Análisis factorial

El modelo intenta explicar un conjunto de${\displaystyle p}$observaciones en cada uno de${\displaystyle n}$individuos con un conjunto de${\displaystyle k}$factores comunes (${\displaystyle f_{i,j}}$) donde hay menos factores por unidad que observaciones por unidad (${\displaystyle k<p}$). Cada individuo tiene${\displaystyle k}$de sus propios factores comunes, y estos están relacionados con las observaciones a través de la matriz de cargas factoriales (${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{p\times k}}$), para una sola observación, según

${\displaystyle x_{i,m}-\mu _{i}=l_{i,1}f_{1,m}+\dots +l_{i,k}f_{k,m}+\varepsilon _{i,m}}$

dónde

• ${\displaystyle x_{i,m}}$es el valor de la${\displaystyle i}$la observación de la${\displaystyle m}$individuo,
• ${\displaystyle \mu _{i}}$es la media de observación para la${\displaystyle i}$la observación,
• ${\displaystyle l_{i,j}}$es la carga para el${\displaystyle i}$la observación de la${\displaystyle j}$factor th,
• ${\displaystyle f_{j,m}}$es el valor de la${\displaystyle j}$factor º del${\displaystyle m}$individuo, y
• ${\displaystyle \varepsilon _{i,m}}$es el${\displaystyle (i,m)}$el término de error estocástico no observado con media cero y varianza finita.

En notación matricial

${\displaystyle X-\mathrm {M} =LF+\varepsilon }$

donde matriz de observación${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p\times n}}$, matriz de carga${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{p\times k}}$, matriz de factores${\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{k\times n}}$, matriz de términos de error${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{p\times n}}$y matriz media${\displaystyle \mathrm {M} \in \mathbb {R} ^{p\times n}}$por lo cual el${\displaystyle (i,m)}$El elemento es simplemente${\displaystyle \mathrm {M} _{i,m}=\mu _{i}}$.

Además, impondremos las siguientes suposiciones sobre${\displaystyle F}$:

1. ${\displaystyle F}$y${\displaystyle \varepsilon }$son independientes.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (F)=0}$; dónde${\displaystyle \mathrm {E} }$ es Expectativa
3. ${\displaystyle \mathrm {Cov} (F)=I}$dónde${\displaystyle \mathrm {Cov} }$ es la matriz de covarianza , para asegurar que los factores no estén correlacionados y${\displaystyle I}$es la matriz identidad .

Suponer${\displaystyle \mathrm {Cov} (X-\mathrm {M} )=\Sigma }$. Entonces

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {Cov} (X-\mathrm {M} )=\mathrm {Cov} (LF+\varepsilon ),\,}$

y por lo tanto, de las condiciones 1 y 2 impuestas en${\displaystyle F}$arriba,${\displaystyle E[LF]=LE[F]=0}$y${\displaystyle \mathrm {Cov} (LF+\epsilon )=\mathrm {Cov} (LF)+\mathrm {Cov} (\epsilon )}$, donación

${\displaystyle \Sigma =L\mathrm {Cov} (F)L^{T}+\mathrm {Cov} (\varepsilon ),\,}$

o, estableciendo${\displaystyle \Psi$ :=\mathrm {Cov} (\varepsilon )} ,

${\displaystyle \Sigma =LL^{T}+\Psi .\,}$

Para cualquier matriz ortogonal${\displaystyle Q}$, si establecemos${\displaystyle L^{\prime }=\ LQ}$y${\displaystyle F^{\prime }=Q^{T}F}$, los criterios para ser factores y cargas factoriales siguen vigentes. Por lo tanto, un conjunto de factores y cargas factoriales es único salvo una transformación ortogonal .

Supongamos que un psicólogo plantea la hipótesis de que existen dos tipos de inteligencia : «inteligencia verbal» e «inteligencia matemática», ninguna de las cuales se observa directamente. ^{[ nota 1 ]} Se busca evidencia para esta hipótesis en las calificaciones de los exámenes de 10 áreas académicas diferentes de 1000 estudiantes. Si cada estudiante se elige al azar de una población grande , entonces las 10 calificaciones de cada estudiante son variables aleatorias. La hipótesis del psicólogo puede afirmar que, para cada una de las 10 áreas académicas, la calificación promedio del grupo de todos los estudiantes que comparten un par común de valores para las «inteligencias» verbal y matemática es una constante multiplicada por su nivel de inteligencia verbal más otra constante multiplicada por su nivel de inteligencia matemática; es decir, es una combinación lineal de esos dos «factores». La hipótesis postula que los números para una materia en particular, por los cuales se multiplican los dos tipos de inteligencia para obtener la calificación esperada, son los mismos para todos los pares de niveles de inteligencia y se denominan «carga factorial» para esa materia. Por ejemplo, la hipótesis puede sostener que la aptitud promedio prevista del estudiante en el campo de la astronomía es

{10 × la inteligencia verbal del estudiante} + {6 × la inteligencia matemática del estudiante}.

Los números 10 y 6 representan las cargas factoriales asociadas a la astronomía. Otras disciplinas académicas pueden tener cargas factoriales diferentes.

Dos estudiantes que se supone que tienen el mismo grado de inteligencia verbal y matemática pueden tener aptitudes diferentes en astronomía debido a que las aptitudes individuales difieren de las aptitudes promedio (predichas anteriormente) y al propio error de medición. Estas diferencias conforman lo que se denomina colectivamente "error", un término estadístico que indica la magnitud en la que un individuo, según las mediciones, difiere del promedio o de lo que se predice según su nivel de inteligencia (véase errores y residuos en estadística ).

Los datos observables que se utilizan en el análisis factorial serían 10 puntuaciones de cada uno de los 1000 estudiantes, lo que suma un total de 10 000 números. A partir de estos datos, se deben inferir las cargas factoriales y los niveles de los dos tipos de inteligencia de cada estudiante.

En lo sucesivo, las matrices se indicarán mediante variables indexadas. Los índices de "Asignatura académica" se indicarán mediante letras.${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$y${\displaystyle c}$, con valores que van desde${\displaystyle 1}$a${\displaystyle p}$lo cual es igual a${\displaystyle 10}$En el ejemplo anterior, los índices de "factor" se indicarán mediante letras.${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$y${\displaystyle r}$, con valores que van desde${\displaystyle 1}$a${\displaystyle k}$lo cual es igual a${\displaystyle 2}$En el ejemplo anterior, los índices de "instancia" o "muestra" se indicarán mediante letras.${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$, con valores que van desde${\displaystyle 1}$a${\displaystyle N}$. En el ejemplo anterior, si una muestra de${\displaystyle N=1000}$Los estudiantes participaron en el${\displaystyle p=10}$los exámenes, el${\displaystyle i}$la puntuación del estudiante para el${\displaystyle a}$El examen es administrado por${\displaystyle x_{ai}}$El objetivo del análisis factorial es caracterizar las correlaciones entre las variables.${\displaystyle x_{a}}$de los cuales el${\displaystyle x_{ai}}$son un caso particular, o un conjunto de observaciones. Para que las variables estén en igualdad de condiciones, se normalizan en puntuaciones estándar.${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z_{ai}={\frac {x_{ai}-{\hat {\mu }}_{a}}{{\hat {\sigma }}_{a}}}}$

donde la media de la muestra es:

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{a}={\tfrac {1}{N}}\sum _{i}x_{ai}}$

y la varianza muestral viene dada por:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{a}^{2}={\tfrac {1}{N-1}}\sum _{i}(x_{ai}-{\hat {\mu }}_{a})^{2}}$

El modelo de análisis factorial para esta muestra en particular es, por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{matrix}z_{1,i}&=&\ell _{1,1}F_{1,i}&+&\ell _{1,2}F_{2,i}&+&\varepsilon _{1,i}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\z_{10,i}&=&\ell _{10,1}F_{1,i}&+&\ell _{10,2}F_{2,i}&+&\varepsilon _{10,i}\end{matrix}}}$

o, más brevemente:

${\displaystyle z_{ai}=\sum _{p}\ell _{ap}F_{pi}+\varepsilon _{ai}}$

dónde

• ${\displaystyle F_{1i}}$es el${\displaystyle i}$la "inteligencia verbal" del estudiante,
• ${\displaystyle F_{2i}}$es el${\displaystyle i}$la "inteligencia matemática" del estudiante,
• ${\displaystyle \ell _{ap}}$son las cargas factoriales para el${\displaystyle a}$tema, para${\displaystyle p=1,2}$.

En notación matricial , tenemos

${\displaystyle Z=LF+\varepsilon }$

Observe que al duplicar la escala en la que la "inteligencia verbal" (el primer componente en cada columna de${\displaystyle F}$—se mide, y simultáneamente reducir a la mitad las cargas factoriales para la inteligencia verbal no hace ninguna diferencia en el modelo. Por lo tanto, no se pierde generalidad al suponer que la desviación estándar de los factores para la inteligencia verbal es${\displaystyle 1}$. Lo mismo ocurre con la inteligencia matemática. Además, por razones similares, no se pierde generalidad al suponer que los dos factores no están correlacionados entre sí. En otras palabras:

${\displaystyle \sum _{i}F_{pi}F_{qi}=\delta _{pq}}$

dónde${\displaystyle \delta _{pq}}$es el delta de Kronecker (${\displaystyle 0}$cuando${\displaystyle p\neq q}$y${\displaystyle 1}$cuando${\displaystyle p=q}$). Se supone que los errores son independientes de los factores:

${\displaystyle \sum _{i}F_{pi}\varepsilon _{ai}=0}$

Dado que cualquier rotación de una solución también constituye una solución, esto dificulta la interpretación de los factores. Véanse las desventajas a continuación. En este ejemplo concreto, si desconocemos de antemano que los dos tipos de inteligencia no están correlacionados, no podemos interpretar los dos factores como dos tipos de inteligencia diferentes. Incluso si no están correlacionados, no podemos determinar qué factor corresponde a la inteligencia verbal y cuál a la inteligencia matemática sin un argumento externo.

Los valores de las cargas${\displaystyle L}$, los promedios${\displaystyle \mu }$y las variaciones de los "errores"${\displaystyle \varepsilon }$debe estimarse dados los datos observados${\displaystyle X}$y${\displaystyle F}$(la suposición sobre los niveles de los factores es fija para un valor dado${\displaystyle F}$). El "teorema fundamental" puede derivarse de las condiciones anteriores:

${\displaystyle \sum _{i}z_{ai}z_{bi}=\sum _{j}\ell _{aj}\ell _{bj}+\sum _{i}\varepsilon _{ai}\varepsilon _{bi}}$

El término de la izquierda es el${\displaystyle (a,b)}$-término de la matriz de correlación (un${\displaystyle p\times p}$matriz derivada como producto de la${\displaystyle p\times N}$matriz de observaciones estandarizadas con su transpuesta) de los datos observados y su${\displaystyle p}$Los elementos diagonales serán${\displaystyle 1}$El segundo término de la derecha será una matriz diagonal con términos menores que la unidad. El primer término de la derecha es la "matriz de correlación reducida" y será igual a la matriz de correlación, excepto por sus valores diagonales, que serán menores que la unidad. Estos elementos diagonales de la matriz de correlación reducida se denominan "comunalidades" (que representan la fracción de la varianza en la variable observada que se explica por los factores):

${\displaystyle h_{a}^{2}=1-\psi _{a}=\sum _{j}\ell _{aj}\ell _{aj}}$

Los datos de muestra${\displaystyle z_{ai}}$no obedecerá exactamente la ecuación fundamental dada anteriormente debido a errores de muestreo, insuficiencia del modelo, etc. El objetivo de cualquier análisis del modelo anterior es encontrar los factores${\displaystyle F_{pi}}$y cargas${\displaystyle \ell _{ap}}$que proporcionan un "mejor ajuste" a los datos. En el análisis factorial, el mejor ajuste se define como el mínimo del error cuadrático medio en los residuos fuera de la diagonal de la matriz de correlación: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=\sum _{a\neq b}\left[\sum _{i}z_{ai}z_{bi}-\sum _{j}\ell _{aj}\ell _{bj}\right]^{2}}$

Esto equivale a minimizar los componentes fuera de la diagonal de la covarianza del error que, en las ecuaciones del modelo, tienen valores esperados de cero. Esto contrasta con el análisis de componentes principales, que busca minimizar el error cuadrático medio de todos los residuos. ^{[ 3 ]} Antes de la llegada de las computadoras de alta velocidad, se dedicó un esfuerzo considerable a encontrar soluciones aproximadas al problema, particularmente en la estimación de las comunalidades por otros medios, lo que luego simplifica considerablemente el problema al producir una matriz de correlación reducida conocida. Esta se usaba luego para estimar los factores y las cargas. Con la llegada de las computadoras de alta velocidad, el problema de minimización se puede resolver iterativamente con la velocidad adecuada, y las comunalidades se calculan en el proceso, en lugar de ser necesarias de antemano. El algoritmo MinRes es particularmente adecuado para este problema, pero no es el único medio iterativo para encontrar una solución.

Si se permite que los factores de la solución estén correlacionados (como en la rotación 'oblimin', por ejemplo), entonces el modelo matemático correspondiente utiliza coordenadas sesgadas en lugar de coordenadas ortogonales.

Los parámetros y variables del análisis factorial pueden recibir una interpretación geométrica. Los datos (${\displaystyle z_{ai}}$), los factores (${\displaystyle F_{pi}}$) y los errores (${\displaystyle \varepsilon _{ai}}$) pueden verse como vectores en un${\displaystyle N}$Espacio euclidiano de -dimensiones (espacio muestral), representado como${\displaystyle \mathbf {z} _{a}}$,${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}}$respectivamente. Dado que los datos están estandarizados, los vectores de datos tienen una longitud unitaria (${\displaystyle ||\mathbf {z} _{a}||=1}$). Los vectores de factores definen un${\displaystyle k}$Subespacio lineal de dimensión (es decir, un hiperplano) en este espacio, sobre el cual se proyectan ortogonalmente los vectores de datos. Esto se deduce de la ecuación del modelo.

${\displaystyle \mathbf {z} _{a}=\sum _{p}\ell _{ap}\mathbf {F} _{p}+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}}$

y la independencia de los factores y los errores:${\displaystyle \mathbf {F} _{p}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}=0}$En el ejemplo anterior, el hiperplano es simplemente un plano bidimensional definido por los dos vectores factoriales. La proyección de los vectores de datos sobre el hiperplano viene dada por

${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}_{a}=\sum _{p}\ell _{ap}\mathbf {F} _{p}}$

y los errores son vectores desde ese punto proyectado hasta el punto de datos y son perpendiculares al hiperplano. El objetivo del análisis factorial es encontrar un hiperplano que sea un "mejor ajuste" a los datos en algún sentido, por lo que no importa cómo se elijan los vectores factoriales que definen este hiperplano, siempre que sean independientes y se encuentren en el hiperplano. Somos libres de especificarlos como ortogonales y normales (${\displaystyle \mathbf {F} _{p}\cdot \mathbf {F} _{q}=\delta _{pq}}$) sin pérdida de generalidad. Una vez encontrado un conjunto adecuado de factores, estos pueden rotarse arbitrariamente dentro del hiperplano, de modo que cualquier rotación de los vectores de factores definirá el mismo hiperplano y también será una solución. En consecuencia, en el ejemplo anterior, en el que el hiperplano de ajuste es bidimensional, si no sabemos de antemano que los dos tipos de inteligencia no están correlacionados, no podemos interpretar los dos factores como los dos tipos de inteligencia diferentes. Incluso si no están correlacionados, no podemos determinar qué factor corresponde a la inteligencia verbal y cuál a la inteligencia matemática, ni si los factores son combinaciones lineales de ambos, sin un argumento externo.

Los vectores de datos${\displaystyle \mathbf {z} _{a}}$tienen longitud unitaria. Las entradas de la matriz de correlación para los datos vienen dadas por${\displaystyle r_{ab}=\mathbf {z} _{a}\cdot \mathbf {z} _{b}}$La matriz de correlación puede interpretarse geométricamente como el coseno del ángulo entre los dos vectores de datos.${\displaystyle \mathbf {z} _{a}}$y${\displaystyle \mathbf {z} _{b}}$. Los elementos diagonales serán claramente${\displaystyle 1}$s y los elementos fuera de la diagonal tendrán valores absolutos menores o iguales a la unidad. La "matriz de correlación reducida" se define como

${\displaystyle {\hat {r}}_{ab}={\hat {\mathbf {z} }}_{a}\cdot {\hat {\mathbf {z} }}_{b}}$.

El objetivo del análisis factorial es elegir el hiperplano de ajuste de tal manera que la matriz de correlación reducida reproduzca la matriz de correlación lo más fielmente posible, excepto por los elementos diagonales de la matriz de correlación, que se sabe que tienen valor unitario. En otras palabras, el objetivo es reproducir con la mayor precisión posible las correlaciones cruzadas en los datos. Específicamente, para el hiperplano de ajuste, el error cuadrático medio en los componentes fuera de la diagonal

${\displaystyle \varepsilon ^{2}=\sum _{a\neq b}\left(r_{ab}-{\hat {r}}_{ab}\right)^{2}}$

debe minimizarse, y esto se logra minimizándolo con respecto a un conjunto de vectores factoriales ortonormales. Se puede observar que

${\displaystyle r_{ab}-{\hat {r}}_{ab}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{a}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}_{b}}$

El término de la derecha es simplemente la covarianza de los errores. En el modelo, se establece que la covarianza del error es una matriz diagonal, por lo que el problema de minimización anterior producirá, de hecho, un "mejor ajuste" al modelo: producirá una estimación de muestra de la covarianza del error que tiene sus componentes fuera de la diagonal minimizadas en el sentido de la media cuadrática. Se puede ver que dado que${\displaystyle {\hat {z}}_{a}}$son proyecciones ortogonales de los vectores de datos, su longitud será menor o igual a la longitud del vector de datos proyectado, que es la unidad. El cuadrado de estas longitudes son simplemente los elementos diagonales de la matriz de correlación reducida. Estos elementos diagonales de la matriz de correlación reducida se conocen como "comunalidades":

${\displaystyle {h_{a}}^{2}=||{\hat {\mathbf {z} }}_{a}||^{2}=\sum _{p}{\ell _{ap}}^{2}}$

Los valores elevados de las comunalidades indicarán que el hiperplano de ajuste reproduce con bastante precisión la matriz de correlación. Los valores medios de los factores también deben ser cero, por lo que los valores medios de los errores también serán cero.

El análisis de componentes principales (ACP) es un método ampliamente utilizado para la extracción de factores, que constituye la primera fase del análisis factorial exploratorio (AFE). ^{[ 4 ]} Se calculan los pesos de los factores para extraer la máxima varianza posible, y la factorización sucesiva continúa hasta que no queda más varianza significativa. ^{[ 4 ]} El modelo factorial debe luego rotarse para su análisis. ^{[ 4 ]}

El análisis factorial canónico, también llamado factorización canónica de Rao, es un método diferente para calcular el mismo modelo que el PCA, que utiliza el método de ejes principales. El análisis factorial canónico busca los factores que presentan la mayor correlación canónica con las variables observadas. Este método no se ve afectado por el reescalamiento arbitrario de los datos.

El análisis de factores comunes, también llamado análisis de factores principales (AFP) o factorización de ejes principales (FAP), busca la menor cantidad de factores que puedan explicar la varianza común (correlación) de un conjunto de variables.

El análisis factorial de imágenes se basa en la matriz de correlación de las variables predichas en lugar de las variables reales, donde cada variable se predice a partir de las demás mediante regresión múltiple .

El método de factorización alfa se basa en maximizar la fiabilidad de los factores, asumiendo que las variables se seleccionan aleatoriamente de un universo de variables. Todos los demás métodos asumen que los casos se seleccionan mediante muestreo y que las variables son fijas.

El modelo de regresión factorial es un modelo combinatorio de modelo factorial y modelo de regresión; o alternativamente, puede verse como el modelo factorial híbrido, ^{[ 5 ]} cuyos factores se conocen parcialmente.

Cargas factoriales

La comunalidad es el cuadrado de la carga externa estandarizada de un ítem. De forma análoga al coeficiente de determinación (r²) de Pearson , la carga factorial al cuadrado representa el porcentaje de varianza de la variable indicadora explicado por el factor. Para obtener el porcentaje de varianza de todas las variables explicado por cada factor, se suman las cargas factoriales al cuadrado de dicho factor (columna) y se divide el resultado entre el número de variables. (El número de variables es igual a la suma de sus varianzas, ya que la varianza de una variable estandarizada es 1). Esto equivale a dividir el autovalor del factor entre el número de variables.

En el análisis factorial confirmatorio, una regla general para la interpretación de los datos es que las cargas factoriales deben ser de 0,7 o superiores para confirmar que las variables independientes identificadas a priori están representadas por un factor específico. Esto se basa en la premisa de que el nivel de 0,7 corresponde a aproximadamente la mitad de la varianza del indicador explicada por dicho factor. Sin embargo, el estándar de 0,7 es elevado y es posible que los datos reales no cumplan este criterio. Por ello, algunos investigadores, sobre todo con fines exploratorios, utilizan niveles inferiores, como 0,4 para el factor central y 0,25 para otros factores. En cualquier caso, las cargas factoriales deben interpretarse a la luz de la teoría, no mediante umbrales arbitrarios.

En la rotación oblicua , se pueden examinar tanto una matriz de patrones como una matriz de estructura. La matriz de estructura es simplemente la matriz de cargas factoriales, como en la rotación ortogonal, que representa la varianza de una variable medida explicada por un factor, tanto en función de contribuciones únicas como comunes. La matriz de patrones, en cambio, contiene coeficientes que solo representan contribuciones únicas. Por lo general, cuantos más factores haya, menores serán los coeficientes de patrón, ya que habrá más contribuciones comunes a la varianza explicada. Para la rotación oblicua, el investigador considera tanto los coeficientes de estructura como los de patrón al asignar una etiqueta a un factor. Los principios de la rotación oblicua se pueden derivar tanto de la entropía cruzada como de su entropía dual. ^{[ 6 ]}

Comunalidad

La suma de las cargas factoriales al cuadrado de todos los factores para una variable dada (fila) representa la varianza de dicha variable explicada por todos los factores. La comunalidad mide el porcentaje de varianza de una variable dada explicado por todos los factores en conjunto y puede interpretarse como la fiabilidad del indicador en el contexto de los factores considerados.

Soluciones falsas

Si la comunalidad supera 1,0, existe una solución espuria, lo que puede reflejar una muestra demasiado pequeña o la elección de extraer demasiados o muy pocos factores.

Unicidad de una variable

La variabilidad de una variable menos su comunalidad.

Valores propios/raíces características

Los autovalores miden la cantidad de variación en la muestra total que explica cada factor. La razón de los autovalores es la razón de la importancia explicativa de los factores con respecto a las variables. Si un factor tiene un autovalor bajo, entonces contribuye poco a la explicación de las varianzas en las variables y puede ignorarse por ser menos importante que los factores con autovalores más altos.

Sumas de extracción de cargas al cuadrado

Los autovalores iniciales y los autovalores posteriores a la extracción (que SPSS muestra como "Sumas de cargas al cuadrado de extracción") son iguales para la extracción mediante PCA, pero para otros métodos de extracción, los autovalores posteriores a la extracción serán menores que sus contrapartes iniciales. SPSS también muestra las "Sumas de cargas al cuadrado de rotación" e incluso para PCA, estos autovalores diferirán de los autovalores iniciales y de extracción, aunque su total será el mismo.

Puntuaciones factoriales

Puntuaciones de los componentes (en PCA)

Las puntuaciones de cada caso (fila) en cada factor (columna). Para calcular la puntuación factorial de un caso dado para un factor determinado, se toma la puntuación estandarizada del caso en cada variable, se multiplica por las cargas factoriales correspondientes de la variable para el factor dado y se suman estos productos. El cálculo de las puntuaciones factoriales permite detectar valores atípicos en los factores. Además, las puntuaciones factoriales pueden utilizarse como variables en modelos posteriores.

Los investigadores desean evitar criterios subjetivos o arbitrarios para la retención de factores, como «me pareció lógico». Se han desarrollado varios métodos objetivos para resolver este problema, lo que permite a los usuarios determinar un rango apropiado de soluciones para investigar. ^{[ 7 ]} Sin embargo, estos diferentes métodos a menudo discrepan entre sí en cuanto al número de factores que deben retenerse. Por ejemplo, el análisis paralelo puede sugerir 5 factores, mientras que el MAP de Velicer sugiere 6, por lo que el investigador puede solicitar soluciones de 5 y 6 factores y analizar cada una en términos de su relación con datos externos y la teoría.

El resultado del análisis de componentes principales (ACP) maximiza la varianza explicada primero por el primer factor, luego por el segundo, y así sucesivamente. Una desventaja de este procedimiento es que la mayoría de los ítems se agrupan en los primeros factores, mientras que muy pocos se agrupan en las variables posteriores. Esto dificulta la interpretación de los factores mediante la lectura de una lista de preguntas y cargas factoriales, ya que cada pregunta está fuertemente correlacionada con los primeros componentes, mientras que muy pocas lo están con los últimos.

La rotación facilita la interpretación de los resultados. Al elegir una base diferente para los mismos componentes principales —es decir, al seleccionar factores diferentes para expresar la misma estructura de correlación— es posible crear variables más fáciles de interpretar.  

Las rotaciones pueden ser ortogonales u oblicuas; las rotaciones oblicuas permiten que los factores se correlacionen. ^{[ 24 ]} Esta mayor flexibilidad implica que son posibles más rotaciones, algunas de las cuales pueden ser más eficaces para lograr un objetivo específico. Sin embargo, esto también puede dificultar la interpretación de los factores, ya que cierta información se "contabiliza dos veces" y se incluye varias veces en diferentes componentes; algunos factores incluso pueden parecer casi idénticos.

El análisis factorial de orden superior es un método estadístico que consiste en repetir los pasos de análisis factorial, rotación oblicua y análisis factorial de los factores rotados. Su ventaja radica en que permite al investigador visualizar la estructura jerárquica de los fenómenos estudiados. Para interpretar los resultados, se puede proceder multiplicando la matriz de patrones de factores primarios por las matrices de patrones de factores de orden superior (Gorsuch, 1983) y, posiblemente, aplicando una rotación Varimax al resultado (Thompson, 1990), o bien utilizando una solución de Schmid-Leiman (SLS, Schmid y Leiman, 1957, también conocida como transformación de Schmid-Leiman), que atribuye la variación de los factores primarios a los factores de segundo orden.

Fabrigar et al. (1999) ^{[ 34 ]} abordan una serie de razones utilizadas para sugerir que el PCA no es equivalente al análisis factorial:

1. En ocasiones se sugiere que el análisis de componentes principales (ACP) es computacionalmente más rápido y requiere menos recursos que el análisis factorial. Fabrigar et al. sugieren que la disponibilidad de recursos informáticos ha hecho que esta preocupación práctica sea irrelevante.
2. El análisis de componentes principales (ACP) y el análisis factorial pueden producir resultados similares. Este punto también lo abordan Fabrigar et al.; en ciertos casos, cuando las comunalidades son bajas (por ejemplo, 0,4), ambas técnicas arrojan resultados divergentes. De hecho, Fabrigar et al. sostienen que, cuando los datos se ajustan a los supuestos del modelo factorial común, los resultados del ACP son inexactos.
3. En ciertos casos, el análisis factorial da lugar a los llamados «casos Heywood». Estos abarcan situaciones en las que se estima que el modelo explica el 100 % o más de la varianza de una variable medida. Fabrigar et al. sugieren que estos casos resultan informativos para el investigador, ya que indican un modelo mal especificado o una violación del modelo factorial común. La ausencia de casos Heywood en el enfoque de PCA puede significar que tales problemas pasen desapercibidos.
4. Los investigadores obtienen información adicional mediante el análisis de componentes principales (ACP), como la puntuación de un individuo en un componente específico; esta información no se obtiene con el análisis factorial. Sin embargo, como sostienen Fabrigar et al., el objetivo típico del análisis factorial —es decir, determinar los factores que explican la estructura de las correlaciones entre las variables medidas— no requiere conocer las puntuaciones factoriales, por lo que esta ventaja se anula. También es posible calcular las puntuaciones factoriales a partir de un análisis factorial.

El análisis factorial tiene en cuenta el error aleatorio inherente a la medición, mientras que el PCA no lo hace. Este punto lo ejemplifica Brown (2009), ^{[ 38 ]} quien indicó que, con respecto a las matrices de correlación involucradas en los cálculos:

En el análisis de componentes principales (ACP), los valores 1,00 se colocan en la diagonal, lo que significa que se debe considerar toda la varianza de la matriz (incluida la varianza específica de cada variable, la varianza común a las variables y la varianza del error). Por lo tanto, por definición, esto incluiría toda la varianza de las variables. En cambio, en el análisis factorial exploratorio (AFE), las comunalidades se colocan en la diagonal, lo que significa que solo se debe considerar la varianza compartida con otras variables (excluyendo la varianza específica de cada variable y la varianza del error). Por lo tanto, por definición, esto incluiría solo la varianza común a las variables.

Por esta razón, Brown (2009) recomienda utilizar el análisis factorial cuando existen ideas teóricas sobre las relaciones entre variables, mientras que el PCA debe utilizarse si el objetivo del investigador es explorar patrones en sus datos.

Las diferencias entre el PCA y el análisis factorial (FA) son ilustradas con más detalle por Suhr (2009): ^{[ 35 ]}

• El análisis de componentes principales (PCA) genera componentes principales que explican la máxima cantidad de varianza para las variables observadas; el análisis factorial (FA) explica la varianza común en los datos.
• El PCA inserta unos en las diagonales de la matriz de correlación; el FA ajusta las diagonales de la matriz de correlación con los factores únicos.
• El PCA minimiza la suma de las distancias perpendiculares al cuadrado al eje del componente; el FA estima los factores que influyen en las respuestas sobre las variables observadas.
• Las puntuaciones de los componentes en el PCA representan una combinación lineal de las variables observadas ponderadas por los vectores propios ; las variables observadas en el FA son combinaciones lineales de los factores subyacentes y únicos.
• En el análisis de componentes principales (PCA), los componentes resultantes no son interpretables, es decir, no representan "constructos" subyacentes; en el análisis factorial (FA), los constructos subyacentes pueden etiquetarse e interpretarse fácilmente, siempre que se especifique un modelo preciso.

Charles Spearman fue el primer psicólogo en abordar el análisis factorial común ^{[ 39 ]} y lo hizo en su artículo de 1904. ^{[ 40 ]} En él se ofrecían pocos detalles sobre sus métodos y se centraba en modelos de un solo factor. ^{[ 41 ]} Descubrió que las puntuaciones de los escolares en una amplia variedad de temas aparentemente no relacionados estaban correlacionadas positivamente, lo que le llevó a postular que una única capacidad mental general, o g , subyace y moldea el rendimiento cognitivo humano.

El desarrollo inicial del análisis factorial común con múltiples factores fue presentado por Louis Thurstone en dos artículos a principios de la década de 1930, ^{[ 42 ] [ 43 ]} resumidos en su libro de 1935, The Vector of Mind . ^{[ 44 ]} Thurstone introdujo varios conceptos importantes del análisis factorial, incluyendo comunalidad, unicidad y rotación. ^{[ 45 ]} Abogó por una "estructura simple" y desarrolló métodos de rotación que podían usarse para lograr dicha estructura. ^{[ 39 ]}

En la metodología Q , William Stephenson , alumno de Spearman, distingue entre el análisis factorial R , orientado al estudio de las diferencias interindividuales, y el análisis factorial Q , orientado a las diferencias intraindividuales subjetivas. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

Raymond Cattell fue un firme defensor del análisis factorial y la psicometría , y utilizó la teoría multifactorial de Thurstone para explicar la inteligencia. Cattell también desarrolló la prueba de sedimentación y los coeficientes de similitud.

El análisis factorial se utiliza para identificar los factores que explican diversos resultados en diferentes pruebas. Por ejemplo, las investigaciones sobre inteligencia han demostrado que las personas que obtienen una puntuación alta en una prueba de habilidad verbal también obtienen buenos resultados en otras pruebas que requieren habilidades verbales. Los investigadores explicaron esto mediante el análisis factorial, que permitió aislar un factor, a menudo denominado inteligencia verbal, que representa el grado de capacidad de una persona para resolver problemas que implican habilidades verbales.

En psicología, el análisis factorial se asocia con mayor frecuencia a la investigación sobre la inteligencia. Sin embargo, también se ha utilizado para identificar factores en una amplia gama de ámbitos, como la personalidad, las actitudes, las creencias, etc. Está vinculado a la psicometría , ya que permite evaluar la validez de un instrumento al determinar si este mide efectivamente los factores postulados.

• Reducción del número de variables mediante la combinación de dos o más variables en un solo factor. Por ejemplo, el rendimiento en correr, lanzar la pelota, batear, saltar y levantar pesas podría combinarse en un solo factor, como la capacidad atlética general. Normalmente, en una matriz de ítems por personas, los factores se seleccionan agrupando ítems relacionados. En la técnica de análisis factorial Q, la matriz se transpone y los factores se crean agrupando personas relacionadas. Por ejemplo, liberales, libertarios, conservadores y socialistas podrían formar grupos separados.
• Identificación de grupos de variables interrelacionadas para observar cómo se relacionan entre sí. Por ejemplo, Carroll utilizó el análisis factorial para desarrollar su Teoría de los Tres Estratos . Descubrió que un factor denominado "percepción visual amplia" se relaciona con la habilidad de un individuo en tareas visuales. También halló un factor denominado "percepción auditiva amplia", relacionado con la capacidad para realizar tareas auditivas. Además, identificó un factor global, denominado "g" o inteligencia general, que se relaciona tanto con la "percepción visual amplia" como con la "percepción auditiva amplia". Esto significa que una persona con un alto valor de "g" probablemente también tenga una alta capacidad de "percepción visual" y una alta capacidad de "percepción auditiva", y que, por lo tanto, "g" explica en gran medida el desempeño de una persona en ambos ámbitos.

• «...cada orientación es igualmente aceptable matemáticamente. Pero las distintas teorías factoriales demostraron diferir tanto en cuanto a las orientaciones de los ejes factoriales para una solución dada como en cualquier otro aspecto, por lo que el ajuste del modelo no resultó útil para distinguir entre teorías» (Sternberg, 1977 ^{[ 48 ]} ). Esto significa que todas las rotaciones representan procesos subyacentes diferentes, pero todas son resultados igualmente válidos de la optimización del análisis factorial estándar. Por lo tanto, es imposible elegir la rotación adecuada utilizando únicamente el análisis factorial.
• El análisis factorial solo puede ser tan bueno como lo permitan los datos. En psicología, donde los investigadores a menudo tienen que recurrir a medidas menos válidas y fiables, como los autoinformes, esto puede resultar problemático.
• La interpretación del análisis factorial se basa en el uso de una "heurística", que es una solución "conveniente aunque no sea absolutamente cierta". ^{[ 49 ]} Se pueden hacer varias interpretaciones de los mismos datos factorizados de la misma manera, y el análisis factorial no puede identificar la causalidad.

La fase de recopilación de datos suele estar a cargo de profesionales de la investigación de mercado. Las preguntas de la encuesta solicitan al encuestado que califique una muestra del producto o descripciones de conceptos de producto según diversos atributos. Se seleccionan entre cinco y veinte atributos, como facilidad de uso, peso, precisión, durabilidad, variedad de colores, precio o tamaño. Los atributos elegidos varían según el producto estudiado. Se formula la misma pregunta para todos los productos del estudio. Los datos de múltiples productos se codifican y se introducen en un programa estadístico como R , SPSS , SAS , Stata , STATISTICA , JMP y SYSTAT.

El análisis aislará los factores subyacentes que explican los datos utilizando una matriz de asociaciones. ^{[ 52 ]} El análisis factorial es una técnica de interdependencia. Se examina el conjunto completo de relaciones interdependientes. No hay especificación de variables dependientes, variables independientes o causalidad. El análisis factorial supone que todos los datos de calificación sobre diferentes atributos pueden reducirse a unas pocas dimensiones importantes. Esta reducción es posible porque algunos atributos pueden estar relacionados entre sí. La calificación dada a cualquier atributo es parcialmente el resultado de la influencia de otros atributos. El algoritmo estadístico deconstruye la calificación (llamada puntuación bruta) en sus diversos componentes y reconstruye las puntuaciones parciales en puntuaciones factoriales subyacentes. El grado de correlación entre la puntuación bruta inicial y la puntuación factorial final se llama carga factorial .

• Se pueden utilizar tanto atributos objetivos como subjetivos, siempre que los atributos subjetivos puedan convertirse en puntuaciones.
• El análisis factorial puede identificar dimensiones o constructos latentes que el análisis directo quizás no detecte.
• Es fácil y económico.

• La utilidad depende de la capacidad de los investigadores para recopilar un conjunto suficiente de atributos del producto. Si se excluyen o se pasan por alto atributos importantes, el valor del procedimiento se reduce.
• Si los conjuntos de variables observadas son muy similares entre sí y distintos de otros elementos, el análisis factorial les asignará un único factor. Esto puede ocultar factores que representan relaciones más interesantes.
• La denominación de los factores puede requerir conocimientos teóricos, ya que atributos aparentemente disímiles pueden correlacionarse fuertemente por razones desconocidas.

• Factor- Software gratuito de análisis factorial desarrollado por la Universidad Rovira i Virgili.