grupo abeliano

En matemáticas , un grupo abeliano , ^{[nota 1]} también llamado grupo conmutativo , es un grupo en el que el resultado de aplicar la operación de grupo a dos elementos del grupo no depende del orden en que estén escritos. Es decir, la operación de grupo es conmutativa . Con la suma como operación, los números enteros y los números reales forman grupos abelianos, y el concepto de grupo abeliano puede considerarse una generalización de estos ejemplos. Los grupos abelianos reciben su nombre del matemático noruego Niels Henrik Abel . ^{[ 1 ]}

El concepto de grupo abeliano subyace a muchas estructuras algebraicas fundamentales , como cuerpos , anillos , espacios vectoriales y álgebras . La teoría de los grupos abelianos es generalmente más sencilla que la de sus contrapartes no abelianas , y los grupos abelianos finitos se comprenden muy bien y están completamente clasificados .

Un grupo abeliano es un conjunto${\displaystyle A}$, junto con una operación･ , que combina cualesquiera dos elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de${\displaystyle A}$para formar otro elemento de${\displaystyle A,}$denotado${\displaystyle a\cdot b}$. El símbolo ･ es un marcador de posición general para una operación concretamente dada. Para calificar como un grupo abeliano, el conjunto y la operación,${\displaystyle (A,\cdot )}$, debe satisfacer cuatro requisitos conocidos como los axiomas del grupo abeliano :

Asociatividad

A pesar de${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$en${\displaystyle A}$, la ecuación${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$sostiene.

Elemento de identidad

Existe un elemento${\displaystyle e}$en${\displaystyle A}$, de tal manera que para todos los elementos${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$, la ecuación${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$sostiene.

Elemento inverso

Para cada${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$existe un elemento${\displaystyle b}$en${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$, dónde${\displaystyle e}$es el elemento identidad.

Conmutatividad

A pesar de${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$en${\displaystyle A}$,${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.

Algunos autores incluyen además como requisitos algunas propiedades que pertenecen a la definición de una operación: que la operación esté definida para cualquier par ordenado de elementos de A , que el resultado esté bien definido y que el resultado pertenezca a A.

Un grupo en el que la operación de grupo no es conmutativa se denomina grupo no abeliano o grupo no conmutativo . ^{[ 2 ]}

• El grupo que consta únicamente del elemento identidad es abeliano.
• Para los números enteros y la operación de suma${\displaystyle +}$, denotado${\displaystyle (\mathbb {Z},+)}$, la operación + combina dos enteros cualesquiera para formar un tercer entero, la suma es asociativa, cero es el elemento neutro de la suma , cada entero${\displaystyle n}$tiene un inverso aditivo ,${\displaystyle -n}$y la operación de suma es conmutativa ya que${\displaystyle n+m=m+n}$para cualesquiera dos números enteros${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$.
• Cada grupo cíclico${\displaystyle G}$es abeliano, porque si${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$están en${\displaystyle G}$, entonces${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$. Por lo tanto, los números enteros ,${\displaystyle \mathbb {Z} }$, forman un grupo abeliano bajo la suma, al igual que los enteros módulo${\displaystyle n}$,${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.
• Todo anillo es un grupo abeliano con respecto a la suma. En un anillo conmutativo, los elementos invertibles, o unidades , forman un grupo multiplicativo abeliano . En particular, los números reales son un grupo abeliano bajo la suma, y ​​los números reales distintos de cero son un grupo abeliano bajo la multiplicación.
• Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal , por lo que cada subgrupo da lugar a un grupo cociente . Los subgrupos, cocientes y sumas directas de grupos abelianos también son abelianos. Los grupos abelianos simples finitos son precisamente los grupos cíclicos de orden primo . ^{[ 6 ]}
• Los conceptos de grupo abeliano y${\displaystyle \mathbb {Z} }$- acuerdo del módulo . Más específicamente, cada${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo es un grupo abeliano con su operación de suma, y ​​todo grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de una manera única.

En general, las matrices , incluso las matrices invertibles, no forman un grupo abeliano bajo la multiplicación porque la multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa. Sin embargo, algunos grupos de matrices son grupos abelianos bajo la multiplicación de matrices; un ejemplo es el grupo de${\displaystyle 2\times 2}$matrices de rotación .

Camille Jordan nombró a los grupos abelianos en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel , quien descubrió que la conmutatividad del grupo de un polinomio implica que las raíces del polinomio pueden calcularse utilizando radicales . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Si${\displaystyle n}$es un número natural y${\displaystyle x}$es un elemento de un grupo abeliano${\displaystyle G}$escrito aditivamente, entonces${\displaystyle nx}$puede definirse como${\displaystyle x+x+\cdots +x}$(${\displaystyle n}$sumandos) y${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$De esta manera,${\displaystyle G}$se convierte en un módulo sobre el anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros. De hecho, los módulos sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$pueden identificarse con los grupos abelianos. ^{[ 9 ]}

Teoremas sobre grupos abelianos (es decir, módulos sobre el dominio de los ideales principales)${\displaystyle \mathbb {Z} }$) a menudo se puede generalizar a teoremas sobre módulos sobre un dominio ideal principal arbitrario. Un ejemplo típico es la clasificación de grupos abelianos finitamente generados , que es una especialización del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . En el caso de grupos abelianos finitamente generados, este teorema garantiza que un grupo abeliano se descompone como suma directa de un grupo de torsión y un grupo abeliano libre . El primero se puede escribir como suma directa de un número finito de grupos de la forma${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$para${\displaystyle p}$primo, y este último es una suma directa de un número finito de copias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Si${\displaystyle f,g:G\to H}$son dos homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, entonces su suma${\displaystyle f+g}$, definido por${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, es de nuevo un homomorfismo. (Esto no es cierto si${\displaystyle H}$es un grupo no abeliano.) El conjunto${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$de todos los homomorfismos de grupo de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H}$es, por lo tanto, un grupo abeliano por derecho propio.

De forma similar a la dimensión de los espacios vectoriales , todo grupo abeliano tiene un rango . Se define como la cardinalidad máxima de un conjunto de elementos linealmente independientes (sobre los enteros) del grupo. ^{[ 10 ]} Los grupos abelianos finitos y los grupos de torsión tienen rango cero, y todo grupo abeliano de rango cero es un grupo de torsión. Los enteros y los números racionales tienen rango uno, al igual que todo subgrupo aditivo no nulo de los racionales. Por otro lado, el grupo multiplicativo de los racionales no nulos tiene un rango infinito, ya que es un grupo abeliano libre con el conjunto de los números primos como base (esto resulta del teorema fundamental de la aritmética ).

El centro${\displaystyle Z(G)}$de un grupo${\displaystyle G}$es el conjunto de elementos que conmutan con cada elemento de${\displaystyle G}$Un grupo${\displaystyle G}$es abeliano si y solo si es igual a su centro${\displaystyle Z(G)}$El centro de un grupo${\displaystyle G}$es siempre un subgrupo abeliano característico de${\displaystyle G}$. Si el grupo cociente${\displaystyle G/Z(G)}$de un grupo por su centro es cíclico entonces${\displaystyle G}$es abeliano. ^{[ 11 ]}

Grupos cíclicos de enteros módulo${\displaystyle n}$,${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, fueron algunos de los primeros ejemplos de grupos. Resulta que un grupo abeliano finito arbitrario es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos finitos de orden de potencia prima, y ​​estos órdenes están determinados de forma única, formando un sistema completo de invariantes. El grupo de automorfismos de un grupo abeliano finito puede describirse directamente en términos de estos invariantes. La teoría fue desarrollada por primera vez en el artículo de 1879 de Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger y posteriormente fue simplificada y generalizada a módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal, formando un capítulo importante del álgebra lineal .

Cualquier grupo de orden primo es isomorfo a un grupo cíclico y, por lo tanto, abeliano. Cualquier grupo cuyo orden sea el cuadrado de un número primo también es abeliano. ^{[ 12 ]} De hecho, para cada número primo${\displaystyle p}$Hay (salvo isomorfismo) exactamente dos grupos de orden${\displaystyle p^{2}}$, es decir${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p^{2}}}$y${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$.

Un grupo abeliano A es finitamente generado si contiene un conjunto finito de elementos (llamados generadores ).${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$de tal manera que cada elemento del grupo sea una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de G.

Sea L un grupo abeliano libre con base${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ Existe un homomorfismo de grupo único${\displaystyle p\colon L\to A,}$de tal manera que

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo es finitamente generado (ya que los enteros forman un anillo noetheriano ). Consideremos la matriz M con entradas enteras, de modo que las entradas de su j -ésima columna sean los coeficientes del j -ésimo generador del núcleo. Entonces, el grupo abeliano es isomorfo al conúcleo de la aplicación lineal definida por M. Recíprocamente, toda matriz entera define un grupo abeliano finitamente generado.

De ello se deduce que el estudio de los grupos abelianos finitamente generados es totalmente equivalente al estudio de las matrices enteras. En particular, cambiar el conjunto generador de A es equivalente a multiplicar M por la izquierda por una matriz unimodular (es decir, una matriz entera invertible cuya inversa también es una matriz entera). Cambiar el conjunto generador del núcleo de M es equivalente a multiplicar M por la derecha por una matriz unimodular.

La forma normal de Smith de M es una matriz

${\displaystyle S=UMV,}$

donde U y V son unimodulares, y S es una matriz tal que todas las entradas no diagonales son cero, las entradas diagonales no nulas son cero .${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$son los primeros, y${\displaystyle d_{j,j}}$es un divisor de${\displaystyle d_{i,i}}$para i > j . La existencia y la forma de la forma normal deSmith demuestran que el grupo abeliano finitamente generado A es la suma directa

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

donde r es el número de filas cero en la parte inferior de S (y también el rango del grupo). Este es el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados .

La existencia de algoritmos para la forma normal de Smith demuestra que el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados no es solo un teorema de existencia abstracta, sino que proporciona una forma de calcular la expresión de grupos abelianos finitamente generados como sumas directas. ^{[ 14 ]}

El grupo abeliano infinito más simple es el grupo cíclico infinito.${\displaystyle \mathbb {Z} }$Cualquier grupo abeliano generado de forma finita${\displaystyle A}$es isomorfo a la suma directa de${\displaystyle r}$copias de${\displaystyle \mathbb {Z} }$y un grupo abeliano finito, que a su vez es descomponible en una suma directa de un número finito de grupos cíclicos de órdenes de potencias primas . Aunque la descomposición no es única, el número${\displaystyle r}$, llamado el rango de${\displaystyle A}$y las potencias primas que dan los órdenes de los sumandos cíclicos finitos están determinadas de forma única.

Por el contrario, la clasificación de los grupos abelianos generados infinitamente en general está lejos de ser completa. Grupos divisibles , es decir, grupos abelianos${\displaystyle A}$en la cual la ecuación${\displaystyle nx=a}$admite una solución${\displaystyle x\in A}$para cualquier número natural${\displaystyle n}$y elemento${\displaystyle a}$de${\displaystyle A}$, constituyen una clase importante de grupos abelianos infinitos que pueden ser completamente caracterizados. Todo grupo divisible es isomorfo a una suma directa, con sumandos isomorfos a${\displaystyle \mathbb {Q} }$y grupos Prüfer${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$para varios números primos${\displaystyle p}$y la cardinalidad del conjunto de sumandos de cada tipo está determinada de forma única. ^{[ 15 ]} Además, si un grupo divisible${\displaystyle A}$es un subgrupo de un grupo abeliano${\displaystyle G}$entonces${\displaystyle A}$admite un complemento directo: un subgrupo${\displaystyle C}$de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle G=A\oplus C}$Así, los grupos divisibles son módulos inyectivos en la categoría de grupos abelianos y, a la inversa, todo grupo abeliano inyectivo es divisible ( criterio de Baer ). Un grupo abeliano sin subgrupos divisibles distintos de cero se denomina reducido .

Dos clases especiales importantes de grupos abelianos infinitos con propiedades diametralmente opuestas son los grupos de torsión y los grupos libres de torsión , ejemplificados por los grupos${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$(periódica) y${\displaystyle \mathbb {Q} }$(sin torsión).

Muchos grupos abelianos grandes poseen una topología natural , lo que los convierte en grupos topológicos .

La colección de todos los grupos abelianos, junto con los homomorfismos entre ellos, forma la categoría${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$, el prototipo de una categoría abeliana .

Wanda Szmielew ( 1955 ) demostró que la teoría de primer orden de los grupos abelianos, a diferencia de su contraparte no abeliana, es decidible. La mayoría de las estructuras algebraicas distintas de las álgebras booleanas son indecidibles . 

Todavía existen muchas áreas de investigación actual:

• Entre los grupos abelianos sin torsión de rango finito, solo se comprenden bien el caso finitamente generado y el caso de rango 1 .
• Existen muchos problemas sin resolver en la teoría de los grupos abelianos libres de torsión de rango infinito.
• Si bien los grupos abelianos de torsión numerables se comprenden bien mediante presentaciones sencillas e invariantes de Ulm, el caso de los grupos mixtos numerables está mucho menos desarrollado.
• Se sabe que muchas extensiones leves de la teoría de primer orden de los grupos abelianos son indecidibles.
• Los grupos abelianos finitos siguen siendo un tema de investigación en la teoría computacional de grupos .

Además, los grupos abelianos de orden infinito conducen, sorprendentemente, a profundas preguntas sobre la teoría de conjuntos que comúnmente se asume como base de todas las matemáticas. Consideremos el problema de Whitehead : ¿son todos los grupos de Whitehead de orden infinito también grupos abelianos libres ? En la década de 1970, Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es:

• Indecidible en ZFC ( axiomas de Zermelo-Fraenkel ), la teoría de conjuntos axiomática convencional de la que se puede derivar casi toda la matemática actual. El problema de Whitehead es también la primera cuestión en matemáticas ordinarias que se ha demostrado indecidible en ZFC;
• Indecidible incluso si ZFC se amplía tomando la hipótesis del continuo generalizado como un axioma;
• Se responde afirmativamente si ZFC se complementa con el axioma de constructibilidad (ver afirmaciones verdaderas en L ).

• Subgrupo conmutador : el subgrupo normal más pequeño por el cual el cociente es conmutativo. 
• Abelianización – Cociente de un grupo por su subgrupo conmutador. 
• Grupo diedral de orden 6 – Grupo no conmutativo con 6 elementos , el grupo no abeliano más pequeño 
• Grupo abeliano elemental : grupo conmutativo en el que todos los elementos distintos de cero tienen el mismo orden. 
• Grupo de Grothendieck : grupo abeliano que extiende un monoide conmutativo. 
• Dualidad de Pontryagin : dualidad para grupos abelianos localmente compactos. 

^{^} Entrelos adjetivosderivados delnombre propiode unmatemático, la palabra "abeliano" es rara, ya que generalmente se escribe con unaa, en lugar de unaA. ^{[ 21 ]}

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