Mapa exponencial (geometría riemanniana)

En geometría riemanniana , una aplicación exponencial es una aplicación de un subconjunto de un espacio tangente.${\displaystyle T_{p}M}$de una variedad riemanniana (o variedad pseudoriemanniana )${\displaystyle M}$a${\displaystyle M}$en sí misma. La métrica (pseudo)riemanniana determina una conexión afín canónica, y el mapa exponencial de la variedad (pseudo)riemanniana viene dado por el mapa exponencial de esta conexión.

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad diferenciable y${\displaystyle p}$un punto de${\displaystyle M}$. Una conexión afín en${\displaystyle M}$permite definir la noción de una línea recta que pasa por el punto${\displaystyle p}$. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle v\in T_{p}M}$sea ​​un vector tangente a la variedad en${\displaystyle p}$Luego hay una geodésica única.${\displaystyle \gamma _{v}:[0,1]\rightarrow M}$satisfactorio${\displaystyle \gamma _{v}(0)=p}$con vector tangente inicial${\displaystyle \gamma _{v}'(0)=v}$. El mapa exponencial correspondiente se define por${\displaystyle \exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)}$En general, el mapa exponencial solo está definido localmente , es decir, solo toma un pequeño vecindario del origen en${\displaystyle T_{p}M}$, a un barrio de${\displaystyle p}$en la variedad. Esto se debe a que se basa en el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias , que es de naturaleza local. Una conexión afín se llama completa si la aplicación exponencial está bien definida en cada punto del fibrado tangente .

Intuitivamente hablando, el mapa exponencial toma un vector tangente dado a la variedad, recorre la geodésica comenzando en ese punto y va en esa dirección, durante una unidad de tiempo. Dado que${\displaystyle v}$corresponde al vector de velocidad de la geodésica, la distancia real (riemanniana) recorrida dependerá de ello. También podemos reparametrizar las geodésicas para que tengan velocidad unitaria, por lo que equivalentemente podemos definir${\displaystyle \exp _{p}(v)=\beta (|v|)}$dónde${\displaystyle \beta }$es la geodésica de velocidad unitaria (geodésica parametrizada por la longitud del arco) que va en la dirección de${\displaystyle v}$A medida que variamos el vector tangente${\displaystyle v}$lo obtendremos al solicitar${\displaystyle \exp _{p}}$, diferentes puntos sobre${\displaystyle M}$que se encuentran a cierta distancia del punto base${\displaystyle p}$—esta es quizás una de las formas más concretas de demostrar que el espacio tangente a una variedad es una especie de "linealización" de la variedad.

El teorema de Hopf-Rinow afirma que es posible definir la aplicación exponencial en todo el espacio tangente si y solo si la variedad es completa como espacio métrico (lo que justifica el término usual geodésicamente completa para una variedad que tiene una aplicación exponencial con esta propiedad). En particular, las variedades compactas son geodésicamente completas. Sin embargo, incluso si${\displaystyle \exp _{p}}$está definido en todo el espacio tangente, en general no será un difeomorfismo global . Sin embargo, su diferencial en el origen del espacio tangente es la aplicación identidad y, por lo tanto, por el teorema de la función inversa podemos encontrar un entorno del origen de${\displaystyle T_{p}M}$en el que el mapa exponencial es una incrustación (es decir, el mapa exponencial es un difeomorfismo local). El radio de la bola más grande alrededor del origen en${\displaystyle T_{p}M}$que se pueden mapear difeomórficamente mediante${\displaystyle \exp _{p}}$se denomina radio de inyectividad de${\displaystyle M}$en${\displaystyle p}$El lugar geométrico de corte de la aplicación exponencial es, en términos generales, el conjunto de todos los puntos donde la aplicación exponencial no tiene un mínimo único.

Una propiedad importante del mapa exponencial es el siguiente lema de Gauss (otro lema de Gauss ): dado cualquier vector tangente${\displaystyle v}$en el dominio de definición de${\displaystyle \exp _{p}}$y otro vector${\displaystyle w}$con sede en la punta de${\displaystyle v}$(por eso${\displaystyle w}$en realidad está en el espacio de doble tangente${\displaystyle T_{v}(T_{p}M)}$) y ortogonal a${\displaystyle v}$,${\displaystyle w}$permanece ortogonal a${\displaystyle v}$cuando se impulsa hacia adelante mediante el mapa exponencial. Esto significa, en particular, que la esfera límite de una pequeña bola alrededor del origen en${\displaystyle T_{p}M}$es ortogonal a las geodésicas en${\displaystyle M}$determinado por esos vectores (es decir, las geodésicas son radiales ). Esto motiva la definición de coordenadas normales geodésicas en una variedad riemanniana.

El mapa exponencial también es útil para relacionar la definición abstracta de curvatura con la realización más concreta de la misma, concebida originalmente por el propio Riemann: la curvatura seccional se define intuitivamente como la curvatura gaussiana de alguna superficie (es decir, un corte de la variedad por una subvariedad bidimensional) a través del punto${\displaystyle p}$en consideración. Mediante el mapa exponencial, ahora se puede definir con precisión como la curvatura gaussiana de una superficie a través de${\displaystyle p}$determinado por la imagen debajo${\displaystyle \exp _{p}}$de un subespacio bidimensional de${\displaystyle T_{p}M}$.

En el caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante —una métrica pseudoriemanniana invariante bajo traslación izquierda y derecha— las aplicaciones exponenciales de la estructura pseudoriemanniana son las mismas que las aplicaciones exponenciales del grupo de Lie . En general, los grupos de Lie no tienen una métrica bi-invariante, aunque todos los grupos de Lie semisimples (o reductivos ) conexos sí la tienen. La existencia de una métrica riemanniana bi-invariante es más fuerte que la de una métrica pseudoriemanniana, e implica que el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto; a la inversa, cualquier grupo de Lie compacto (o abeliano) tiene dicha métrica riemanniana.

Tomemos el ejemplo que proporciona el mapa exponencial "honesto". Consideremos los números reales positivos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$, un grupo de Lie bajo la multiplicación usual. Entonces cada espacio tangente es simplemente${\displaystyle \mathbb {R} }$. En cada copia de${\displaystyle \mathbb {R} }$en ese punto${\displaystyle y}$, introducimos el producto interno modificado $${\displaystyle \langle u,v\rangle _ {y}={\frac {uv}{y^{2}}}}$$ multiplicándolos como números reales habituales pero escalándolos por${\displaystyle y^{2}}$(Esto es lo que hace que la métrica sea invariante por la izquierda, ya que la multiplicación por la izquierda por un factor simplemente sacará del producto interno, dos veces, cancelando el cuadrado en el denominador).

Consideremos el punto${\displaystyle 1\in \mathbb {R} ^{+}}$, y${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$un elemento del espacio tangente en 1. La línea recta usual que emana de 1, a saber:${\displaystyle y(t)=1+xt}$cubre el mismo camino que una geodésica, por supuesto, excepto que tenemos que reparametrizar para obtener una curva con velocidad constante ("velocidad constante", recuerde, no va a ser la velocidad constante ordinaria, porque estamos usando esta métrica peculiar). Para hacer esto reparametrizamos por longitud de arco (la integral de la longitud del vector tangente en la norma${\displaystyle |\cdot |_{y}}$inducido por la métrica modificada): $${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|}$$

y después de invertir la función para obtener${\displaystyle t}$como función de${\displaystyle s}$, sustituimos y obtenemos $${\displaystyle y(s)=e^{sx/|x|}}$$

Ahora, utilizando la definición de velocidad unitaria, tenemos $${\displaystyle \exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),}$$ dando lo esperado${\displaystyle e^{x}}$.

La distancia riemanniana definida por esto es simplemente $${\displaystyle \operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.}$$

• Lista de temas exponenciales

• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (1975), Teoremas de comparación en geometría riemanniana , ElsevierVéase el Capítulo 1, Secciones 2 y 3.
• do Carmo, Manfredo P. (1992), Geometría riemanniana , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8Véase el capítulo 3.
• "Mapeo exponencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Graduate Studies in Mathematics , vol.  34, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454 .
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol.  1 (Nueva  ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.