El problema de Fagnano

En geometría , el problema de Fagnano es un problema de optimización que fue planteado por primera vez por Giovanni Fagnano en 1775:

Para un triángulo agudo dado, determine el triángulo inscrito de perímetro mínimo .

La solución es el triángulo órtico , con vértices en los puntos base de las alturas del triángulo dado.

El triángulo órtico , cuyos vértices están en los puntos de la base de las alturas del triángulo dado, tiene el perímetro más pequeño de todos los triángulos inscritos en un triángulo acutángulo, por lo que es la solución del problema de Fagnano. La prueba original de Fagnano utilizó métodos de cálculo y un resultado intermedio dado por su padre Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano . Sin embargo, más tarde también se descubrieron varias pruebas geométricas, entre otros por Hermann Schwarz y Lipót Fejér . Estas pruebas utilizan las propiedades geométricas de las reflexiones para determinar un camino mínimo que representa el perímetro.

Una solución desde el punto de vista de la física se encuentra imaginando que se coloca una banda elástica que sigue la Ley de Hooke alrededor de los tres lados de un marco triangular , de modo que pueda deslizarse suavemente. Entonces, la banda elástica terminaría en una posición que minimiza su energía elástica y, por lo tanto, minimiza su longitud total. Esta posición da el triángulo de perímetro mínimo. La tensión dentro de la banda elástica es la misma en todas partes de la banda elástica, por lo que en su posición de reposo, tenemos, por el teorema de Lami ,${\estilo de visualización ABC}$${\displaystyle \ángulo bcA=\ángulo acB,\ángulo caB=\ángulo baC,\ángulo abC=\ángulo cbA}$

Por lo tanto, este triángulo mínimo es el triángulo órtico.

• Problema de conjunto TSP , una tarea más general que consiste en visitar cada uno de los conjuntos de una familia mediante el recorrido más corto.

• Heinrich Dörrie: 100 grandes problemas de matemáticas elementales: su historia y solución . Dover Publications 1965, pág. 359-360. ISBN  0-486-61348-8 , problema 90 (versión en línea restringida (Google Books))
• Paul J. Nahin : Cuando lo mínimo es lo mejor: cómo los matemáticos descubrieron muchas formas ingeniosas de hacer las cosas lo más pequeñas (o lo más grandes) posibles . Princeton University Press 2004, ISBN 0-691-07078-4 , pág. 67 
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL: Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, págs. 88–89.
• HA Schwarz : Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 2 . Berlín 1890, págs. 344-345. (en línea en Internet Archive , alemán)

• El problema de Fagnano al cortar el nudo
• El problema de Fagnano en la Enciclopedia de Matemáticas
• Problema de Fagnano en un sitio web sobre geometría de triángulos
• Weisstein, Eric W. "El problema de Fagnano". MathWorld .