Distribución de la proporción

Una distribución de razón (también conocida como distribución de cociente ) es una distribución de probabilidad construida como la distribución de la razón de variables aleatorias que tienen otras dos distribuciones conocidas. Dadas dos variables aleatorias (generalmente independientes ) X e Y , la distribución de la variable aleatoria Z que se forma como la razón Z = X / Y es una distribución de razón .

Un ejemplo es la distribución de Cauchy (también llamada distribución de razón normal ), que surge como la razón de dos variables con distribución normal y media cero. Otras dos distribuciones frecuentemente utilizadas en estadísticos de prueba también son distribuciones de razón: la distribución t de Student se obtiene dividiendo una variable aleatoria gaussiana entre una variable aleatoria independiente con distribución chi , mientras que la distribución F se origina a partir de la razón de dos variables aleatorias independientes con distribución chi-cuadrado . En la literatura se han considerado distribuciones de razón más generales. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

A menudo, las distribuciones de razón tienen colas pesadas , y puede resultar difícil trabajar con ellas y desarrollar una prueba estadística asociada . Se ha sugerido un método basado en la mediana como una solución alternativa. ^{[ 8 ]}

La razón es un tipo de álgebra para variables aleatorias: Relacionadas con la distribución de la razón están la distribución del producto , la distribución de la suma y la distribución de la diferencia . De forma más general, se puede hablar de combinaciones de sumas, diferencias, productos y razones. Muchas de estas distribuciones se describen en el libro de Melvin D. Springer de 1979 , El álgebra de las variables aleatorias . ^{[ 5 ]}

Las reglas algebraicas conocidas con los números ordinarios no se aplican al álgebra de variables aleatorias . Por ejemplo, si un producto es${\displaystyle C=AB}$y una razón es${\displaystyle D=C/A}$⁠ no significa necesariamente que las distribuciones de ⁠${\displaystyle D}$y​​${\displaystyle B}$son iguales. De hecho, se observa un efecto peculiar para la distribución de Cauchy : el producto y la razón de dos distribuciones de Cauchy independientes (con el mismo parámetro de escala y el parámetro de ubicación establecido en cero) darán la misma distribución. ^{[ 5 ]} Esto se hace evidente cuando se considera la distribución de Cauchy como una distribución de razón de dos distribuciones gaussianas de media cero: Consideremos dos variables aleatorias de Cauchy ,${\displaystyle C_{1}}$y​​${\displaystyle C_{2}}$⁠ , cada una construida a partir de dos distribuciones gaussianas ⁠${\displaystyle C_{1}=G_{1}/G_{2}}$y​​${\displaystyle C_{2}=G_{3}/G_{4}}$Entonces​ $${\displaystyle {\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {{G_{1}}/{G_{2}}}{{G_{3}}/{G_{4}}}}={\frac {G_{1}G_{4}}{G_{2}G_{3}}}={\frac {G_{1}}{G_{2}}}\times {\frac {G_{4}}{G_{3}}}=C_{1}\times C_{3},}$$ donde​${\displaystyle C_{3}=G_{4}/G_{3}}$El primer término es la razón de dos distribuciones de Cauchy, mientras que el último término es el producto de dos de dichas distribuciones .

Una forma de derivar la distribución de la razón de ⁠${\displaystyle Z=X/Y}$a partir de la distribución conjunta de las otras dos variables aleatorias${\displaystyle X}$,​​${\displaystyle Y}$⁠ , con PDF conjunto ⁠${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)}$⁠ , es mediante la integración de la siguiente forma ^{[ 2 ]}$${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.}$$

Si las dos variables son independientes entonces ${\displaystyle p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)}$y esto se convierte en $${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.}$$

Esto puede no ser sencillo. A modo de ejemplo, tomemos el problema clásico de la razón de dos muestras gaussianas estándar. La función de densidad de probabilidad conjunta es $${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right).}$$

Definición${\displaystyle Z=X/Y}$tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {\left(zy\right)^{2}}{2}}\right)\,\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)\,dy\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right)}{2}}\right)\,dy.\end{aligned}}}$$ Utilizando la integral definida conocida${\textstyle \int _{0}^{\infty }x\exp \left(-cx^{2}\right)dx={\frac {1}{2c}}}$ obtenemos $${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi (z^{2}+1)}},}$$ que es la distribución de Cauchy o la distribución t de Student con ⁠${\displaystyle n=1}$⁠ .

También se ha sugerido la transformada de Mellin para la derivación de distribuciones de razón. ^{[ 5 ]}

En el caso de variables independientes positivas, proceda de la siguiente manera. El diagrama muestra una distribución bivariada separable.${\displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)}$que tiene apoyo en el cuadrante positivo${\displaystyle x,y>0}$y deseamos hallar la función de densidad de probabilidad de la razón .${\displaystyle R=X/Y}$⁠ . El volumen sombreado sobre la línea ⁠${\displaystyle y=x/R}$⁠ representa la distribución acumulativa de la función ⁠${\displaystyle f_{x,y}(x,y)}$multiplicado por la función lógica${\displaystyle X/Y\leq R}$⁠ . La densidad se integra primero en franjas horizontales; la franja horizontal a altura ⁠${\displaystyle y}$⁠ se extiende desde ⁠${\displaystyle x=0}$a​​${\displaystyle x=Ry}$y tiene probabilidad incremental${\textstyle f_{y}(y)dy\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx}$.

En segundo lugar, integrando las franjas horizontales hacia arriba en todo el${\displaystyle y}$⁠ produce el volumen de probabilidad por encima de la línea $${\displaystyle F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$$ Finalmente, diferencie${\displaystyle F_{R}(R)}$con respecto a${\displaystyle R}$Para obtener el PDF${\displaystyle f_{R}(R)}$⁠ . $${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]}$$ Traslada la diferenciación al interior de la integral: $${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left({\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$$ y desde $${\displaystyle {\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)}$$ entonces $${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)f_{x}(Ry)ydy.}$$ Como ejemplo, encuentre la función de densidad de probabilidad de la razón ⁠${\displaystyle R}$cuando​ $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x)&=\alpha e^{-\alpha x},\\f_{y}(y)&=\beta e^{-\beta y},\\x,y&\geq 0.\end{aligned}}}$$

Tenemos $${\displaystyle \int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-\left.e^{-\alpha x}\right\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}}$$ de este modo $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=\int _{0}^{\infty }\beta e^{-\beta y}\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=1-{\frac {\alpha R}{\beta +\alpha R}}\\&={\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}.\end{aligned}}}$$ Diferenciación con respecto a ⁠${\displaystyle R}$⁠ produce la función de densidad de probabilidad de ⁠${\displaystyle R}$:​ $${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\right)={\frac {\tfrac {\beta }{\alpha }}{\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}+R\right)^{2}}}.}$$

Según la teoría de la transformada de Mellin , para distribuciones que existen solo en la semirrecta positiva${\displaystyle x\geq 0}$Tenemos la identidad del producto .$${\displaystyle \operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\cdot \operatorname {E} [V^{p}]}$$ proporcionado​${\displaystyle U}$,​​${\displaystyle V}$son independientes. En el caso de una proporción de muestras como${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]}$Para utilizar esta identidad es necesario emplear momentos de la distribución inversa. Establezca${\displaystyle 1/Y=Z}$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {E} [(XZ)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]}$⁠ . Por lo tanto, si los momentos de${\displaystyle X^{p}}$y${\displaystyle Y^{-p}}$pueden determinarse por separado, entonces los momentos de${\displaystyle X/Y}$se pueden encontrar. Los momentos de${\displaystyle Y^{-p}}$se determinan a partir de la PDF inversa de ⁠${\displaystyle Y}$⁠ , a menudo un ejercicio manejable. En su forma más simple, ⁠${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)dy}$⁠ .

Para ilustrarlo, dejemos${\displaystyle X}$ser muestreado de una distribución Gamma estándar$${\displaystyle x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha )}$$cuyo​${\displaystyle p}$-ésimo momento es${\displaystyle \Gamma (\alpha +p)/\Gamma (\alpha )}$⁠ .

${\displaystyle Z=Y^{-1}}$se muestrea a partir de una distribución gamma inversa con parámetro${\displaystyle \beta }$y tiene PDF${\displaystyle \Gamma ^{-1}(\beta )z^{-(1+\beta )}e^{-1/z}}$⁠ . Los momentos de este PDF son $${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}$$

Multiplicando los momentos correspondientes se obtiene $${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\cdot \operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}$$

De forma independiente, se sabe que la proporción de las dos muestras Gamma${\displaystyle R=X/Y}$sigue la distribución beta prima : $${\displaystyle f_{\beta '}(r,\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\alpha ,\beta )^{-1}r^{\alpha -1}(1+r)^{-(\alpha +\beta )}}$$ cuyos momentos son $${\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}$$

Sustituyendo${\textstyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [R^{p}]&=\left.{\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\right/{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\\[.5em]&={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\end{aligned}}}$$ lo cual es consistente con el producto de momentos anterior.

En la sección de distribución de productos , y derivado de la teoría de la transformada de Mellin (véase la sección anterior), se encuentra que la media de un producto de variables independientes es igual al producto de sus medias. En el caso de razones, tenemos $${\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (1/Y)}$$ lo cual, en términos de distribuciones de probabilidad, es equivalente a $${\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)\,dx\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy.}$$

Tenga en cuenta que${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} (1/Y)\neq {\frac {1}{\operatorname {E} (Y)}}}$; es decir ,${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy\neq 1\left/\int _{-\infty }^{\infty }yf_{y}(y)\,dy\right.}$⁠ .

La varianza de una razón de variables independientes es $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\cdot \operatorname {E} ^{2}(1/Y).\end{aligned}}}$$

La razón de log-normales independientes o correlacionados es log-normal. Esto se deduce de que si${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$si se distribuyen lognormalmente , entonces${\displaystyle \ln(X_{1})}$y${\displaystyle \ln(X_{2})}$están distribuidas normalmente. Si son independientes o sus logaritmos siguen una distribución normal bivariada , entonces el logaritmo de su razón es la diferencia de variables aleatorias independientes o correlacionadas distribuidas normalmente, que también está distribuida normalmente. ^{[ b ]}

Esto es importante para muchas aplicaciones que requieren la razón de variables aleatorias que deben ser positivas, donde la distribución conjunta de${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$se aproxima adecuadamente mediante una distribución log-normal. Este es un resultado común del teorema del límite central multiplicativo , también conocido como ley de Gibrat , cuando${\displaystyle X_{i}}$es el resultado de la acumulación de muchos pequeños cambios porcentuales y debe ser positivo y tener una distribución aproximadamente log-normal. ^{[ c ]}

Con dos variables aleatorias independientes que siguen una distribución uniforme , por ejemplo, $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ la distribución de la razón se convierte en $${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&0<z<1\\{\tfrac {1}{2z^{2}}},&z\geq 1\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Si dos variables aleatorias independientes ,${\displaystyle X}$y​​${\displaystyle Y}$Cada una sigue una distribución de Cauchy con mediana igual a cero y factor de forma${\displaystyle a}$⁠ , $${\displaystyle p_{X}(x|a)={\frac {a}{\pi (a^{2}+x^{2})}},}$$ entonces la distribución de la razón para la variable aleatoria ⁠${\displaystyle Z=X/Y}$es ^{[ 15 ]}​$${\displaystyle p_{Z}(z|a)={\frac {1}{\pi ^{2}(z^{2}-1)}}\ln(z^{2}).}$$ Esta distribución no depende de${\displaystyle a}$y el resultado indicado por Springer ^{[ 16 ]} no es correcto.

La distribución de razón es similar, pero no idéntica, a la distribución de producto de la variable aleatoria .${\displaystyle W=XY}$: ^{[ 5 ]}​$${\displaystyle p_{W}(w|a)={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{4})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{4}}}\right).}$$

En términos más generales, si dos variables aleatorias independientes${\displaystyle X}$y​​${\displaystyle Y}$Cada una sigue una distribución de Cauchy con mediana igual a cero y factor de forma${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$respectivamente , entonces:

1. La distribución de la razón para la variable aleatoria ⁠${\displaystyle Z=X/Y}$es ^{[ 15 ]}​$${\displaystyle p_{Z}(z|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2})}}\ln \left({\frac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}}\right).}$$
2. La distribución del producto para la variable aleatoria${\displaystyle W=XY}$es ^{[ 15 ]}​$${\displaystyle p_{W}(w|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right).}$$

El resultado para la distribución de razón se puede obtener a partir de la distribución de producto reemplazando ⁠${\displaystyle b}$con​​${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{b}}}$⁠ .

Si​${\displaystyle X}$⁠ tiene una distribución normal estándar y ⁠${\displaystyle Y}$Si tiene una distribución uniforme estándar, entonces${\displaystyle Z=X/Y}$⁠ tiene una distribución conocida como distribución de barra diagonal , con función de densidad de probabilidad $${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}{\frac {\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]}{z^{2}}},&z\neq 0\\{\frac {\varphi (0)}{2}},&z=0,\\\end{cases}}}$$ donde​${\displaystyle \varphi (z)}$es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar. ^{[ 17 ]}

Dejemos​${\displaystyle G}$ser una distribución normal${\displaystyle {\mathcal {(}}0,1)}$,​​${\displaystyle Y}$y​​${\displaystyle Z}$⁠ sean distribuciones chi-cuadrado con ⁠${\displaystyle m}$y​​${\displaystyle n}$grados de libertad respectivamente , todos independientes, con $${\displaystyle f_{\chi }(x,k)={\frac {x^{\left({\tfrac {k}{2}}-1\right)}e^{-{\tfrac {x}{2}}}}{2^{k/2}\Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)}}.}$$ Entonces

• ${\textstyle {\frac {G}{\sqrt {Y/m}}}\sim t_{m}}$es la distribución t de Student ;
• ${\textstyle {\frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n},}$es decir, la distribución de la prueba F de Fisher ;
• ${\textstyle {\frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$es la distribución beta ; y
• ${\textstyle {\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$es la distribución beta prima estándar .

Si​${\displaystyle \textstyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$, una distribución chi-cuadrado no central ,${\displaystyle \textstyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$y​​${\displaystyle V_{1}}$es independiente de${\displaystyle V_{2}}$, entonces $${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda ),}$$una distribución F F no central .

${\textstyle {\tfrac {m}{n}}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$o${\displaystyle F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})}$ define​${\displaystyle F'_{m,n}}$⁠ , distribución de densidad F de Fisher , la PDF de la razón de dos distribuciones chi-cuadrado con ⁠${\displaystyle m,n}$grados de libertad. ^{[ d ]}

Si introducimos una tabla de prueba F con ⁠${\displaystyle m=3}$,​​${\displaystyle n=4}$Con una probabilidad del 5% en la cola derecha, el valor crítico es 6,59. Esto coincide con la integral. $${\displaystyle F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty }\beta '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})\,dx=0.05.}$$

Para distribuciones gamma${\displaystyle U}$y​​${\displaystyle V}$con parámetros de forma arbitrarios${\displaystyle \alpha _{1}}$y​​${\displaystyle \alpha _{2}}$⁠ , y sus parámetros de escala establecidos ambos en la unidad (es decir, ⁠${\displaystyle \textstyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},1)}$,​​${\displaystyle \textstyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},1)}$, donde​${\displaystyle \textstyle \Gamma (x;\alpha ,1)=(x^{\alpha -1}e^{-x})/{\Gamma (\alpha )}}$) , entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}};\\[1ex]{\tfrac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1;\\[1ex]{\tfrac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{ expectation }}&={\tfrac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1.\end{aligned}}}$$