uno de 12 años. Sin embargo, no se sincronizarán con el ciclo de vida de una cigarra periódica de 13 años hasta que hayan transcurrido 39 y 52 años, respectivamente.

El estudio de caso más influyente es el ejemplo de las cigarras periódicas proporcionado por Baker. [ 24 ] Las cigarras periódicas son un tipo de insecto que generalmente tiene ciclos de vida de 13 o 17 años. Se hipotetiza que esto es una ventaja evolutiva porque 13 y 17 son números primos . Debido a que los números primos no tienen factores no triviales, esto significa que es menos probable que los depredadores periódicos y otras especies de cigarras competidoras puedan sincronizarse con los ciclos de vida de las cigarras periódicas. [ 25 ] Baker argumenta que esta es una explicación en la que las matemáticas, específicamente la teoría de números , juegan un papel clave para explicar un fenómeno empírico. [ 26 ]

Se han propuesto varias explicaciones no matemáticas para la duración de los ciclos de vida de las cigarras periódicas. Por ejemplo, una explicación alternativa destacada sostiene que los ciclos de vida primos podrían haber surgido de ciclos de vida no primos debido a retrasos en el desarrollo. Esta hipótesis se apoya en el hecho de que existen muchas otras especies de cigarras con ciclos de vida no primos, y que a menudo se han observado cambios en el desarrollo con períodos de 4 años en las cigarras periódicas. [ 27 ] Algunos filósofos también han argumentado que el concepto de primalidad en el estudio de caso de Baker puede reemplazarse por un concepto no numérico de "períodos que minimizan la intersección", aunque Baker ha argumentado que esto reduciría la generalidad y la profundidad de la explicación. [ 28 ] Otros, como Chris Daly y Simon Langford, argumentan que usar años como unidad de medida en lugar de meses o estaciones es arbitrario; Baker y Colyvan argumentan que los años son una unidad de tiempo apropiada para el desarrollo biológico y son la unidad utilizada por los biólogos. [ 29 ]

El estudio de caso también ha sido criticado por asumir que las cigarras periódicas han tenido depredadores con ciclos de vida periódicos en su historia evolutiva. [ 30 ] Baker ha respondido a esta preocupación argumentando que sería imposible proporcionar evidencia directa de que las cigarras periódicas hayan tenido depredadores periódicos porque "la periodicidad no es algo que se pueda deducir del registro fósil". [ 31 ] Sin embargo, ha intentado hacer la afirmación más plausible argumentando que las limitaciones ecológicas podrían haber restringido el rango de los posibles ciclos de vida de las cigarras, disminuyendo los requisitos de depredadores periódicos para que el estudio de caso siga siendo matemáticamente sólido. [ 32 ] Este problema también puede evitarse centrándose en otras formas en que los ciclos de vida primarios podrían ser relevantes para la explicación, como la evitación de especies de cigarras competidoras o la migración periódica de depredadores. [ 33 ]

panal de abejas

Una abeja en un panal; se aprecian varias aberturas hexagonales en el panal.
Estructura hexagonal del panal de abejas
Diagrama que muestra la estructura 3D de una celda de panal, que consta de una cara hexagonal en el lado izquierdo conectada a tres caras rómbicas en el lado derecho mediante seis superficies cuadriláteras planas.
Estructura 3D de una celda de panal, con una abertura hexagonal en el lado izquierdo.

Otro caso de estudio destacado, sugerido por Aidan Lyon y Colyvan, se refiere a la estructura hexagonal del panal de abejas . Lyon y Colyvan sostienen que esta estructura se explica mediante la demostración matemática de la conjetura del panal , que afirma que los hexágonos constituyen el recubrimiento regular más eficiente del plano. La explicación radica en que existe una presión evolutiva para que las abejas conserven la cera en la construcción de sus panales, por lo que la eficiencia de la cuadrícula hexagonal explica su selección. [ 34 ]

La explicación basada en la conjetura del panal es potencialmente incompleta porque la demostración es una solución a un problema de teselado en dos dimensiones y no tiene en cuenta la estructura tridimensional de las celdas del panal. [ 35 ] Además, muchos matemáticos no consideran la demostración de la conjetura del panal como una demostración explicativa, ya que emplea conceptos ajenos a la geometría para establecer un resultado geométrico, [ 36 ] aunque Baker argumenta que la demostración no necesita ser explicativa para que el teorema forme parte de explicaciones genuinas en la ciencia. [ 37 ] También es controvertido entre los filósofos si el objeto de estudio de la geometría es puramente matemático o si se refiere al espacio físico y las estructuras, lo que les lleva a cuestionar si la explicación es verdaderamente matemática. [ 38 ]

También existen explicaciones no matemáticas para el caso del panal. Darwin creía que la forma hexagonal de los panales era el resultado de celdas esféricas compactas que se comprimían formando hexágonos, y que las abejas reparaban las roturas con superficies planas de cera, lo que contribuía aún más a la forma hexagonal. [ 39 ] Presentaciones más modernas sostienen que la forma del panal se debe al flujo de cera fundida durante el proceso de construcción. [ 40 ]

Otros

Un mapa del siglo XVII de Königsberg con sus puentes y ríos resaltados.
Un gráfico que representa la disposición de los puentes en Königsberg, compuesto por cuatro nodos conectados por siete líneas. El nodo de la izquierda está conectado por dos líneas al nodo superior, por dos líneas al nodo inferior y por una línea al nodo de la derecha. El nodo de la derecha también está conectado a la parte superior con una línea y a la parte inferior con una línea.
Mapa de los siete puentes de Königsberg y su representación gráfica.

Otro ejemplo clave es el de los Siete Puentes de Königsberg , que trata sobre la imposibilidad de cruzar cada uno de los siete puentes históricos de la ciudad prusiana de Königsberg una sola vez en una caminata continua alrededor de la ciudad. [ e ] La explicación la encontró Leonhard Euler en 1735 cuando consideró si tal viaje era posible. [ 41 ] La solución de Euler consistió en abstraerse de los detalles concretos del problema a una representación matemática en forma de grafo , con nodos que representan masas de tierra y líneas que representan puentes. [ 42 ] Razonó que para cada masa de tierra, a menos que sea un punto de inicio o de finalización, debe haber un camino para entrar y salir de ella. Por lo tanto, debe haber como máximo dos nodos en el grafo con un número impar de líneas conectadas a ellos para que tal viaje sea posible. Pero este no es el caso del gráfico que representa los siete puentes de Königsberg, por lo que es matemáticamente imposible cruzar los siete sin cruzar uno de ellos varias veces. [ 43 ]

La existencia en un momento dado de puntos antipodales en la superficie terrestre con igual temperatura y presión se ha citado como otro ejemplo. Según Colyvan, esto se explica por el teorema de Borsuk-Ulam , que implica que para cualquier propiedad física que varíe continuamente a través de la superficie de una esfera, existen puntos antipodales en esa esfera con valores iguales de esa propiedad. [ 44 ] En respuesta a este ejemplo, Baker ha argumentado que es una predicción más que una explicación porque aún no se han medido puntos antipodales con igual presión y temperatura. [ 45 ] Mary Leng también cuestiona si es apropiado modelar la temperatura o la presión como funciones continuas a través de puntos individuales en la superficie terrestre. [ 46 ] [ f ] Otros ejemplos propuestos por Colyvan incluyen explicaciones geométricas para la contracción de Lorentz y la lente gravitacional . Baker y Melia han objetado los aspectos geométricos de estas explicaciones, que podrían interpretarse físicamente en lugar de matemáticamente. [ 48 ]

Un diagrama que muestra que las semillas de girasol están separadas por el ángulo áureo, aproximadamente 137,5 grados.
Una animación que muestra cómo se producen las semillas de girasol; el patrón resultante presenta varias formas espirales.
Las semillas de girasol se producen separadas por el ángulo áureo , dando lugar a patrones en espiral que constituyen el empaquetamiento más denso posible de semillas.

Una clase clave de explicaciones matemáticas son las soluciones a problemas de optimización, que incluyen los estudios de caso de la cigarra y el panal de abejas. En estos casos, una característica determinada se explica demostrando que es matemáticamente óptima. [ 49 ] Estas explicaciones son importantes en biología evolutiva , ya que las demostraciones matemáticas de optimalidad pueden ayudar a explicar por qué se ha seleccionado un rasgo determinado, [ 50 ] pero también aparecen en otras áreas de la ciencia como la física, la ingeniería y la economía. [ 51 ] Algunos ejemplos de biología evolutiva son las semillas de girasol dispuestas en un patrón espiral porque produce el empaquetamiento más denso de semillas, [ 52 ] y los depredadores marinos que realizan caminatas de Lévy porque minimizan el consumo de energía promedio requerido para encontrar presas. [ 53 ] [ g ]

Varios estudios de caso se basan en sistemas dinámicos . Marc Lange, por ejemplo, argumenta que el hecho de que los péndulos dobles siempre tengan cuatro o más configuraciones de equilibrio puede explicarse por el espacio de configuración del sistema que forma la superficie de un toro , el cual debe tener al menos cuatro puntos estacionarios . [ 55 ] Lyon y Colyvan señalan el uso de espacios de fase y el mapa de Poincaré para explicar el comportamiento de un sistema de Hénon-Heiles , como la estabilidad de la órbita de una estrella a través de una galaxia. [ 56 ]

Algunos ejemplos provienen de fuera de la ciencia. Por ejemplo, casos ampliamente discutidos incluyen la explicación de por qué 23 fresas no se pueden dividir equitativamente entre tres personas, [ 57 ] por qué es imposible cuadrar el círculo , [ 58 ] y por qué es imposible desatar un nudo de trébol . [ 59 ] Sin embargo, no está claro hasta qué punto cada uno de estos casos son explicaciones matemáticas de hechos físicos en lugar de explicaciones puramente físicas o puramente matemáticas. [ h ]

objeciones

La principal respuesta al argumento de la indispensabilidad explicativa, adoptada por filósofos como Melia, Daly, Langford y Saatsi, consiste en negar que existan explicaciones genuinamente matemáticas de los fenómenos empíricos, enmarcando en cambio el papel de las matemáticas como representacional o indexical . [ 63 ] Según esta respuesta, si las matemáticas aparecen en las explicaciones científicas, su función se limita a ayudar a identificar hechos físicos en lugar de contribuir al poder explicativo de la explicación. [ 64 ] Saatsi, y otros como Jonathan Tallant y Davide Rizza, han reformulado estudios de caso, como el ejemplo de la cigarra periódica, para eliminar la referencia a entidades matemáticas en un intento de proporcionar las verdaderas versiones no matemáticas de estas explicaciones. [ 65 ] Los defensores del argumento de la indispensabilidad explicativa suelen argumentar que las explicaciones no matemáticas proporcionadas son menos generales y modalmente más débiles que las explicaciones matemáticas. También argumentan que tales explicaciones contradicen la práctica científica porque los científicos a menudo aceptan las explicaciones matemáticas como explicaciones científicas genuinas. [ 66 ]

Otros, en particular los ficcionales matemáticos como Mary Leng y Stephen Yablo , han aceptado que las matemáticas desempeñan un papel genuinamente explicativo en la ciencia, pero argumentan que pueden desempeñar este papel incluso si no existen objetos matemáticos. [ 64 ] Señalan el uso de idealizaciones como las masas puntuales que se utilizan en las explicaciones científicas pero que no se consideran literalmente reales. [ 67 ] [ i ] Leng argumenta que el poder explicativo de las matemáticas puede explicarse por las similitudes estructurales entre la teoría matemática (vista de forma ficticia) y las características del mundo real. [ 69 ] Yablo apela al poder expresivo del lenguaje figurado , afirmando que muestra que las afirmaciones literalmente falsas a menudo pueden transmitir más que las afirmaciones literalmente verdaderas. [ 70 ] Colyvan ha desafiado este tipo de respuestas argumentando que el lenguaje ficticio o metafórico no puede desempeñar un papel en las explicaciones genuinas: «cuando un fragmento de lenguaje proporciona una explicación, o bien ese fragmento de lenguaje debe interpretarse literalmente, o bien la lectura no literal del lenguaje en cuestión sirve como sustituto de la explicación real». [ 71 ]

Una objeción planteada por Bangu afirma que el argumento de la indispensabilidad explicativa incurre en una petición de principio porque es circular . Bangu argumenta que ejemplos como el caso de la cigarra periódica pretenden explicar enunciados que ya contienen contenido matemático, a saber, la primacía de los ciclos de vida de las cigarras. Pero una inferencia a la mejor explicación presupone que el enunciado que se explica es verdadero, por lo que la inclusión de conceptos matemáticos como la primacía presupone la verdad de las matemáticas en cuestión. [ 72 ] [ j ] Baker ha respondido a esta objeción argumentando que los enunciados que se explican en tales estudios de caso pueden reformularse para eliminar la referencia a entidades matemáticas, dejando las matemáticas indispensables solo para la explicación misma y no para lo que se explica. [ 74 ]

Notas

  1. ↑ También conocido como el argumento de indispensabilidad mejorada [ 1 ] o argumento de indispensabilidad explicacionista [ 2 ]
  2. ↑ Véase, por ejemplo, Melia 2000 , Colyvan 2001 , §3.3, Colyvan 2002 , Melia 2002 .
  3. ↑ Véase Baker ( 2005 , 2009 )
  4. ↑ Véase Field 1989. Otros precursores importantes del argumento son Mark Steiner  ( 1978a , 1978b ) y JJC Smart  ( 1990 ) por su trabajo sobre la explicación matemática. [ 14 ]
  5. ↑ A veces, el requisito adicional de que el viaje comience y termine en el mismo lugar se plantea como parte del problema.
  6. ↑ Según Jha et al., la continuidad de la temperatura es "un fenómeno causal contingente que depende de varios factores" y "[l]as discontinuidades de temperatura a través de las interfaces [han] sido ampliamente confirmadas tanto teórica como experimentalmente". [ 47 ]
  7. ↑ Relacionadas con las explicaciones de optimización están las explicaciones relativas a los procesos de minimización, como la explicación de la forma de las películas de jabón a partir de las leyes de Plateau que muestran que minimizan el área superficial. [ 54 ]
  8. ↑ Atribuido a múltiples fuentes: estudio de caso de la fresa, [ 60 ] estudio de caso de la cuadratura del círculo, [ 61 ] estudio de caso del nudo de trébol. [ 62 ]
  9. ↑ Algunas idealizaciones podrían reformularse como afirmaciones verdaderas sobre casos límite de fenómenos reales, por lo que no respaldan el argumento ficcionalista. Por ejemplo, las explicaciones científicas que presentan pendientes sin fricción pueden considerarse afirmaciones verdaderas sobre las pendientes cuando la fricción se reduce a cero. Sin embargo, otras idealizaciones son falsas incluso en el caso límite; la dinámica de fluidos , por ejemplo, modela los fluidos como sustancias continuas, aunque todas las sustancias reales están compuestas de átomos discretos. [ 68 ]
  10. ↑ Un argumento similar se encuentra en Steiner, quien en 1978 afirmó que «ningún argumento explicativo puede establecer la existencia de entidades matemáticas». Según Steiner, cualquier descripción del mundo presupone necesariamente la existencia de las matemáticas, por lo que es imposible comparar explicaciones matemáticas con explicaciones no matemáticas. [ 73 ]

Referencias

Citas

  1. ↑ Baker 2016a , pág. 225; Pincock 2023 , pág. 61.
  2. ↑ Hunt 2016 , págs. 452–453; Bangu 2012 , págs. 150–151, véase también la nota 8 en la pág. 226.
  3. ↑ Drekalović y Žarnić 2018 , p. 121; Molinini 2016 , pág. 404; Saatsi 2016 , pág. 1046.
  4. ↑ Molinini, Pataut & Sereni 2016 , pág. 318.
  5. ↑ Colyvan 2023 , Introducción y §1.
  6. ↑ Colyvan 2023 , §3.
  7. ↑ Colyvan 2023 , §§4–5; Boyce 2021 , pág. 584.
  8. ↑ Târziu 2018a , p. 396; Bangu 2012 , págs. 147-148; Barón 2014 , pág. 460.
  9. ↑ Heylen y Tump 2021 , pág. 3034; Lyon 2012 , pág. 572.
  10. ↑ Lyon 2012 , pág. 572; Pincock 2023 , pág. 61; Mancosu, Poggiolesi y Pincock 2023 , §1.4.
  11. ↑ Târziu 2018a , págs. 396–397; Bombardeo 2025 , pág. 29.
  12. ↑ Marcus nd , §5.
  13. ↑ Molinini, Pataut & Sereni 2016 , pág. 320; Bangú 2012 , pág. 150.
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  15. ↑ Marcus 2015 , pág. 127.
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  17. ^ Marco 2015 , págs. 127-130.
  18. ↑ Marcus 2015 , pág. 130.
  19. ↑ Pincock 2012 , pág. 203; Pincock 2023 , pág. 61.
  20. ↑ Paseau y Baker 2023 , pág. 34.
  21. ↑ Busch y Morrison 2016 , pág. 439.
  22. ↑ Wójtowicz 2020 , pág. 184; Busch y Morrison 2016 , pág. 438; Vineberg 2018 , pág. 237.
  23. ↑ Bangu 2012 , pág. 152; Paseau y Baker 2023 , pág. 35; Tump 2025 , pág. 31.
  24. ↑ Molinini, Pataut & Sereni 2016 , pág. 320; Panadero 2005 .
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  26. ↑ Colyvan 2023 , §5; Paseau y Baker 2023 , pp. 35–36.
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  28. ↑ Barrantes 2019 , págs. 251–253; McCullough-Benner 2022 , págs. 754–758; Saatsi 2011 , pág. 150; Martínez-Vidal & Rivas-de-Castro 2020 , págs. 39–40.
  29. ↑ Cellucci 2017 , pág. 329.
  30. ↑ Dieveney 2021 , pág. 60; Drekalović 2019 , pág. 34.
  31. ↑ Dieveney 2021 , pág. 60.
  32. ↑ Dieveney 2021 , pág. 61.
  33. ↑ Dieveney 2021 , pág. 72.
  34. ↑ Baron 2014 , págs. 461–462; Räz 2013 , págs. 351–352; Lyon y Colyvan 2008 .
  35. ↑ Wakil y Justus 2017 , pág. 923; Cellucci 2017 , pág. 22; Raz 2013 .
  36. ↑ Baker 2015 , págs. 237–239.
  37. ↑ Lyon 2012 , pág. 564; Pincock 2023 , pág. 47.
  38. ↑ Barón 2014 , p. 462; Saatsi 2011 , pág. 148.
  39. ↑ Wakil y Justus 2017 , pág. 921.
  40. ↑ Wakil y Justus 2017 , pág. 922; Cellucci 2017 , pág. 22.
  41. ↑ Lange 2013 , págs. 488–489; Räz 2018 , págs. 331–332; Pincock 2007 .
  42. ^ Drekalović 2019 , págs. 25-26; Vineberg 2018 , pág. 240.
  43. ↑ Lange 2013 , pág. 489; Pantsar 2021 , págs. 2595–2596; Vineberg 2018 , pág. 240.
  44. ↑ Longitud 2005 , pág. 181; Târziu 2018b , p. 93; Colyvan 2001 , pág. 49.
  45. ↑ Marco 2015 , p. 131; Târziu 2018b , p. 93.
  46. ↑ Marco 2015 , p. 131; Leng 2005 , págs. 181-182.
  47. ↑ Jha et al. 2024 , pág. 894.
  48. ^ Marco 2015 , págs. 130-131; Saatsi 2007 , pág. 30; Sereni 2016 , pág. 426; Colyvan 2001 , §3.3.
  49. ↑ Baker 2015 , pág. 241.
  50. ↑ Baron 2014 , pág. 470.
  51. ↑ Baker 2016b , p. 335; Mancosu, Poggiolesi y Pincock 2023 , §1.
  52. ↑ Mancosu, Poggiolesi y Pincock 2023 , §1; Lyon 2012 , págs. 561–562.
  53. ↑ Bangú 2018 , pág. 226; Barón 2014 , págs. 464–465.
  54. ↑ Mancosu, Poggiolesi y Pincock 2023 , §1.
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  62. ↑ Târziu 2018c , p. 474; Jha et al. 2024 , págs. 902–903.
  63. ↑ Molinini 2016 , pág. 405.
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  68. ↑ Paseau y Baker 2023 , pág. 40.
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Fuentes

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