Extensión (conjunto simplicial)

En la teoría de categorías superiores en matemáticas , la extensión de conjuntos simpliciales ( functor de extensión o functor Ex ) es un endofunctor en la categoría de conjuntos simpliciales . Debido a muchas propiedades notables, el functor de extensión tiene numerosas y sólidas aplicaciones en álgebra homotópica. Entre las más conocidas se encuentra su aplicación en la construcción de complejos de Kan a partir de conjuntos simpliciales arbitrarios, lo que a menudo permite, sin pérdida de generalidad, utilizar los primeros para demostraciones sobre los segundos. Además, es muy compatible con la estructura del modelo de Kan-Quillen y puede utilizarse, por ejemplo, para enunciar explícitamente sus factorizaciones o para buscar equivalencias homotópicas débiles .

Utilizando la subdivisión de conjuntos simpliciales, la extensión de conjuntos simpliciales se define como: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Ex} \colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {sSet} ,\operatorname {Ex} (Y)_{n}:=\operatorname {Hom} (\operatorname {Sd} (\Delta ^{n}),Y).}$

Debido al lema de Yoneda , también se tiene${\displaystyle \operatorname {Ex} (Y)_{n}\cong \operatorname {Hom} (\Delta ^{n},\operatorname {Ex} (Y))}$. ^{[ 2 ]} Todos los mapas de conexión de los conjuntos se dan por precomposición con la aplicación del functor de subdivisión a todas las inclusiones canónicas${\displaystyle \Delta ^{n-1}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$. Dado que el functor de subdivisión por definición conmuta con todos los colímites , y para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$Hay un isomorfismo : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\Delta ^{n},}$

de hecho es el adjunto izquierdo del functor de extensión, denotado${\displaystyle \operatorname {Sd} \dashv \operatorname {Ex} }$. ^{[ 2 ]} Para conjuntos simpliciales${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$, uno tiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} (\operatorname {Sd} (X),Y)&\cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Sd} (\varinjlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\Delta ^{n}),Y)\cong \operatorname {Hom} (\varinjlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\operatorname {Sd} (\Delta ^{n}),Y)\cong \varprojlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\operatorname {Hom} (\operatorname {Sd} (\Delta ^{n}),Y)\\&\cong \varprojlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\operatorname {Hom} (\Delta ^{n},\operatorname {Ex} (Y))\cong \operatorname {Hom} (\varinjlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\Delta ^{n},\operatorname {Ex} (Y))\cong \operatorname {Hom} (X,\operatorname {Ex} (Y)).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, también es posible definir simplemente el functor de extensión como el adjunto derecho del functor de subdivisión. Tanto su construcción como extensión por colímites como su definición son similares a la de la adjunción entre la realización geométrica y el functor singular, con la importante diferencia de que no existe isomorfismo:

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{|\Delta ^{n}|\rightarrow X}|\Delta ^{n}|}$

para cada espacio topológico${\displaystyle X}$Esto se debe a que el colímite es siempre un complejo CW , para el cual el isomorfismo sí se cumple.

La transformación natural${\displaystyle a\colon \operatorname {Sd} \Rightarrow \operatorname {Id} }$induce una transformación natural${\displaystyle b\colon \operatorname {Id} \Rightarrow \operatorname {Ex} }$bajo la adjunción${\displaystyle \operatorname {Sd} \dashv \operatorname {Ex} }$. En particular, existe un morfismo canónico${\displaystyle b_{X}\colon X\rightarrow \operatorname {Ex} (X)}$para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$.

Para un conjunto simplicial${\displaystyle X}$, el morfismo canónico${\displaystyle b_{X}\colon X\rightarrow \operatorname {Ex} (X)}$incluye un${\displaystyle \mathbb {N} }$cono en forma de${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {Ex} (X)\rightarrow \operatorname {Ex} ^{2}(X)\rightarrow \operatorname {Ex} ^{3}(X)\rightarrow \ldots }$, cuyo límite se denota: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }(X):=\varinjlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Ex} ^{n}(X).}$

Dado que límite y colímite están intercambiados, no hay adjunción.${\displaystyle \operatorname {Sd} ^{\infty }\dashv \operatorname {Ex} ^{\infty }}$con el functor Sd∞ . Pero para el estudio de los símplices, esto no es de interés ya que cualquier${\displaystyle m}$-simplex${\displaystyle \Delta ^{m}\rightarrow \operatorname {Ex} ^{\infty }(X)}$debido a la compacidad del estándar${\displaystyle m}$-simplex${\displaystyle \Delta ^{m}}$factores sobre un morfismo${\displaystyle \Delta ^{m}\rightarrow \operatorname {Ex} ^{n}(X)}$por un${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, para lo cual la adjunción${\displaystyle \operatorname {Sd} ^{n}\dashv \operatorname {Ex} ^{n}}$Luego se puede aplicar para obtener un morfismo.${\displaystyle \operatorname {Sd} ^{n}(\Delta ^{m})\rightarrow X}$.

La transformación natural${\displaystyle b\colon \operatorname {Id} \Rightarrow \operatorname {Ex} }$induce una transformación natural${\displaystyle \beta \colon \operatorname {Id} \Rightarrow \operatorname {Ex} ^{\infty }}$. En particular, existe un morfismo canónico${\displaystyle \beta _{X}\colon X\rightarrow \operatorname {Ex} ^{\infty }(X)}$para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$.

• Para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$, el morfismo canónico${\displaystyle b_{X}\colon X\rightarrow \operatorname {Ex} (X)}$es una equivalencia homotópica débil . ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• El functor de extensión${\displaystyle \operatorname {Ex} }$preserva las equivalencias de homotopía débil (que se deduce directamente de la propiedad precedente y su propiedad 2 de 3) y las fibraciones de Kan , ^{[ 8 ]} por lo tanto, las fibraciones y las fibraciones triviales de la estructura del modelo de Kan-Quillen . Esto hace que la adjunción${\displaystyle \operatorname {Sd} \dashv \operatorname {Ex} }$incluso en una adjunción de Quillen${\displaystyle \operatorname {Sd} \colon \mathbf {sSet} _{\mathrm {KQ} }\rightleftarrows \mathbf {sSet} _{\mathrm {KQ} }\colon \operatorname {Ex} }$.
• Por cada inclusión de cuerno${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \operatorname {Ex} (X)}$con un conjunto simplicial${\displaystyle X}$existe una extensión${\displaystyle \Delta ^{n}\hookrightarrow \operatorname {Ex} ^{2}(X)}$. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• Para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$, el conjunto simplicial${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }(X)}$es un complejo de Kan , por lo tanto, un objeto fibrante de la estructura del modelo de Kan-Quillen. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} Esto se deduce directamente de la propiedad precedente. Además, el morfismo canónico${\displaystyle \beta _{X}\colon X\hookrightarrow \operatorname {Ex} ^{\infty }(X)}$es un monomorfismo y una equivalencia homotópica débil , por lo tanto una cofibración trivial de la estructura del modelo de Kan-Quillen. ^{[ 11 ] [ 13 ]}${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }(X)}$es por lo tanto el reemplazo fibrante de${\displaystyle X}$en la estructura del modelo Kan-Quillen, por lo tanto, la factorización del morfismo terminal${\displaystyle X\rightarrow \Delta ^{0}}$en una cofibración trivial seguida de una fibración. Además, existe una restricción.${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }\colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {Kan} }$con la subcategoría${\displaystyle \mathbf {Kan} \hookrightarrow \mathbf {sSet} }$de complejos de Kan.
• El functor de extensión infinita${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }}$conserva las tres clases de la estructura del modelo de Kan-Quillen, por lo tanto, las fibraciones de Kan, los monomorfismos y las equivalencias de homotopía débil (lo que de nuevo se deduce directamente de la propiedad anterior y su propiedad 2 de 3). ^{[ 14 ] [ 15 ]}
• El functor de extensión${\displaystyle \operatorname {Ex} }$y el functor de extensión infinita${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }}$ambos conservan el conjunto de${\displaystyle 0}$-símplices, que se deduce directamente de${\displaystyle \operatorname {Sd} (\Delta ^{0})\cong \Delta ^{0}}$. Para un conjunto simplicial${\displaystyle X}$, uno tiene: ^{[ 16 ]}

  ${\displaystyle \operatorname {Ex} (X)_{0}=X_{0},}$

  ${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }(X)_{0}=X_{0}.}$

• El functor de extensión fija el functor singular. Para un espacio topológico${\displaystyle X}$, uno tiene:

${\displaystyle \operatorname {Ex} \operatorname {Sing} (X)\cong \operatorname {Sing} (X).}$

Esto se deduce de${\displaystyle |\operatorname {Sd} (X)|\cong |X|}$para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$^{[ 17 ]} mediante el uso de las adjunciones${\displaystyle |-|\dashv \operatorname {Sing} }$y${\displaystyle \operatorname {Sd} \dashv \operatorname {Ex} }$. En particular, para un espacio topológico${\displaystyle X}$, uno tiene:

${\displaystyle \operatorname {Ex} ^{\infty }\operatorname {Sing} (X)\cong \operatorname {Sing} (X),}$

lo cual concuerda con el hecho de que el functor singular ya produce un complejo de Kan, que puede ser su propio reemplazo fibrante.

• Goerss, Paul; Jardine, John Frederick (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Modern Birkhäuser Classics. doi : 10.1007/978-3-0346-0189-4 . ISBN 978-3-0346-0188-7Archivado del original el 8 de febrero de 1999.
• Cisinski, Denis-Charles (30 de junio de 2019). Categorías superiores y álgebra homotópica (PDF) . Cambridge University Press . ISBN 978-1108473200.
• Guillou, Bertrand. "Funtor Ex∞ de Kan" (PDF) .

• Reemplazo de fibrantes de Kan en el laboratorio n
• El functor Ex∞ en Kerodon
• ¿Por qué es útil el functor Ex∞ de Kan? (en MathOverflow)