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Coordenadas normales

En geometría diferencial , las coordenadas normales en un punto p de una variedad diferenciable con una conexión afín simétrica constituyen un sistema de coordenadas local en un...

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En geometría diferencial , las coordenadas normales en un punto p de una variedad diferenciable con una conexión afín simétrica constituyen un sistema de coordenadas local en un entorno de p , obtenido mediante la aplicación de la función exponencial al espacio tangente en p . En un sistema de coordenadas normales, los símbolos de Christoffel de la conexión se anulan en el punto p , lo que a menudo simplifica los cálculos locales. En las coordenadas normales asociadas a la conexión de Levi-Civita de una variedad riemanniana , se puede disponer adicionalmente que el tensor métrico sea la delta de Kronecker en el punto p , y que las primeras derivadas parciales de la métrica en p se anulen.

Un resultado fundamental de la geometría diferencial establece que las coordenadas normales en un punto siempre existen en una variedad con una conexión afín simétrica. En dichas coordenadas, la derivada covariante se reduce a una derivada parcial (solo en p ), y las geodésicas que pasan por p son funciones localmente lineales de t (el parámetro afín). Esta idea fue implementada de manera fundamental por Albert Einstein en la teoría general de la relatividad : el principio de equivalencia utiliza coordenadas normales a través de sistemas de referencia inerciales . Las coordenadas normales siempre existen para la conexión de Levi-Civita de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por el contrario, en general no hay manera de definir coordenadas normales para variedades de Finsler de forma que la aplicación exponencial sea dos veces diferenciable ( Busemann 1955 ) .

Coordenadas normales geodésicas

Las coordenadas normales geodésicas son coordenadas locales en una variedad con una conexión afín definida mediante la aplicación exponencial.

exppag:TpagMETRO⊃V→METRO{\displaystyle \exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M}

conV{\displaystyle V}un vecindario abierto de 0 enTpagMETRO{\displaystyle T_{p}M}y un isomorfismo

mi:Rnorte→TpagMETRO{\displaystyle E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M}

dada por cualquier base del espacio tangente en el punto base fijopag∈METRO{\displaystyle p\in M}. Si se impone la estructura adicional de una métrica riemanniana, entonces puede requerirse que la base definida por E sea además ortonormal , y el sistema de coordenadas resultante se conoce entonces como un sistema de coordenadas normales riemanniano .

Existen coordenadas normales en un entorno normal de un punto p en M. Un entorno normal U es un subconjunto abierto de M tal que existe un entorno propio V del origen en el espacio tangente T p M , y exp p actúa como un difeomorfismo entre U y V. En un entorno normal U de p en M , la carta viene dada por:

φ:=mi−1∘exppag−1:U→Rnorte{\displaystyle \varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}

El isomorfismo E, y por lo tanto la carta, no es único. Un entorno normal convexo U es un entorno normal de cada p en U. La existencia de este tipo de entornos abiertos (que forman una base topológica ) fue establecida por JHC Whitehead para conexiones afines simétricas.

Propiedades

Las propiedades de las coordenadas normales a menudo simplifican los cálculos. A continuación, supongamos queU{\displaystyle U}es un barrio normal centrado en un puntopag{\displaystyle p}enMETRO{\displaystyle M}yincógnitai{\displaystyle x^{i}}son coordenadas normales enU{\displaystyle U}.

  • DejarV{\displaystyle V}ser algún vector deTpagMETRO{\displaystyle T_{p}M}con componentesVi{\displaystyle V^{i}}en coordenadas locales yγV{\displaystyle \gamma _{V}}ser la geodésica conγV(0)=pag{\displaystyle \gamma _{V}(0)=p}yγV′(0)=V{\displaystyle \gamma _ {V}'(0)=V}. Luego, en coordenadas normales,γV(t)=(tV1,…,tVnorte){\displaystyle \gamma _{V}(t)=(tV^{1},\ldots ,tV^{n})}siempre y cuando esté enU{\displaystyle U}Por lo tanto, las trayectorias radiales en coordenadas normales son exactamente las geodésicas que pasan porpag{\displaystyle p}.
  • Las coordenadas del puntopag{\displaystyle p}son(0,…,0){\displaystyle (0,\ldots ,0)}.
  • En coordenadas normales riemannianas en un puntopag{\displaystyle p}los componentes de la métrica riemannianagramoij{\displaystyle g_{ij}}simplificar aδij{\displaystyle \delta _{ij}}, es decir,gramoij(pag)=δij{\displaystyle g_{ij}(p)=\delta _{ij}}.
  • Los símbolos de Christoffel desaparecen enpag{\displaystyle p}, es decir,Γijk(pag)=0{\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}(p)=0}. En el caso riemanniano, también lo hacen las primeras derivadas parciales degramoij{\displaystyle g_{ij}}, es decir,∂gramoij∂incógnitak(pag)=0,∀i,j,k{\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k}.

Fórmulas explícitas

En las proximidades de cualquier puntopag=(0,…0){\displaystyle p=(0,\ldots 0)} equipado con un sistema de coordenadas localmente ortonormal en el que gramoμν(0)=δμν{\displaystyle g_{\mu \nu }(0)=\delta _ {\mu \nu }}y el tensor de Riemann enpag{\displaystyle p}toma el valorRμσντ(0){\displaystyle R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)} podemos ajustar las coordenadasincógnitaμ{\displaystyle x^{\mu }}de modo que los componentes del tensor métrico se alejen de pag{\displaystyle p}convertirse

gramoμν(incógnita)=δμν−13Rμσντ(0)incógnitaσincógnitaτ+O(|incógnita|3).{\displaystyle g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3}).}

Los símbolos de Christoffel correspondientes a la conexión Levi-Civita son:

Γλμν(incógnita)=−13[Rλνμτ(0)+Rλμντ(0)]incógnitaτ+O(|incógnita|2).{\displaystyle {\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\tfrac {1}{3}}{\bigl [}{R^{\lambda }}_{\nu \mu \tau }(0)+{R^{\lambda }}_{\mu \nu \tau }(0){\bigr ]}x^{\tau }+O(|x|^{2}).}

De manera similar podemos construir coframes locales.mi∗a=miμ∗adincógnitaμ{\displaystyle {\mathbf {e}}^{*a}=e_{\mu }^{*a}dx^{\mu }}en el cual

miμ∗a(incógnita)=δaμ−16Raσμτ(0)incógnitaσincógnitaτ+O(incógnita2),{\displaystyle e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\tfrac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),}

y los coeficientes de conexión de espín toman los valores

ωabμ(incógnita)=−12Rabμτ(0)incógnitaτ+O(|incógnita|2).{\displaystyle {\omega ^{a}}_{b\mu }(x)=-{\tfrac {1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau }(0)x^{\tau }+O(|x|^{2}).}

Coordenadas polares

En una variedad riemanniana, un sistema de coordenadas normal en p facilita la introducción de un sistema de coordenadas esféricas , conocido como coordenadas polares . Estas son las coordenadas en M obtenidas al introducir el sistema de coordenadas esféricas estándar en el espacio euclidiano T p M. Es decir, se introduce en T p M el sistema de coordenadas esféricas estándar ( r ,φ) donde r  ≥  0 es el parámetro radial y φ  =  (φ 1 ,...,φ n − 1 ) es una parametrización de la ( n − 1)-esfera . La composición de ( r ,φ) con el inverso de la aplicación exponencial en p es un sistema de coordenadas polares.

Las coordenadas polares proporcionan varias herramientas fundamentales en la geometría riemanniana. La coordenada radial es la más significativa: geométricamente representa la distancia geodésica a p de puntos cercanos. El lema de Gauss afirma que el gradiente de r es simplemente la derivada parcial.∂/∂r{\displaystyle \partial /\partial r}. Eso es,

⟨dF,dr⟩=∂F∂r{\displaystyle \langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}}

para cualquier funcionamiento suaveF{\displaystyle f}Como resultado, la métrica en coordenadas polares adopta una forma diagonal por bloques.

gramo=[10⋯ 00⋮gramoϕϕ(r,ϕ)0].{\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.}

Referencias

Véase también