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Articulo de referencia

Distribución F

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En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución F o razón F , también conocida como distribución F de Snedecor o distribución de Fisher-Snedecor (en honor a Ronald Fisher y George W. Snedecor ), es una distribución de probabilidad continua que surge frecuentemente como la distribución nula de un estadístico de prueba , sobre todo en el análisis de varianza (ANOVA) y otras pruebas F. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

Definiciones

La distribución F con ⁠d1{\displaystyle d_{1}}y​​d2{\displaystyle d_{2}}⁠ grados de libertad es la distribución de incógnita=U1/d1U2/d2{\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}

dóndeU1{\textstyle U_{1}}yU2{\textstyle U_{2}}son variables aleatorias independientes con distribuciones chi-cuadrado con sus respectivos grados de libertadd1{\displaystyle d_{1}}y​​d2{\displaystyle d_{2}}⁠ .

Se puede demostrar que, a continuación, la función de densidad de probabilidad (PDF) para ⁠incógnita{\displaystyle X}⁠ se da por F(incógnita;d1,d2)=(d1incógnita)d1d2d2(d1incógnita+d2)d1+d2incógnitaB⁡(d12,d22)=(d1d2)d12incógnita(d1d2)d12−1(1+d1d2incógnita)−d1+d22B⁡(d12,d22){\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}{x{\vphantom {\left({d_{1} \over d_{2}}\right)}}}^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\end{aligned}}}

de verdad​incógnita>0{\displaystyle x>0}Aquí​B{\displaystyle \mathrm {B} }es la función beta . En muchas aplicaciones, los parámetrosd1{\displaystyle d_{1}}y​​d2{\displaystyle d_{2}}son enteros positivos , pero la distribución está bien definida para valores reales positivos de estos parámetros.

La función de distribución acumulativa es F(incógnita;d1,d2)=Id1incógnita(d1incógnita+d2)(d12,d22),{\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{\frac {d_{1}x}{(d_{1}x+d_{2})}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}

donde​Iincógnita(a,b){\displaystyle I_{x}(a,b)}es la función beta incompleta regularizada .

Propiedades

La esperanza matemática , la varianza y otros detalles sobre la distribución F.F(d1,d2){\displaystyle F(d_{1},d_{2})}⁠ se dan en el cuadro lateral; para ⁠d2>8{\displaystyle d_{2}>8}⁠ , el exceso de curtosis es γ2=12d1(5d2−22)(d1+d2−2)+(d2−4)(d2−2)2d1(d2−6)(d2−8)(d1+d2−2).{\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}

El k -ésimo momento de unF(d1,d2){\displaystyle F(d_{1},d_{2})}La distribución existe y es finita solo cuando2k<d2{\displaystyle 2k<d_{2}}y es igual a [ 6 ]

μincógnita(k)=(d2d1)kΓ(d12+k)Γ(d12)Γ(d22−k)Γ(d22).{\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}

La distribución F es una parametrización particular de la distribución beta prima , que también se denomina distribución beta de segundo tipo.

La función característica aparece incorrectamente en muchas referencias estándar (por ejemplo, [ 3 ] ). La expresión correcta [ 7 ] es

φd1,d2F(s)=Γ(d1+d22)Γ(d22)U(d12,1−d22,−d2d1is){\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma {\left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}

donde​U(a,b,z){\displaystyle U(a,b,z)}es la función hipergeométrica confluente de segundo tipo.

Relación con la distribución chi-cuadrado

En los casos en que se utiliza la distribución F , por ejemplo en el análisis de varianza , la independencia deU1{\displaystyle U_{1}}y​​U2{\displaystyle U_{2}}( definido anteriormente) podría demostrarse aplicando el teorema de Cochran .

De forma equivalente, dado que la distribución chi-cuadrado es la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estándar independientes , la variable aleatoria de la distribución F también puede escribirse incógnita=s12σ12÷s22σ22,{\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}

dóndes12=S12d1{\textstyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}y​s22=S22d2{\displaystyle \textstyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}⁠ ,S12{\displaystyle S_{1}^{2}}es la suma de los cuadrados ded1{\displaystyle d_{1}}variables aleatorias de la distribución normalnorte(0,σ12){\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}yS22{\displaystyle S_{2}^{2}}es la suma de los cuadrados ded2{\displaystyle d_{2}}Variables aleatorias de distribución normalnorte(0,σ22){\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}⁠ .

En un contexto frecuentista , una distribución F escalada proporciona, por lo tanto, la probabilidad ⁠pag(s12/s22∣σ12,σ22){\displaystyle \textstyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}⁠ , con la distribución F misma, sin ningún escalado, aplicando dondeσ12{\displaystyle \sigma _{1}^{2}} se está tomando igual aσ22{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}Este es el contexto en el que la distribución F aparece con mayor frecuencia en las pruebas F : donde la hipótesis nula es que dos varianzas normales independientes son iguales, y luego se examinan las sumas observadas de algunos cuadrados seleccionados adecuadamente para ver si su razón es significativamente incompatible con esta hipótesis nula.

La cantidadincógnita{\displaystyle X}tiene la misma distribución en estadística bayesiana, si se toma una distribución a priori de Jeffreys no informativa e invariante al reescalamiento para las probabilidades a priori deσ12{\displaystyle \sigma _{1}^{2}}y​σ22{\displaystyle \sigma _{2}^{2}}⁠ . [ 8 ] En este contexto, una distribución F escalada proporciona así la probabilidad posterior ⁠pag(σ22/σ12∣s12,s22){\displaystyle \textstyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}⁠ , donde las sumas observadass12{\displaystyle s_{1}^{2}}ys22{\displaystyle s_{2}^{2}}Ahora se dan por sentados.

En general

  • Siincógnita∼χd12{\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}yY∼χd22{\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}( Distribución chi cuadrado ) son independientes , entoncesincógnita/d1Y/d2∼F(d1,d2){\displaystyle \textstyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}⁠ .
  • Siincógnitak∼Γ(αk,βk){\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}( Distribución Gamma ) son independientes, entoncesα2β1incógnita1α1β2incógnita2∼F(2α1,2α2){\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}⁠ .
  • Siincógnita∼Beta⁡(d12,d22){\textstyle X\sim \operatorname {Beta} \left({d_{1} \over 2},{d_{2} \over 2}\right)}( Distribución Beta ) entoncesd2incógnitad1(1−incógnita)∼F⁡(d1,d2){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}⁠ .
    • De forma equivalente, siincógnita∼F(d1,d2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}⁠ , entonces ⁠d1incógnita/d21+d1incógnita/d2∼Beta⁡(d12,d22){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} \left({d_{1} \over 2},{d_{2} \over 2}\right)}⁠ .
  • Si​incógnita∼F(d1,d2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}, entoncesd1d2incógnita{\textstyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}tiene una distribución beta prima :d1d2incógnita∼β′⁡(d12,d22){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}⁠ .
  • Siincógnita∼F(d1,d2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}entoncesY=límited2→∞d1incógnita{\textstyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}tiene la distribución chi- cuadradoχd12{\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}⁠ .
  • F(d1,d2){\displaystyle F(d_{1},d_{2})}es equivalente a la distribución T-cuadrada de Hotelling escalada .d2d1(d1+d2−1)T2⁡(d1,d1+d2−1){\displaystyle \textstyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}⁠ .
  • Siincógnita∼F(d1,d2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}entonces​incógnita−1∼F(d2,d1){\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}⁠ .
  • Si​incógnita∼t(norte){\displaystyle X\sim t_{(n)}}– Distribución t de Student – ​​entonces :  incógnita2∼F⁡(1,norte),incógnita−2∼F⁡(norte,1).{\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n),\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1).\end{aligned}}}
  • La distribución F es un caso especial de la distribución de Pearson de tipo 6 .
  • Siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son independientes, conincógnita,Y∼Laplace⁡(μ,b){\displaystyle X,Y\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,b)}( Distribución de Laplace ), entonces|incógnita−μ||Y−μ|∼F⁡(2,2).{\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2).}
  • Siincógnita∼F(norte,metro){\displaystyle X\sim F(n,m)}entoncesregistro⁡incógnita2∼PescadorZ⁡(norte,metro){\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}( Distribución z de Fisher ).
  • La distribución F no central se simplifica a la distribución F si ⁠λ=0{\displaystyle \lambda =0}⁠ .
  • La distribución F doblemente no central se simplifica a la distribución F si ⁠λ1=λ2=0{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}⁠
  • SiQincógnita⁡(pag){\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}es el cuantilpag{\displaystyle p}para​incógnita∼F(d1,d2){\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}yQY⁡(1−pag){\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}es el cuantil1−pag{\displaystyle 1-p}para​Y∼F(d2,d1){\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}, entoncesQincógnita⁡(pag)=1QY⁡(1−pag).{\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}
  • La distribución F es un ejemplo de distribución de razón .
  • La distribución W es una parametrización única de la distribución F.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Lazo, AV; Rathie, P. (1978). "Sobre la entropía de las distribuciones de probabilidad continuas". IEEE Transactions on Information Theory . 24 (1). IEEE: 120– 122. doi : 10.1109/tit.1978.1055832 .
  2. 1 2 Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Distribuciones univariadas continuas, Volumen 2 (Sección 27) (2.ª ed.). Wiley. ISBN  0-471-58494-0.
  3. 1 2 3 Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 26» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de matemáticas aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 946. ISBN    978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
  4. ↑ NIST (2006). Manual de estadística para ingeniería – Distribución F
  5. ↑ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introducción a la teoría de la estadística (Tercera ed.). McGraw-Hill. págs. 246–249 . ISBN   0-07-042864-6.
  6. ↑ Taboga, Marco. "La distribución F" .
  7. ↑ Phillips, PCB (1982) "La verdadera función característica de la distribución F," Biometrika , 69: 261–264 JSTOR 2335882 
  8. ↑ Box, GEP; Tiao, GC (1973). Inferencia bayesiana en el análisis estadístico . Addison-Wesley. pág. 110. ISBN  0-201-00622-7.
  • Tabla de valores críticos de la distribución F
  • Primeros usos de algunos términos matemáticos: la entrada sobre la distribución F contiene una breve historia.
  • Calculadora gratuita para pruebas F