Teorema del elemento extra

El teorema del elemento extra (EET) es una técnica analítica desarrollada por RD Middlebrook para simplificar el proceso de derivación de funciones de transferencia y puntos de excitación para circuitos electrónicos lineales . ^[1] Al igual que el teorema de Thévenin , el teorema del elemento extra descompone un problema complicado en varios más simples.

El punto de excitación y las funciones de transferencia se pueden encontrar generalmente utilizando las leyes de circuitos de Kirchhoff . Sin embargo, pueden resultar varias ecuaciones complicadas que ofrecen poca información sobre el comportamiento del circuito. Utilizando el teorema del elemento adicional, se puede quitar un elemento del circuito (como una resistencia ) y se encuentra el punto de excitación o la función de transferencia deseados. Al eliminar el elemento que más complica el circuito (como un elemento que crea retroalimentación ), la función deseada puede ser más fácil de obtener. A continuación, se deben encontrar dos factores de corrección y combinarlos con la función derivada previamente para encontrar la expresión exacta.

La forma general del teorema del elemento adicional se denomina teorema de N elementos adicionales y permite eliminar varios elementos del circuito a la vez. ^[2]

Formulación general

El teorema del elemento adicional (único) expresa cualquier función de transferencia como un producto de la función de transferencia con ese elemento eliminado y un factor de corrección. El término del factor de corrección consiste en la impedancia del elemento adicional y dos impedancias del punto de excitación vistas por el elemento adicional: la impedancia del punto de excitación de inyección doble nula y la impedancia del punto de excitación de inyección simple. Debido a que un elemento adicional se puede eliminar en general ya sea cortocircuitándolo o poniendo el elemento en circuito abierto, existen dos formas equivalentes del EET: ^[3] o, $H(s)=H_{\infty }(s){\frac {1+{\frac {Z_{n}(s)}{Z(s)}}}{1+{\frac {Z_ {d}(s)}{Z(s)}}}}$ $H(s)=H_{0}(s){\frac {1+{\frac {Z(s)}{Z_{n}(s)}}}{1+{\frac {Z( s)}{Z_{d}(s)}}}}.$

Donde las funciones de transferencia y las impedancias del dominio de Laplace en las expresiones anteriores se definen de la siguiente manera: $H (s)$ es la función de transferencia con el elemento adicional presente. $H \infty (s)$ es la función de transferencia con el elemento adicional en circuito abierto. $H 0 (s)$ es la función de transferencia con el elemento adicional en cortocircuito. $Z (s)$ es la impedancia del elemento adicional. $Z d (s)$ es la impedancia del punto de activación de inyección simple "vista" por el elemento adicional. $Z n (s)$ es la impedancia del punto de activación de inyección doble nula "vista" por el elemento adicional.

El teorema del elemento adicional demuestra incidentalmente que cualquier función de transferencia de un circuito eléctrico puede expresarse simplemente como una función bilineal de cualquier elemento particular del circuito.

Impedancias de los puntos de conducción

Impedancia del punto de conducción de inyección única

$Z d (s)$ se obtiene haciendo que la entrada de la función de transferencia del sistema sea cero (cortocircuitando una fuente de voltaje o abriendo una fuente de corriente) y determinando la impedancia entre los terminales a los que se conectará el elemento adicional cuando éste esté ausente. Esta impedancia es la misma que la impedancia equivalente de Thévenin.

Impedancia del punto de activación de inyección doble nula

$Z n (s)$ se obtiene reemplazando el elemento adicional con una segunda fuente de señal de prueba (ya sea una fuente de corriente o una fuente de voltaje, según corresponda). Luego, $Z n (s)$ se define como la relación entre el voltaje a través de los terminales de esta segunda fuente de prueba y la corriente que sale de su terminal positivo cuando la salida de la función de transferencia del sistema se anula para cualquier valor de la entrada principal a la función de transferencia del sistema.

En la práctica, $Z n (s)$ se puede encontrar trabajando hacia atrás a partir de los hechos de que la salida de la función de transferencia se hace cero y que la entrada primaria a la función de transferencia es desconocida. Luego, utilizando técnicas de análisis de circuitos convencionales para expresar tanto el voltaje a través de los terminales de la fuente de prueba del elemento adicional, $v n (s)$ , como la corriente que sale de los terminales positivos de la fuente de prueba del elemento adicional, $i n (s)$ , y calculando . Aunque el cálculo de $Z$ $n$ $($ $s$ $)$ es un proceso desconocido para muchos ingenieros, sus expresiones a menudo son mucho más simples que las de $Z$ $d$ $($ $s$ $)$ porque la anulación de la salida de la función de transferencia a menudo lleva a que otros voltajes/corrientes en el circuito sean cero, lo que puede permitir la exclusión de ciertos componentes del análisis. $Z_{n}(s)=v_{n}(s)/i_{n}(s)$

Caso especial con función de transferencia como autoimpedancia

Como caso especial, la EET se puede utilizar para encontrar la impedancia de entrada de una red con la adición de un elemento designado como "extra". En este caso, $Z d$ es la misma que la impedancia de la señal de la fuente de corriente de prueba de entrada hecha cero o equivalentemente con la entrada en circuito abierto. Asimismo, dado que la señal de salida de la función de transferencia se puede considerar como el voltaje en los terminales de entrada, $Z n$ se encuentra cuando el voltaje de entrada es cero, es decir, los terminales de entrada están en cortocircuito. Por lo tanto, para esta aplicación particular, la EET se puede escribir como: donde $Z_{\text{in}}=Z_{\text{in}}^{\infty }\cdot {\frac {1+{\frac {Z_{e}^{0}}{Z}} }{1+{\frac {Z_{e}^{\infty }}{Z}}}}$

${\estilo de visualización Z}$ ¿Es la impedancia elegida como elemento extra?
$Z_{\text{in}}^{\infty }$ ¿Es la impedancia de entrada con Z eliminado (o hecho infinito)?
$Estilo de visualización Z_e_0$ es la impedancia vista por el elemento extra Z con la entrada en cortocircuito (o puesta a cero)
$Z_{e}^{\infty }$ es la impedancia vista por el elemento extra Z con la entrada abierta (o hecha infinita)

Calcular estos tres términos puede parecer un esfuerzo adicional, pero a menudo son más fáciles de calcular que la impedancia de entrada general.

Ejemplo

Figura 1: Circuito RC simple para demostrar el EET. El capacitor (sombreado en gris) se denota como el elemento adicional.

Considere el problema de encontrar el circuito de la Figura 1 utilizando el EET (observe que todos los valores de los componentes son la unidad para simplificar). Si el capacitor (sombreado gris) se denota como el elemento adicional, entonces $Z_{in}$ $Z={\frac {1}{s}}.$

Quitando este condensador del circuito, $Z_{in}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.$

Calculando la impedancia vista por el capacitor con la entrada en cortocircuito, $Z_{e}^{0}=1\|(1+1\|1)={\frac {3}{5}}.$

Calculando la impedancia vista por el capacitor con la entrada abierta, $Z_{e}^{\infty }=2\|1+1={\frac {5}{3}}.$

Por lo tanto, utilizando el EET, $Z_{in}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {1+{\frac {3}{5}}s}{1+{\frac {5}{3}}s}}={\frac {5+3s}{3+5s}}.$

Este problema se resolvió calculando tres impedancias de puntos de conducción simples mediante inspección.

Amplificadores de retroalimentación

El EET también es útil para analizar amplificadores de realimentación de uno o varios bucles. En este caso, el EET puede adoptar la forma de modelo de ganancia asintótica .

Véase también

Lectura adicional

Christophe Basso Funciones de transferencia de circuitos lineales: Introducción a las técnicas analíticas rápidas, primera edición, Wiley, IEEE Press, 2016, 978-1119236375

Referencias

^ Vorpérian, Vatché (2002). Técnicas analíticas rápidas para circuitos eléctricos y electrónicos. Cambridge, Reino Unido/Nueva York: Cambridge University Press. pp. 61–106. ISBN 978-0-521-62442-8.
^ Vorpérian, Vatché (23 de mayo de 2002). Técnicas analíticas rápidas para circuitos eléctricos y electrónicos. pp. 137–139. ISBN 978-0-521-62442-8.
^ Middlebrook RD (1989). "Inyección doble nula y el teorema del elemento extra" (PDF) . IEEE Transactions on Education . 32 (3): 167–180. doi :10.1109/13.34149.