Lista de métodos de Runge-Kutta

Los métodos de Runge-Kutta son métodos para la solución numérica de la ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y).}$

Los métodos explícitos de Runge-Kutta toman la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i}\\k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1})),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})),\\&\;\;\vdots \\k_{i}&=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}k_{j}\right).\end{aligned}}}$

Las etapas para los métodos implícitos de s etapas toman la forma más general, y la solución se encuentra sobre todos los s

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right).}$

Cada método enumerado en esta página está definido por su tabla de Butcher , que coloca los coeficientes del método en una tabla de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\puntos &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\puntos &a_{2s}\\\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\puntos &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\puntos &b_{s}\\\end{array}}}$

Para los métodos adaptativos e implícitos, la tabla de Butcher se extiende para dar valores de , y el error estimado es entonces $Estilo de visualización b_{i}^{*}}$

${\displaystyle e_{n+1}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i}}$.

Los métodos explícitos son aquellos donde la matriz es triangular inferior . ${\displaystyle [a_{ij}]}$

El método de Euler es de primer orden. La falta de estabilidad y precisión limita su popularidad, principalmente para su uso como ejemplo introductorio simple de un método de solución numérica.

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}0&0\\\hline &1\\\end{array}}}$

El método del punto medio (explícito) es un método de segundo orden con dos etapas (véase también el método del punto medio implícito a continuación):

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1/2&1/2&0\\\hline &0&1\\\end{array}}}$

El método de Heun es un método de segundo orden con dos etapas. También se lo conoce como regla del trapezoide explícita, método de Euler mejorado o método de Euler modificado:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

El método de Ralston es un método de segundo orden ^[1] con dos etapas y un límite de error local mínimo:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\2/3&2/3&0\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0\\\alpha &\alpha &0\\\hline &1-{\frac {1}{2\alpha }}&{\frac {1}{2\alpha }}\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\1&-1&2&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

Véase Sanderse y Veldman (2019). ^[2]

para α ≠ 0, 2 ⁄ 3 , 1:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\\alfa &\alfa &0&0\\1&1+{\frac {1-\alfa }{\alfa (3\alfa -2)}}&-{\frac {1-\alfa }{\alfa (3\alfa -2)}}&0\\\hline &{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6\alfa }}&{\frac {1}{6\alfa (1-\alfa )}}&{\frac {2-3\alfa }{6(1-\alfa )}}\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0\\2/3&0&2/3&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\8/15&8/15&0&0\\2/3&1/4&5/12&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}}$

El método de tercer orden de Ralston ^[1] se utiliza en el método Bogacki-Shampine integrado .

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0\\3/4&0&3/4&0\\\hline &2/9&1/3&4/9\\\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\\hline &1/6&1/6&2/3\\\end{array}}}$

El método Runge-Kutta “original”. ^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/2&1/2&0&0&0\\1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{array}}}$

Este método no tiene tanta notoriedad como el método “clásico”, pero es igualmente clásico porque fue propuesto en el mismo artículo (Kutta, 1901). ^[3]

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{array}}}$

Este método de cuarto orden ^[1] tiene un error de truncamiento mínimo.

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}0&0&0&0&0\\{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{5}}&0&0&0\\{\frac {14-3{\sqrt {5}}}{16}}&{\frac {-2\,889+1\,428{\sqrt {5}}}{1\,024}}&{\frac {3\,785-1\,620{\sqrt {5}}}{1\,024}}&0&0\\1&{\frac {-3\,365+2\,094{\sqrt {5}}}{6\,040}}&{\frac {-975-3\,046{\sqrt {5}}}{2\,552}}&{\frac {467\,040+203\,968{\sqrt {5}}}{240\,845}}&0\\\hline &{\frac {263+24{\sqrt {5}}}{1\,812}}&{\frac {125-1000{\sqrt {5}}}{3\,828}}&{\frac {3\,426\,304+1\,661\,952{\sqrt {5}}}{5\,924\,787}}&{\frac {30-4{\sqrt {5}}}{123}}\\\end{array}}}$

Los métodos integrados están diseñados para producir una estimación del error de truncamiento local de un único paso de Runge-Kutta y, como resultado, permiten controlar el error con un tamaño de paso adaptativo . Esto se hace al tener dos métodos en la tabla, uno con orden p y otro con orden p-1.

El paso de orden inferior viene dado por

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

donde son iguales que para el método de orden superior. Entonces el error es ${\displaystyle k_{i}}$

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

que es . La tabla de Butcher para este tipo de método se extiende para dar los valores de${\displaystyle O(h^{p})}$${\displaystyle b_{i}^{*}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}$

El método de Runge-Kutta adaptativo más simple implica combinar el método de Heun , que es de orden 2, con el método de Euler, que es de orden 1. Su tabla de Butcher extendida es:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&\\1&1\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\end{array}}}$

La estimación del error se utiliza para controlar el tamaño del paso.

El método de Fehlberg ^[4] tiene dos métodos de órdenes 1 y 2. Su tabla de Butcher extendida es:

La primera fila de coeficientes b proporciona la solución precisa de segundo orden, y la segunda fila tiene orden uno.

El método de Bogacki-Shampine tiene dos métodos de órdenes 2 y 3. Su tabla de Butcher extendida es:

La primera fila de coeficientes b proporciona la solución precisa de tercer orden, y la segunda fila tiene orden dos.

El método de Runge-Kutta-Fehlberg tiene dos métodos de órdenes 5 y 4; a veces se lo denomina RKF45. Su tabla de Butcher extendida es:

${\displaystyle {\begin{array}{r|ccccc}0&&&&&\\1/4&1/4&&&\\3/8&3/32&9/32&&\\12/13&1932/2197&-7200/2197&7296/2197&\\1&439/216&-8&3680/513&-845/4104&\\1/2&-8/27&2&-3544/2565&1859/4104&-11/40\\\hline &16/135&0&6656/12825&28561/56430&-9/50&2/55\\&25/216&0&1408/2565&2197/4104&-1/5&0\end{array}}}$

La primera fila de coeficientes b proporciona la solución precisa de quinto orden, y la segunda fila tiene orden cuatro. Los coeficientes aquí permiten determinar automáticamente un tamaño de paso adaptable .

Cash y Karp modificaron la idea original de Fehlberg. La tabla ampliada para el método Cash-Karp es

La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de quinto orden, y la segunda fila tiene orden cuatro.

La tabla extendida para el método Dormand-Prince es

La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de quinto orden, y la segunda fila da la solución precisa de cuarto orden.

El método de Euler inverso es de primer orden, incondicionalmente estable y no oscilatorio para problemas de difusión lineal.

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

El método del punto medio implícito es de segundo orden. Es el método más simple de la clase de métodos de colocación conocidos como métodos de Gauss-Legendre . Es un integrador simpléctico .

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1/2&1/2\\\hline &1\end{array}}}$

El método de Crank-Nicolson corresponde a la regla trapezoidal implícita y es un método A-estable y preciso de segundo orden.

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

Estos métodos se basan en los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre . El método de Gauss-Legendre de orden cuatro tiene la tabla de Butcher:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\end{array}}}$

El método de Gauss-Legendre de orden seis tiene la tabla de Butcher:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}&{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}}{10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5}{18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{array}}}$

Las fórmulas de Runge-Kutta diagonalmente implícitas (DIRK) se han utilizado ampliamente para la solución numérica de problemas de valor inicial rígido; ^[5] la ventaja de este enfoque es que aquí la solución se puede encontrar secuencialmente en lugar de simultáneamente.

El método más simple de esta clase es el método de punto medio implícito de orden 2 .

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de dos etapas de Kraaijevanger y Spijker:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/2&1/2&0\\3/2&-1/2&2\\\hline &-1/2&3/2\\\end{array}}}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito, simpléctico, de dos etapas y segundo orden de Qin y Zhang:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/4&1/4&0\\3/4&1/2&1/4\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de dos etapas y segundo orden de Pareschi y Russo:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1-x&1-2x&x\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Este método de Runge-Kutta diagonalmente implícito es A-estable si y solo si . Además, este método es L-estable si y solo si es igual a una de las raíces del polinomio , es decir, si . El método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de Qin y Zhang corresponde al método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de Pareschi y Russo con . ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle x}$${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$${\displaystyle x=1/4}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de dos etapas y segundo orden:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}x&x&0\\1&1-x&x\\\hline &1-x&x\\\end{array}}}$

Nuevamente, este método de Runge-Kutta diagonalmente implícito es A-estable si y solo si . Al igual que el método anterior, este método es nuevamente L-estable si y solo si es igual a una de las raíces del polinomio , es decir, si . Esta condición también es necesaria para una precisión de segundo orden. ${\textstyle x\geq {\frac {1}{4}}}$${\displaystyle x}$${\textstyle x^{2}-2x+{\frac {1}{2}}}$${\textstyle x=1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de dos etapas y tercer orden de Crouzeix:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de Crouzeix, de tres etapas y cuarto orden:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {1+\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0&0\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {\alpha }{2}}&{\frac {1+\alpha }{2}}&0\\{\frac {1-\alpha }{2}}&1+\alpha &-(1+2\,\alpha )&{\frac {1+\alpha }{2}}\\\hline &{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}&1-{\frac {1}{3\alpha ^{2}}}&{\frac {1}{6\alpha ^{2}}}\\\end{array}}}$

con . ${\textstyle \alpha ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cos {\frac {\pi }{18}}}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito, de tres etapas y tercer orden, L-estable:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\{\frac {1+x}{2}}&{\frac {1-x}{2}}&x&0\\1&-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\hline &-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\end{array}}}$

con${\displaystyle x=0.4358665215}$

El método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de tres etapas y cuarto orden de Nørsett tiene la siguiente tabla de Butcher:

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}x&x&0&0\\1/2&1/2-x&x&0\\1-x&2x&1-4x&x\\\hline &{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}&{\frac {3(1-2x)^{2}-1}{3(1-2x)^{2}}}&{\frac {1}{6(1-2x)^{2}}}\\\end{array}}}$

con una de las tres raíces de la ecuación cúbica . Las tres raíces de esta ecuación cúbica son aproximadamente , , y . La raíz proporciona las mejores propiedades de estabilidad para problemas de valor inicial. ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{3}-3x^{2}/2+x/2-1/24=0}$${\displaystyle x_{1}=1.06858}$${\displaystyle x_{2}=0.30254}$${\displaystyle x_{3}=0.12889}$${\displaystyle x_{1}}$

Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito, L-estable, de cuatro etapas y tercer orden

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}1/2&1/2&0&0&0\\2/3&1/6&1/2&0&0\\1/2&-1/2&1/2&1/2&0\\1&3/2&-3/2&1/2&1/2\\\hline &3/2&-3/2&1/2&1/2\\\end{array}}}$

Existen tres familias principales de métodos de Lobatto, ^[6] denominadas IIIA, IIIB y IIIC (en la literatura matemática clásica, los símbolos I y II están reservados para dos tipos de métodos de Radau). Estos reciben su nombre de Rehuel Lobatto ^[6] como referencia a la regla de cuadratura de Lobatto , pero fueron introducidos por Byron L. Ehle en su tesis. ^[7] Todos son métodos implícitos, tienen orden 2 s  − 2 y todos tienen c ₁  = 0 y c _s  = 1. A diferencia de cualquier método explícito, es posible que estos métodos tengan un orden mayor que el número de etapas. Lobatto vivió antes de que Runge y Kutta popularizaran el método clásico de cuarto orden.

Los métodos de Lobatto IIIA son métodos de colocación . El método de segundo orden se conoce como regla trapezoidal :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

El método de cuarto orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Estos métodos son A-estables, pero no L-estables ni B-estables.

Los métodos de Lobatto IIIB no son métodos de colocación, pero pueden considerarse como métodos de colocación discontinua (Hairer, Lubich y Wanner 2006, §II.1.4). El método de segundo orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&0\\1&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

El método de cuarto orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/6&0\\1/2&1/6&1/3&0\\1&1/6&5/6&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Los métodos Lobatto IIIB son A-estables, pero no L-estables ni B-estables.

Los métodos de Lobatto IIIC también son métodos de colocación discontinua. El método de segundo orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&-1/2\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\&1&0\\\end{array}}}$

El método de cuarto orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}$

Son L-estables. También son algebraicamente estables y, por lo tanto, B-estables, lo que los hace adecuados para problemas difíciles.

Los métodos Lobatto IIIC* también se conocen como métodos Lobatto III (Butcher, 2008), métodos Lobatto de Butcher (Hairer et al., 1993) y métodos Lobatto IIIC (Sun, 2000) en la literatura. ^[6] El método de segundo orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

El método de tres etapas y cuarto orden de Butcher viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/2&1/4&1/4&0\\1&0&1&0\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

Estos métodos no son A-estables, B-estables o L-estables. El método Lobatto IIIC* a veces se denomina regla trapezoidal explícita. ${\displaystyle s=2}$

Se puede considerar una familia muy general de métodos con tres parámetros reales considerando coeficientes de Lobatto de la forma ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})}$

${\displaystyle a_{i,j}(\alpha _{A},\alpha _{B},\alpha _{C})=\alpha _{A}a_{i,j}^{A}+\alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C*}}$,

dónde

${\displaystyle \alpha _{C*}=1-\alpha _{A}-\alpha _{B}-\alpha _{C}}$.

Por ejemplo, la familia Lobatto IIID introducida en (Nørsett y Wanner, 1981), también llamada Lobatto IIINW, se da por

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/2&1/2\\1&-1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}}$

y

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&1/6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{array}}}$

Estos métodos corresponden a , , , y . Los métodos son L-estables. Son algebraicamente estables y, por lo tanto, B-estables. ${\displaystyle \alpha _{A}=2}$${\displaystyle \alpha _{B}=2}$${\displaystyle \alpha _{C}=-1}$${\displaystyle \alpha _{C*}=-2}$

Los métodos de Radau son métodos completamente implícitos (la matriz A de dichos métodos puede tener cualquier estructura). Los métodos de Radau alcanzan el orden 2 s  − 1 para s etapas. Los métodos de Radau son estables en A, pero costosos de implementar. También pueden sufrir reducción de orden. El método de Radau de primer orden es similar al método de Euler inverso.

El método de tercer orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&1/4&-1/4\\2/3&1/4&5/12\\\hline &1/4&3/4\\\end{array}}}$

El método de quinto orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}0&{\frac {1}{9}}&{\frac {-1-{\sqrt {6}}}{18}}&{\frac {-1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{array}}}$

Los c _i de este método son ceros de

${\displaystyle {\frac {d^{s-1}}{dx^{s-1}}}(x^{s-1}(x-1)^{s})}$.

El método de tercer orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}1/3&5/12&-1/12\\1&3/4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{array}}}$

El método de quinto orden viene dado por

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}{\frac {2}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{\frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{array}}}$

• Ehle, Byron L. (1969). Aproximaciones de Padé a la función exponencial y métodos A-estables para la solución numérica de problemas de valor inicial (PDF) (Tesis).
• Hairer, Ernst; Norsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0.
• Hairer, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias II: Problemas rígidos y diferenciales-algebraicos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5.
• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006), Integración numérica geométrica: algoritmos que preservan la estructura para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-30663-4.