Teorema de Faltings

El teorema de Faltings es un resultado de la geometría aritmética , según el cual una curva algebraica no singular de género mayor que 1 sobre el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de los números racionales tiene solo un número finito de puntos racionales . Esto fue conjeturado en 1922 por Louis Mordell , ^{[ 1 ]} y conocido como la conjetura de Mordell hasta su demostración en 1983 por Gerd Faltings . ^{[ 2 ]} La conjetura fue posteriormente generalizada reemplazando${\displaystyle \mathbb {Q} }$por cualquier campo numérico .

Dejar${\displaystyle C}$sea ​​una curva algebraica no singular de género${\displaystyle g}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Entonces el conjunto de puntos racionales en${\displaystyle C}$se puede determinar de la siguiente manera:

• Cuando${\displaystyle g=0}$, o no hay puntos o hay infinitos. En tales casos,${\displaystyle C}$puede tratarse como una sección cónica .
• Cuando${\displaystyle g=1}$, si hay algún punto, entonces${\displaystyle C}$es una curva elíptica y sus puntos racionales forman un grupo abeliano finitamente generado . (Este es el teorema de Mordell , posteriormente generalizado al teorema de Mordell-Weil ). Además, el teorema de torsión de Mazur restringe la estructura del subgrupo de torsión.
• Cuando${\displaystyle g>1}$, según el teorema de Faltings,${\displaystyle C}$tiene solo un número finito de puntos racionales.

Igor Shafarevich conjeturó que solo existen un número finito de clases de isomorfismo de variedades abelianas de dimensión fija y grado de polarización fijo sobre un cuerpo numérico fijo con buena reducción fuera de un conjunto finito fijo de lugares . ^{[ 3 ]} Aleksei Parshin demostró que la conjetura de finitud de Shafarevich implicaría la conjetura de Mordell, utilizando lo que ahora se conoce como el truco de Parshin. ^{[ 4 ]}

Gerd Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich utilizando una reducción conocida a un caso de la conjetura de Tate , junto con herramientas de la geometría algebraica , incluyendo la teoría de los modelos de Nerón . ^{[ 5 ]} La idea principal de la demostración de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel . ^{[ a ]}

El artículo de Faltings de 1983 tuvo como consecuencia una serie de afirmaciones que ya se habían conjeturado anteriormente:

• La conjetura de Mordell de que una curva de género mayor que 1 sobre un cuerpo numérico tiene solo un número finito de puntos racionales;
• El teorema de isogenia de Tate establece que las variedades abelianas con módulos de Tate isomorfos (como${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$-módulos con acción de Galois) son isógenos .

Un ejemplo de aplicación del teorema de Faltings es a una forma débil del último teorema de Fermat : para cualquier fijo${\displaystyle n\geq 4}$existen como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas ( soluciones coprimas por pares ) para${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$puesto que para tal${\displaystyle n}$la curva de Fermat${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$tiene género mayor que 1.

Debido al teorema de Mordell-Weil , el teorema de Faltings puede reformularse como una afirmación sobre la intersección de una curva.${\displaystyle C}$con un subgrupo finitamente generado${\displaystyle \Gamma }$de una variedad abeliana${\displaystyle A}$Generalizar reemplazando${\displaystyle A}$por una variedad semiabeliana ,${\displaystyle C}$por una subvariedad arbitraria de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle \Gamma }$por un subgrupo arbitrario de rango finito de${\displaystyle A}$conduce a la conjetura de Mordell-Lang , que fue demostrada en 1995 por McQuillan ^{[ 9 ]} siguiendo el trabajo de Laurent, Raynaud , Hindry, Vojta y Faltings .

Otra generalización de dimensiones superiores del teorema de Faltings es la conjetura de Bombieri-Lang que dice que si${\displaystyle X}$es una variedad pseudocanónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un campo numérico.${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle X(k)}$no es Zariski denso en${\displaystyle X}$Paul Vojta ha planteado conjeturas aún más generales .

La conjetura de Mordell para cuerpos de funciones fue demostrada por Yuri Ivanovich Manin ^{[ 10 ]} y por Hans Grauert . ^{[ 11 ]} En 1990, Robert F. Coleman encontró y corrigió una laguna en la demostración de Manin. ^{[ 12 ]}

• La Academia Noruega de Ciencias y Letras - Sir Gerd Faltings otorgó el Premio Abel 2026.