Exponenciación

A medida que se mecanizaba el cálculo, la notación se adaptaba a la capacidad numérica mediante convenciones en notación exponencial. El concepto teórico de representación de punto flotante fue introducido originalmente por el ingeniero español Leonardo Torres Quevedo en sus Ensayos sobre Automática de 1914. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Posteriormente, en 1938 , el ingeniero alemán Konrad Zuse logró su primera implementación física en su computadora Z1. ^{[ 21 ]} En el diseño de Zuse, un registro contenía la representación de los dígitos principales y un segundo contenía la representación del exponente. La representación de punto flotante decimal, más flexible , se introdujo en 1946 con una computadora de los Laboratorios Bell . Finalmente, educadores e ingenieros adoptaron la notación científica de los números, en consonancia con la referencia común al orden de magnitud en una escala de razón . ^{[ 21 ]}

Por ejemplo, en 1961 el Grupo de Estudio de Matemáticas Escolares desarrolló la notación en relación con las unidades utilizadas en el sistema métrico . ^{[ 22 ] [ 23 ]}

Los exponentes también se empezaron a usar para describir unidades de medida y dimensiones de cantidades . Por ejemplo, dado que la fuerza es masa por aceleración, se mide en kg m/s² ^. Usando M para la masa, L para la longitud y T para el tiempo, la expresión MLT⁻² ^se usa en el análisis dimensional para describir la fuerza. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

La definición de la exponenciación como una multiplicación iterada puede formalizarse mediante inducción , ^{[ 26 ]} y esta definición puede utilizarse tan pronto como se tenga una multiplicación asociativa :

El caso base es

${\displaystyle b^{1}=b}$

y la recurrencia es

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

La asociatividad de la multiplicación implica que para cualesquiera enteros positivos m y n ,

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n},}$

y

${\displaystyle (b^{m})^{n}=b^{mn}.}$

Como se mencionó anteriormente, un número (distinto de cero) elevado a la potencia 0 es 1 : ^{[ 27 ] [ 1 ]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

Este valor también se obtiene mediante la convención del producto vacío , que puede utilizarse en cualquier estructura algebraica con una multiplicación que tenga identidad . De esta forma, la fórmula

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$

También es válido para${\displaystyle n=0}$.

El caso de 0 ⁰ es controvertido. En contextos donde solo se consideran potencias enteras, generalmente se le asigna el valor 1 a 0 ^0, pero, en otros casos, la decisión de asignarle un valor y cuál asignarlo puede depender del contexto.

La exponenciación con exponentes negativos se define mediante la siguiente identidad, que se cumple para cualquier entero n y b distinto de cero : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$

Elevar 0 a un exponente negativo no está definido, pero en algunas circunstancias puede interpretarse como infinito (${\displaystyle \infty }$). ^{[ 28 ]}

Esta definición de exponenciación con exponentes negativos es la única que permite extender la identidad.${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}}$a exponentes negativos (considere el caso${\displaystyle m=-n}$).

La misma definición se aplica a los elementos invertibles en un monoide multiplicativo , es decir, una estructura algebraica , con una multiplicación asociativa y una identidad multiplicativa denotada por 1 (por ejemplo, las matrices cuadradas de una dimensión dada). En particular, en dicha estructura, el inverso de un elemento invertible x se denota estándarmente${\displaystyle x^{-1}.}$

Las siguientes identidades , a menudo llamadasLas reglas de los exponentes se cumplen para todos los exponentes enteros, siempre que la base no sea cero: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m}\cdot b^{n}&=b^{m+n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\b^{n}\cdot c^{n}&=(b\cdot c)^{n}\end{aligned}}}$

A diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es conmutativa : por ejemplo,${\displaystyle 2^{3}=8}$pero invertir los operandos da un valor diferente.${\displaystyle 3^{2}=9}$. Además, a diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es asociativa : por ejemplo, (2 ³ ) ² = 8 ² = 64 , mientras que 2 ^{(3 2 )} = 2 ⁹ = 512 . Sin paréntesis, el orden convencional de las operaciones para la exponenciación serial en notación de superíndice es de arriba hacia abajo (o asociativa derecha ), no de abajo hacia arriba (o asociativa izquierda ). ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} Es decir,

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

lo cual, en general, es diferente de

${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$

Las potencias de una suma normalmente se pueden calcular a partir de las potencias de los sumandos mediante la fórmula binomial.

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{ni}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(ni)!}}a^{i}b^{ni}.}$

Sin embargo, esta fórmula solo es válida si los sumandos conmutan (es decir, que ab = ba), lo cual se deduce si pertenecen a una estructura conmutativa . De lo contrario , si a y b son , por ejemplo, matrices cuadradas del mismo tamaño, esta fórmula no se puede utilizar. Por consiguiente, en álgebra computacional , muchos algoritmos que involucran exponentes enteros deben modificarse cuando las bases de exponenciación no conmutan. Algunos sistemas de álgebra computacional de propósito general utilizan una notación diferente (a veces ^^ en lugar de ^ ) para la exponenciación con bases no conmutativas, que se denomina exponenciación no conmutativa .

Para enteros no negativos n y m , el valor de n ^m es el número de funciones de un conjunto de m elementos a un conjunto de n elementos (véase exponenciación cardinal ). Dichas funciones pueden representarse como m - tuplas de un conjunto de n elementos (o como palabras de m letras de un alfabeto de n letras). En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos para valores particulares de m y n :

El límite de una sucesión de potencias de un número mayor que uno diverge; en otras palabras, la sucesión crece sin límite:

${\displaystyle b^{n}\rightarrow \infty {\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}b>1}$

Esto se puede leer como " b elevado a la potencia de n tiende a +∞ cuando n tiende a infinito cuando b es mayor que uno".

Las potencias de un número con valor absoluto menor que uno tienden a cero:

${\displaystyle b^{n}\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty {\text{ when }}\left|b\right|<1}$

Cualquier potencia de uno es siempre uno:

${\displaystyle b^{n}=1{\text{ for all }}n{\text{ for }}b=1}$

Potencias de un número negativo${\displaystyle b\leq -1}$alternan entre positivos y negativos a medida que n alterna entre pares e impares, y por lo tanto no tienden a ningún límite a medida que n crece.

Si el número elevado a la potencia varía mientras tiende a 1 a medida que el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los anteriores. Un caso particularmente importante es

${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}\rightarrow e{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$

Véase la sección §  Función exponencial a continuación.

Otros límites, en particular los de las expresiones que adoptan una forma indeterminada , se describen en el apartado  Límites de las facultades que figura más adelante.

Funciones reales de la forma${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$, dónde${\displaystyle c\neq 0}$, a veces se denominan funciones de potencia. ^{[ 32 ]} Cuando${\displaystyle n}$es un número entero y${\displaystyle n\geq 1}$, existen dos familias principales: para${\displaystyle n}$incluso, y para${\displaystyle n}$extraño. En general para${\displaystyle c>0}$, cuando${\displaystyle n}$es incluso${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$tenderá hacia el infinito positivo con el aumento${\displaystyle x}$y también hacia el infinito positivo con disminución${\displaystyle x}$. Todas las gráficas de la familia de funciones de potencia pares tienen la forma general de${\displaystyle y=cx^{2}}$, aplanándose más en el medio como${\displaystyle n}$aumenta. ^{[ 33 ]} Funciones con este tipo de simetría (${\displaystyle f(-x)=f(x)}$) se denominan funciones pares .

Cuando${\displaystyle n}$es extraño,${\displaystyle f(x)}$El comportamiento asintótico de se invierte desde positivo${\displaystyle x}$a negativo${\displaystyle x}$. Para${\displaystyle c>0}$,${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$también tenderá hacia el infinito positivo con el aumento${\displaystyle x}$, pero hacia el infinito negativo con disminución${\displaystyle x}$. Todas las gráficas de la familia de funciones de potencia impares tienen la forma general de${\displaystyle y=cx^{3}}$, aplanándose más en el medio como${\displaystyle n}$aumenta y pierde toda planitud allí en la línea recta para${\displaystyle n=1}$. Funciones con este tipo de simetría (${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$) se denominan funciones impares .

Para${\displaystyle c<0}$, el comportamiento asintótico opuesto es cierto en cada caso. ^{[ 33 ]}

Dado que cualquier número irracional puede expresarse como el límite de una secuencia de números racionales, la exponenciación de un número real positivo b con un exponente real arbitrario x puede definirse por continuidad con la regla ^{[ 34 ].}

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

donde el límite se toma solo sobre valores racionales de r . Este límite existe para todo b positivo y todo x real .

Por ejemplo, si x = π , la representación decimal no terminante π = 3.14159... y la monotonicidad de las potencias racionales se pueden usar para obtener intervalos acotados por potencias racionales tan pequeños como se desee, y deben contener${\displaystyle b^{\pi }:}$

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right],\left[b^{3.1},b^{3.2}\right],\left[b^{3.14},b^{3.15}\right],\left[b^{3.141},b^{3.142}\right],\left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right],\left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right],\ldots }$

Así, los límites superior e inferior de los intervalos forman dos secuencias que tienen el mismo límite, denotado${\displaystyle b^{\pi }.}$

Esto define${\displaystyle b^{x}}$para todo b positivo y x real como una función continua de b y x . Véase también Expresión bien definida . ^{[ 35 ]}

La función exponencial puede definirse como${\displaystyle x\mapsto e^{x},}$dónde${\displaystyle e\approx 2.718}$es el número de Euler , pero para evitar un razonamiento circular , esta definición no se puede usar aquí. En cambio, damos una definición independiente de la función exponencial.${\displaystyle \exp(x),}$y de${\displaystyle e=\exp(1)}$, basándonos únicamente en potencias enteras positivas (multiplicación repetida). A continuación, esbozamos la demostración de que esto concuerda con la definición anterior:${\displaystyle \exp(x)=e^{x}.}$

Hay muchas formas equivalentes de definir la función exponencial , una de ellas es

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Uno tiene${\displaystyle \exp(0)=1,}$y la identidad exponencial (o regla de multiplicación)${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$También se cumple, ya que

${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x+y}{n}}+{\frac {xy}{n^{2}}}\right)^{n},}$

y el término de segundo orden${\displaystyle {\frac {xy}{n^{2}}}}$no afecta al límite, dando como resultado${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$.

El número de Euler se puede definir como${\displaystyle e=\exp(1)}$De las ecuaciones anteriores se deduce que${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$cuando x es un entero (esto resulta de la definición de multiplicación repetida de la exponenciación). Si x es real,${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$resultados a partir de las definiciones dadas en las secciones anteriores, utilizando la identidad exponencial si x es racional, y la continuidad de la función exponencial en caso contrario.

El límite que define la función exponencial converge para cada valor complejo de x , y por lo tanto puede usarse para extender la definición de${\displaystyle \exp(z)}$y por lo tanto${\displaystyle e^{z},}$desde los números reales hasta cualquier argumento complejo z . Esta función exponencial extendida aún satisface la identidad exponencial y se usa comúnmente para definir la exponenciación para bases y exponentes complejos.

La definición de e ^x como la función exponencial permite definir b ^x para cada número real positivo b , en términos de la función exponencial y logarítmica . Específicamente, el hecho de que el logaritmo natural ln( x ) sea el inverso de la función exponencial e ^x significa que se tiene

${\displaystyle b=\exp(\ln b)=e^{\ln b}}$

para cada b > 0 . Para preservar la identidad${\displaystyle (e^{x})^{y}=e^{xy},}$uno debe tener

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\ln b}}$

Entonces,${\displaystyle e^{x\ln b}}$puede utilizarse como definición alternativa de b ^x para cualquier b real positivo . Esto concuerda con la definición dada anteriormente utilizando exponentes racionales y continuidad, con la ventaja de extenderse fácilmente a cualquier exponente complejo.

Todo número complejo no nulo z puede escribirse en forma polar como

${\displaystyle z=\rho e^{i\theta }=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),}$

dónde${\displaystyle \rho }$es el valor absoluto de z y${\displaystyle \theta }$es su argumento . El argumento está definido hasta un múltiplo entero de 2π ; esto significa que, si${\displaystyle \theta }$es el argumento de un número complejo, entonces${\displaystyle \theta +2k\pi }$También es un argumento del mismo número complejo para cada entero.${\displaystyle k}$.

La forma polar del producto de dos números complejos se obtiene multiplicando los valores absolutos y sumando los argumentos. De ello se deduce que la forma polar de la raíz enésima de un número complejo se puede obtener calculando la raíz enésima del valor absoluto y dividiendo su argumento entre n :

${\displaystyle \left(\rho e^{i\theta }\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i\theta }{n}}.}$

Si${\displaystyle 2\pi }$se agrega a${\displaystyle \theta }$, el número complejo no cambia, pero esto añade${\displaystyle 2i\pi /n}$al argumento de la raíz n -ésima, y ​​proporciona una nueva raíz n -ésima. Esto se puede hacer n veces (${\displaystyle k=0,1,...,n-1}$), y proporciona las raíces n - ésimas del número complejo:

${\displaystyle \left(\rho e^{i(\theta +2k\pi )}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{\frac {i(\theta +2k\pi )}{n}}.}$

Es habitual elegir una de las raíces n - ésimas como raíz principal . La elección común es elegir la raíz n -ésima para la cual${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi ,}$Es decir, la raíz enésima con la mayor parte real y, si hay dos, la que tiene parte imaginaria positiva. Esto convierte a la raíz enésima principal en una función continua en todo el plano complejo, excepto para los valores reales negativos del radicando . Esta función es igual a la raíz enésima usual para radicandos reales positivos. Para radicandos reales negativos y exponentes impares, la raíz enésima principal no es real, aunque la raíz enésima usual sí lo sea. La continuación analítica muestra que la raíz enésima principal es la única función diferenciable compleja que extiende la raíz enésima usual al plano complejo sin los números reales no positivos.

Si el número complejo se mueve alrededor de cero aumentando su argumento, después de un incremento de${\displaystyle 2\pi ,}$El número complejo vuelve a su posición inicial y sus raíces enésimas se permutan circularmente (se multiplican por$e^{2i\pi /n}$). Esto demuestra que no es posible definir una función de raíz n- ésima que sea continua en todo el plano complejo.

Raíces de la unidad

Las raíces enésimas de la unidad son las${\displaystyle n}$números complejos tales que${\displaystyle \omega ^{n}=1}$, donde​${\displaystyle n}$⁠ es un entero positivo. Aparecen en diversas áreas de las matemáticas, como en la transformada discreta de Fourier o en soluciones algebraicas de ecuaciones algebraicas ( resolvente de Lagrange ).

Las raíces enésimas de la unidad son las${\displaystyle n}$Primeros poderes de${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/n}}$, es decir${\displaystyle 1=\omega ^{0}=\omega ^{n}}$,​​${\displaystyle \omega =\omega ^{1}}$,​​${\displaystyle \omega ^{2}}$, ... ,${\displaystyle \omega ^{n-1}}$⁠ . Las raíces enésimas de la unidad que tienen esta propiedad generadora se llaman raíces enésimas primitivas de la unidad ; tienen la forma${\displaystyle \omega ^{k}=e^{2k\pi i/n}}$con k coprimo con n . La única raíz cuadrada primitiva de la unidad es${\displaystyle -1;}$Las cuartas raíces primitivas de la unidad son${\displaystyle i}$y​${\displaystyle -i}$⁠ .

Las raíces enésimas de la unidad permiten expresar todas las raíces enésimas de un número complejo z como los n productos de una raíz enésima dada de z con una raíz enésima de la unidad .

Geométricamente, las raíces enésimas de la unidad se encuentran en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un n -gono regular con un vértice en el número real 1.

Como el número${\displaystyle e^{2k\pi i/n}}$es la raíz primitiva n -ésima de la unidad con el argumento positivo más pequeño , se llama raíz primitiva n -ésima principal de la unidad , a veces abreviada como raíz n- ésima principal de la unidad , aunque esta terminología puede confundirse con el valor principal de${\displaystyle 1^{1/n}}$, que es 1. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

Definir la exponenciación con bases complejas conlleva dificultades similares a las descritas en la sección anterior, excepto que, en general, existen infinitos valores posibles para$z^{w}$. Por lo tanto, o bien se define un valor principal , que no es continuo para los valores de z que son reales y no positivos, o bien$z^{w}$se define como una función multivaluada .

En todos los casos, el logaritmo complejo se utiliza para definir la exponenciación compleja como

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z},}$

dónde${\displaystyle \log z}$es la variante del logaritmo complejo que se utiliza, que es una función o una función multivaluada tal que

${\displaystyle e^{\log z}=z}$

para cada z en su dominio de definición .

Un grupo multiplicativo es un conjunto con una operación asociativa denominada multiplicación, que tiene un elemento identidad y tal que cada elemento tiene un inverso.

Entonces, si G es un grupo,${\displaystyle x^{n}}$se define para cada${\displaystyle x\in G}$y cada entero n .

El conjunto de todas las potencias de un elemento de un grupo forma un subgrupo . Un grupo (o subgrupo) que consta de todas las potencias de un elemento específico x es el grupo cíclico generado por x . Si todas las potencias de x son distintas, el grupo es isomorfo al grupo aditivo.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de los enteros. De lo contrario, el grupo cíclico es finito (tiene un número finito de elementos) y su número de elementos es el orden de x . Si el orden de x es n , entonces${\displaystyle x^{n}=x^{0}=1,}$y el grupo cíclico generado por x consta de las n primeras potencias de x (comenzando indistintamente desde el exponente 0 o 1 ).

El orden de los elementos desempeña un papel fundamental en la teoría de grupos . Por ejemplo, el orden de un elemento en un grupo finito siempre es un divisor del número de elementos del grupo (el orden del grupo). Los posibles órdenes de los elementos de un grupo son importantes para el estudio de su estructura (véanse los teoremas de Sylow ) y para la clasificación de grupos simples finitos .

La notación de superíndice también se utiliza para la conjugación ; es decir, g ^h = h ⁻¹ gh , donde g y h son elementos de un grupo. Esta notación no debe confundirse con la exponenciación, ya que el superíndice no es un número entero. La motivación de esta notación es que la conjugación obedece algunas de las leyes de la exponenciación, a saber:${\displaystyle (g^{h})^{k}=g^{hk}}$y${\displaystyle (gh)^{k}=g^{k}h^{k}.}$

En un anillo , puede ocurrir que algunos elementos distintos de cero satisfagan${\displaystyle x^{n}=0}$para algún entero n . Dicho elemento se denomina nilpotente . En un anillo conmutativo , los elementos nilpotentes forman un ideal , llamado nilradical del anillo.

Si el nilradical se reduce al ideal cero (es decir, si${\displaystyle x\neq 0}$implica${\displaystyle x^{n}\neq 0}$Para cada entero positivo n , se dice que el anillo conmutativo es reducido . Los anillos reducidos son importantes en geometría algebraica , ya que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es siempre un anillo reducido.

De forma más general, dado un ideal I en un anillo conmutativo R , el conjunto de los elementos de R que tienen una potencia en I es un ideal, llamado radical de I. El nilradical es el radical del ideal cero . Un ideal radical es un ideal que es igual a su propio radical. En un anillo polinomial${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$Sobre un cuerpo k , un ideal es radical si y solo si es el conjunto de todos los polinomios que son cero en un conjunto algebraico afín (esto es una consecuencia del Nullstellensatz de Hilbert ).

Si A es una matriz cuadrada, entonces el producto de A consigo misma n veces se llama potencia de la matriz .${\displaystyle A^{0}}$se define como la matriz identidad, ^{[ 42 ]} y si A es invertible, entonces${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$.

Las potencias de matrices aparecen con frecuencia en el contexto de sistemas dinámicos discretos , donde la matriz A expresa una transición de un vector de estado x de algún sistema al siguiente estado Ax del sistema. ^{[ 43 ]} Esta es la interpretación estándar de una cadena de Markov , por ejemplo. Entonces${\displaystyle A^{2}x}$es el estado del sistema después de dos pasos de tiempo, y así sucesivamente:${\displaystyle A^{n}x}$es el estado del sistema después de n pasos de tiempo. La potencia de la matriz${\displaystyle A^{n}}$es la matriz de transición entre el estado actual y el estado en un instante n pasos en el futuro. Por lo tanto, calcular potencias de matrices es equivalente a resolver la evolución del sistema dinámico. En muchos casos, las potencias de matrices se pueden calcular convenientemente utilizando valores y vectores propios .

Además de las matrices, también se pueden exponenciar operadores lineales más generales. Un ejemplo es el operador de derivada del cálculo.${\displaystyle d/dx}$, que es un operador lineal que actúa sobre funciones${\displaystyle f(x)}$para dar una nueva función${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$La enésima potencia del operador de diferenciación es la enésima derivada:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

Estos ejemplos son para exponentes discretos de operadores lineales, pero en muchas circunstancias también es deseable definir potencias de dichos operadores con exponentes continuos. Este es el punto de partida de la teoría matemática de semigrupos . ^{[ 44 ]} Así como el cálculo de potencias de matrices con exponentes discretos resuelve sistemas dinámicos discretos, el cálculo de potencias de matrices con exponentes continuos resuelve sistemas con dinámica continua. Los ejemplos incluyen enfoques para resolver la ecuación del calor , la ecuación de Schrödinger , la ecuación de onda y otras ecuaciones diferenciales parciales que incluyen una evolución temporal. El caso especial de exponenciar el operador de derivada a una potencia no entera se llama derivada fraccionaria que, junto con la integral fraccionaria , es una de las operaciones básicas del cálculo fraccionario .

Un cuerpo es una estructura algebraica en la que la multiplicación, la suma, la resta y la división están definidas y satisfacen las propiedades de que la multiplicación es asociativa y todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo . Esto implica que la exponenciación con exponentes enteros está bien definida, excepto para potencias no positivas de 0. Ejemplos comunes son el cuerpo de los números complejos , los números reales y los números racionales , considerados anteriormente en este artículo, que son todos infinitos .

Un cuerpo finito es un cuerpo con un número finito de elementos. Este número de elementos es un número primo o una potencia prima ; es decir, tiene la forma${\displaystyle q=p^{k},}$donde p es un número primo y k es un entero positivo. Para cada q de este tipo , existen campos con q elementos. Los campos con q elementos son todos isomorfos , lo que permite, en general, trabajar como si solo hubiera un campo con q elementos, denotado${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$

Uno tiene

${\displaystyle x^{q}=x}$

por cada${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}.}$

Un elemento primitivo en${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$es un elemento g tal que el conjunto de las primeras potencias q − 1 de g (es decir,${\displaystyle \{g^{1}=g,g^{2},\ldots ,g^{p-1}=g^{0}=1\}}$) es igual al conjunto de los elementos no nulos de${\displaystyle \mathbb {F} _{q}.}$Hay${\displaystyle \varphi (p-1)}$elementos primitivos en${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$dónde${\displaystyle \varphi }$es la función totiente de Euler .

En${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$la identidad soñada del estudiante de primer año

${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

es cierto para el exponente p . Como${\displaystyle x^{p}=x}$en${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$De ello se deduce que el mapa

${\displaystyle {\begin{aligned}F\colon {}&\mathbb {F} _{q}\to \mathbb {F} _{q}\\&x\mapsto x^{p}\end{aligned}}}$

es lineal sobre${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$y es un automorfismo de cuerpo , llamado automorfismo de Frobenius . Si${\displaystyle q=p^{k},}$el campo${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$tiene k automorfismos, que son las k primeras potencias (bajo composición ) de F. En otras palabras, el grupo de Galois de${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$es cíclico de orden k , generado por el automorfismo de Frobenius.

El intercambio de claves Diffie-Hellman es una aplicación de la exponenciación en campos finitos que se utiliza ampliamente para comunicaciones seguras . Utiliza el hecho de que la exponenciación es computacionalmente económica, mientras que la operación inversa, el logaritmo discreto , es computacionalmente costosa. Más precisamente, si g es un elemento primitivo en${\displaystyle \mathbb {F} _{q},}$entonces${\displaystyle g^{e}}$se puede calcular eficientemente con exponenciación por cuadratura para cualquier e , incluso si q es grande, mientras que no se conoce ningún algoritmo computacionalmente práctico que permita recuperar e de${\displaystyle g^{e}}$si q es suficientemente grande.

Una n -tupla${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$Los elementos de S pueden considerarse como una función de${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}.}$Esto se generaliza a la siguiente notación.

Dados dos conjuntos S y T , el conjunto de todas las funciones de T a S se denota${\displaystyle S^{T}}$Esta notación exponencial se justifica por los siguientes isomorfismos canónicos (para el primero, véase Currying ):

${\displaystyle (S^{T})^{U}\cong S^{T\times U},}$

${\displaystyle S^{T\sqcup U}\cong S^{T}\times S^{U},}$