Suma directa

Se distingue entre sumas directas internas y externas, aunque ambas son isomorfas. Si primero se definen los sumandos y luego se define la suma directa en términos de los sumandos, existe una suma directa externa. Por ejemplo, si los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$se definen, seguidos de${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$Se dice que la suma directa es externa.

Si, por otro lado, alguna estructura algebraica${\displaystyle S}$se define y${\displaystyle S}$se define entonces como una suma directa de dos subestructuras${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, se dice que la suma directa es interna. En ese caso, cada elemento de${\displaystyle S}$se puede expresar de forma única como una combinación algebraica de un elemento de${\displaystyle V}$y un elemento de${\displaystyle W}$. Para un ejemplo de suma directa interna, considere${\displaystyle \mathbb {Z} _ {6}}$(los enteros módulo seis), cuyos elementos son${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$Esto se puede expresar como una suma directa interna.${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$.

La suma directa de grupos abelianos es un ejemplo prototípico de suma directa. Dados dos grupos de este tipo${\displaystyle (A,\circ )}$y${\displaystyle (B,\bullet ),}$su suma directa${\displaystyle A\oplus B}$es lo mismo que su producto directo . Es decir, el conjunto subyacente es el producto cartesiano.${\displaystyle A\times B}$y la operación del grupo${\displaystyle \,\cdot \,}$se define componente por componente: $${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$ Esta definición se generaliza a sumas directas de un número finito de grupos abelianos.

Para una familia arbitraria de grupos${\displaystyle A_{i}}$indexado por${\displaystyle i\in I,}$su suma directa ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$ es el subgrupo del producto directo que consta de los elementos${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$que tienen soporte finito , donde, por definición,${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$Se dice que tiene soporte finito si${\displaystyle a_{i}}$es el elemento de identidad de${\displaystyle A_{i}}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle i.}$^{[ 4 ]} La suma directa de una familia infinita${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$de grupos no triviales es un subgrupo propio del grupo producto${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

La suma directa de módulos es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo.

Los ejemplos más conocidos de esta construcción se dan al considerar espacios vectoriales , que son módulos sobre un cuerpo . La construcción también puede extenderse a espacios de Banach y espacios de Hilbert .

Una categoría aditiva es una abstracción de las propiedades de la categoría de módulos. ^{[ 5 ] [ 6 ]} En dicha categoría, los productos finitos y los coproductos coinciden, y la suma directa es cualquiera de ellos: cf. biproducto .

De manera más general, ^{[ 3 ]} en la teoría de categorías elLa suma directa suele ser, aunque no siempre, el coproducto en la categoría de los objetos matemáticos en cuestión. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos, la suma directa es un coproducto. Esto también se cumple en la categoría de módulos.

La suma directa de las representaciones de grupo generaliza la suma directa de los módulos subyacentes al agregar una acción de grupo . Específicamente, dado un grupo${\displaystyle G}$y dos representaciones${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$de${\displaystyle G}$(o, más generalmente, dos${\displaystyle G}$-módulos ), la suma directa de las representaciones es${\displaystyle V\oplus W}$con la acción de${\displaystyle g\in G}$dados por componentes, es decir, $${\displaystyle g(v,w):=(gv,gw).}$$

Una forma equivalente de definir la suma directa es la siguiente: Dadas dos representaciones${\displaystyle (V,\rho _{V})}$y${\displaystyle (W,\rho _{W})}$El espacio vectorial de la suma directa es${\displaystyle V\oplus W}$y el homomorfismo${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$es dado por${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$dónde${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$es el mapa natural obtenido mediante la acción por coordenadas como se indicó anteriormente.

Además, si${\displaystyle V,\,W}$son de dimensión finita, entonces, dada una base de${\displaystyle V,\,W}$,${\displaystyle \rho _{V}}$y${\displaystyle \rho _{W}}$son valores matriciales. En este caso,${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$se da como $${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

Además, si${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$se consideran módulos sobre el anillo del grupo${\displaystyle kG}$, dónde${\displaystyle k}$es el campo, la suma directa de las representaciones${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$es igual a su suma directa como${\displaystyle kG}$-módulos.

El producto directo${\displaystyle R\times S}$de anillos no debe escribirse como${\displaystyle R\oplus S}$, desde${\displaystyle R\times S}$no recibe homomorfismos de anillo naturales de${\displaystyle R}$y${\displaystyle S}$. ^{[ 7 ]} En particular, el mapa${\displaystyle R\to R\times S}$envío${\displaystyle r}$a${\displaystyle (r,0)}$no es un homomorfismo de anillos ya que no logra enviar 1 a${\displaystyle (1,1)}$(suponiendo que${\displaystyle 0\neq 1}$en${\displaystyle S}$). De este modo,${\displaystyle R\times S}$no es un coproducto en la categoría de anillos y no debe escribirse como una suma directa. (El coproducto en la categoría de anillos conmutativos es el producto tensorial de anillos . ^{[ 8 ]} En la categoría de anillos, el coproducto se obtiene mediante una construcción similar al producto libre de grupos.)

El uso de la terminología y notación de suma directa es especialmente problemático al tratar con familias infinitas de anillos. Si${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$es una colección infinita de anillos no triviales, la suma directa de los grupos aditivos subyacentes puede equiparse con la multiplicación término a término, pero eso produce un rng , un anillo sin identidad multiplicativa.

Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es un${\displaystyle m_{1}\times n_{1}}$matriz y${\displaystyle \mathbf {B} }$es un${\displaystyle m_{2}\times n_{2}}$matriz, luego la suma directa${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$se define como el${\displaystyle (m_{1}+m_{2})\times (n_{1}+n_{2})}$matriz diagonal por bloques${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$

Un espacio vectorial topológico (TVS)${\displaystyle X,}$como un espacio de Banach , se dice que es una suma directa topológica de dos subespacios vectoriales.${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$si el mapa de adición $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (lo que significa que este mapa lineal es un homeomorfismo biyectivo ) en cuyo caso${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$se dice que son complementos topológicos en${\displaystyle X.}$ Eso es cierto si y solo si se consideran como grupos topológicos aditivos (de modo que se ignora la multiplicación escalar),${\displaystyle X}$es la suma directa topológica de los subgrupos topológicos${\displaystyle M}$y${\displaystyle N.}$ Si este es el caso y si${\displaystyle X}$¿Es Hausdorff entonces?${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$son necesariamente subespacios cerrados de${\displaystyle X.}$

Si${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo${\displaystyle X}$, siempre hay otro subespacio vectorial${\displaystyle N}$de${\displaystyle X,}$llamado complemento algebraico de${\displaystyle M}$en${\displaystyle X,}$de tal manera que${\displaystyle X}$es la suma directa algebraica de${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$, lo cual sucede si y solo si el mapa de suma${\displaystyle M\times N\to X}$es un isomorfismo de espacio vectorial .

A diferencia de las sumas directas algebraicas, la existencia de dicho complemento ya no está garantizada para las sumas directas topológicas.

Un subespacio vectorial${\displaystyle M}$de${\displaystyle X}$Se dice que es un subespacio ( topológicamente ) complementado de${\displaystyle X}$si existe algún subespacio vectorial${\displaystyle N}$de${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle X}$es la suma directa topológica de${\displaystyle M}$y${\displaystyle N.}$ Un subespacio vectorial se denomina no complementado si no es un subespacio complementado. Por ejemplo, todo subespacio vectorial de un espacio vectorial de Hausdorff que no sea un subconjunto cerrado es necesariamente no complementado. Todo subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert es complementado. Sin embargo, todo espacio de Banach que no sea un espacio de Hilbert posee necesariamente algún subespacio vectorial cerrado no complementado.