Subdivisión (conjunto simplicial)

En la teoría de categorías superiores en matemáticas , la subdivisión de conjuntos simpliciales ( functor de subdivisión o functor Sd ) es un endofunctor en la categoría de conjuntos simpliciales . Refina la estructura de los conjuntos simpliciales de forma puramente combinatoria , sin modificar construcciones como la realización geométrica . Además, la subdivisión de conjuntos simpliciales desempeña un papel importante en la extensión de los conjuntos simpliciales adjuntos derechos .

Para un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle I}$, dejar${\displaystyle s(I)}$Sea el conjunto de subconjuntos finitos no vacíos totalmente ordenados , que a su vez está parcialmente ordenado por inclusión. Todo conjunto parcialmente ordenado puede considerarse como una categoría. Postcomposición con el nervio${\displaystyle N\colon \mathbf {Cat} \rightarrow \mathbf {sSet} }$define el functor de subdivisión${\displaystyle \operatorname {Sd} \colon \Delta \rightarrow \mathbf {sSet} }$en la categoría simplex por:

${\displaystyle \operatorname {Sd} (\Delta ^{n}):=N(s([n])).}$

En la categoría completa de conjuntos simpliciales, el functor de subdivisión${\displaystyle \operatorname {Sd} \colon \mathbf {sSet} \rightarrow \mathbf {sSet} }$, de forma similar a la realización geométrica , se define mediante una extensión por colímites. Para un conjunto simplicial${\displaystyle X}$, por lo tanto, se tiene: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {Sd} (X):=\varinjlim _{\Delta ^{n}\rightarrow X}\operatorname {Sd} (\Delta ^{n}).}$

Con el máximo${\displaystyle \max \colon s(I)\rightarrow I}$, que en conjuntos parcialmente ordenados ni tiene que existir ni tiene que ser único, lo cual se cumple en conjuntos totalmente ordenados, hay una transformación natural${\displaystyle a\colon \operatorname {Sd} \Rightarrow \operatorname {Id} }$por extensión. En particular, existe un morfismo canónico.${\displaystyle a_{X}\colon \operatorname {Sd} (X)\rightarrow X}$para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$.

Para un conjunto simplicial${\displaystyle X}$, el morfismo canónico${\displaystyle a_{X}\colon \operatorname {Sd} (X)\rightarrow X}$incluye un${\displaystyle \mathbb {N} }$-cocón con forma${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Sd} ^{3}(X)\rightarrow \operatorname {Sd} ^{2}(X)\rightarrow \operatorname {Sd} (X)\rightarrow X}$, cuyo colímite se denota:

${\displaystyle \operatorname {Sd} ^{\infty }(X):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Sd} ^{n}(X).}$

Dado que límite y colímite están intercambiados, no hay adjunción.${\displaystyle \operatorname {Sd} ^{\infty }\dashv \operatorname {Ex} ^{\infty }}$con el functor Ex∞ .

La transformación natural${\displaystyle a\colon \operatorname {Sd} \Rightarrow \operatorname {Id} }$induce una transformación natural${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Sd} ^{\infty }\Rightarrow \operatorname {Id} }$. En particular, existe un morfismo canónico${\displaystyle \alpha _{X}\colon \operatorname {Sd} ^{\infty }(X)\rightarrow X}$para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$.

Directamente de la definición, se tiene: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Sd} (\Delta ^{0})=\Delta ^{0},}$

${\displaystyle \operatorname {Sd} (\Delta ^{1})=\Lambda _{2}^{2}.}$

Desde${\displaystyle \partial \Delta ^{1}\cong \Delta ^{0}+\Delta ^{0}}$, queda fija bajo subdivisión (infinita):

${\displaystyle \operatorname {Sd} (\partial \Delta ^{1})=\partial \Delta ^{1},}$

${\displaystyle \operatorname {Sd} ^{\infty }(\partial \Delta ^{1})=\partial \Delta ^{1}.}$

• Para cada conjunto simplicial${\displaystyle X}$, el morfismo canónico${\displaystyle a_{X}\colon \operatorname {Sd} (X)\rightarrow X}$es una equivalencia homotópica débil . ^{[ 3 ]}
• El functor de subdivisión${\displaystyle \operatorname {Sd} }$preserva monomorfismos y equivalencias de homotopía débil (que se deduce directamente de la propiedad precedente y su propiedad 2 de 3), así como extensiones anodinas en combinación, ^{[ 4 ]} por lo tanto cofibraciones y cofibraciones triviales de la estructura del modelo de Kan-Quillen . Esto hace que la adjunción${\displaystyle \operatorname {Sd} \dashv \operatorname {Ex} }$incluso en una adjunción de Quillen${\displaystyle \operatorname {Sd} \colon \mathbf {sSet} _{\mathrm {KQ} }\rightleftarrows \mathbf {sSet} _{\mathrm {KQ} }\colon \operatorname {Ex} }$.
• Para un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle I}$, uno tiene con el nervio: ^{[ 5 ]}

  ${\displaystyle \operatorname {Sd} (N(I))\cong N(s(I)).}$

Usando${\displaystyle I=[n]}$con${\displaystyle \Delta ^{n}=N([n])}$los resultados en la definición nuevamente.

• Dejar${\displaystyle \Phi _{k}^{n}}$sea ​​el conjunto de subconjuntos no vacíos de${\displaystyle [n]}$, que no contienen el complemento de${\displaystyle \{k\}}$y dejar${\displaystyle \partial \Phi ^{n}}$sea ​​el conjunto de subconjuntos propios no vacíos de${\displaystyle [n]}$, entonces: ^{[ 6 ]}

  ${\displaystyle \operatorname {Sd} (\Lambda _{k}^{n})\cong N(\Phi _{k}^{n}),}$

  ${\displaystyle \operatorname {Sd} (\partial \Delta ^{n})\cong N(\partial \Phi ^{n}).}$

• El functor de subdivisión preserva la realización geométrica. Para un conjunto simplicial${\displaystyle X}$, uno tiene: ^{[ 7 ]}

  ${\displaystyle |\operatorname {Sd} (X)|\cong |X|.}$

Dado que ambos functores se definen mediante extensión por colímites, basta con demostrar${\displaystyle |\operatorname {Sd} (\Delta ^{n})|=|\Delta ^{n}|}$. ^{[ 8 ]}

• Subdivisión (complejo simplicial)

• Goerss, Paul; Jardine, John Frederick (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Modern Birkhäuser Classics. doi : 10.1007/978-3-0346-0189-4 . Archivado del original el 8 de febrero de 1999. Consultado el 22 de abril de 2025 .{{cite book}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )
• Cisinski, Denis-Charles (30 de junio de 2019). Categorías superiores y álgebra homotópica (PDF) . Cambridge University Press . ISBN 978-1108473200.

• subdivisión en el Laboratorio n
• La subdivisión de un conjunto simplicial en Kerodon