Cristal F

En geometría algebraica , los cristales F son objetos introducidos por Mazur (1972) que capturan parte de la estructura de los grupos de cohomología cristalina . La letra F significa Frobenius , lo que indica que los cristales F tienen una acción de Frobenius sobre ellos. Los isocristales F son cristales "salvo isogenia".

Supongamos que k es un cuerpo perfecto , con anillo de vectores de Witt W y sea K el cuerpo cociente de W , con automorfismo de Frobenius  σ.

Sobre el cuerpo k , un F -cristal es un módulo libre M de rango finito sobre el anillo W de vectores de Witt de k , junto con un endomorfismo inyectivo σ-lineal de M. Un F -isocristal se define de la misma manera, excepto que M es un módulo para el cuerpo cociente K de W en lugar de W.

El teorema de clasificación de Dieudonné-Manin fue demostrado por Dieudonné (1955) y Manin (1963) . Describe la estructura de los F -isocristales sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado . La categoría de dichos F -isocristales es abeliana y semisimple , por lo que cada F -isocristal es una suma directa de F -isocristales simples. Los F -isocristales simples son los módulos E _{s / r} donde r y s son enteros coprimos con r >0. El F -isocristal E _{s / r} tiene una base sobre K de la forma v , Fv , F ² v ,..., F ^{r −1} v para algún elemento v , y F ^r v = p ^s v . El número racional s / r se llama la pendiente del F -isocristal.

Sobre un campo k no algebraicamente cerrado , los isocristales F simples son más difíciles de describir explícitamente, pero un isocristal F aún puede escribirse como una suma directa de subcristales que son isoclínicos, donde un cristal F se llama isoclínico si sobre el cierre algebraico de k es una suma de isocristales F de la misma pendiente.

El polígono de Newton de un isocristal F codifica las dimensiones de las piezas de pendiente dada. Si el isocristal F es una suma de piezas isoclínicas con pendientes s ₁ < s ₂ < ... y dimensiones (como módulos de anillo de Witt) d ₁ , d ₂ ,... entonces el polígono de Newton tiene vértices (0,0), ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ),... donde el n -ésimo segmento de línea que une los vértices tiene pendiente s _n = ( y _n − y _{n −1} )/( x _n − x _{n −1} ) y proyección sobre el eje x de longitud d _n = x _n  − x _{n −1} . 

El polígono de Hodge de un cristal F M codifica la estructura de M / FM considerada como un módulo sobre el anillo de Witt. Más precisamente, dado que el anillo de Witt es un dominio ideal principal, el módulo M / FM puede escribirse como una suma directa de módulos indescomponibles de longitudes n ₁ ≤ n ₂ ≤ ... y el polígono de Hodge tiene entonces vértices (0,0), (1, n ₁ ), (2, n ₁ + n ₂ ), ...

Si bien el polígono de Newton de un cristal F depende únicamente del isocristal correspondiente, es posible que dos cristales F que corresponden al mismo isocristal F tengan polígonos de Hodge diferentes. El polígono de Hodge tiene aristas con pendientes enteras, mientras que el polígono de Newton tiene aristas con pendientes racionales.

Supongamos que A es un anillo de valuación discreta completo de característica 0 con cuerpo cociente k de característica p >0 y perfecto. Una ampliación afín de un esquema X ₀ sobre k consiste en un álgebra A libre de torsión B y un ideal I de B tal que B es completo en la topología I y la imagen de I es nilpotente en B / pB , junto con un morfismo de Spec( B / I ) a X ₀ . Un isocristal convergente sobre un k -esquema X ₀ consiste en un módulo sobre B ⊗ Q para cada ampliación afín B que es compatible con aplicaciones entre ampliaciones afines ( Faltings 1990 ) .

Un isocristal F (abreviatura de isocristal de Frobenius) es un isocristal junto con un isomorfismo a su imagen inversa bajo un morfismo de Frobenius.

• Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1983), "F-isocristales y cohomología de Rham. I", Inventiones Mathematicae , 72 (2): 159– 199, doi : 10.1007/BF01389319 , ISSN 0020-9910 , SEÑOR 0700767  
• Crew, Richard (1987), "F-isocristales y representaciones p-ádicas" , Geometría algebraica, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol.  46, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 111–138 , doi : 10.1090/pspum/046.2/927977 , ISBN  9780821814802, SR 0927977 
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• Dieudonné, Jean (1955), "Grupos de Lie e hiperálgebras de Lie sobre un cuerpo de característica p>0. IV", American Journal of Mathematics , 77 (3): 429–452 , doi : 10.2307/2372633 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372633 , MR 0071718   
• Faltings, Gerd (1990), "F-isocristales en variedades abiertas: resultados y conjeturas", The Grothendieck Festschrift, Vol. II , Progr. Math., vol.  87, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 219–248 , MR 1106900  
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• Manin, Ju. I. (1963), "Teoría de grupos formales conmutativos sobre campos de características finitas", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 18 (6): 3– 90, doi : 10.1070/RM1963v018n06ABEH001142 , ISSN 0042-1316 , SEÑOR 0157972  
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• Ogus, Arthur (1984), "Isocristales F y cohomología de De Rham. II. Isocristales convergentes", Duke Mathematical Journal , 51 (4): 765– 850, doi : 10.1215/S0012-7094-84-05136-6 , ISSN 0012-7094 , SEÑOR 0771383