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Superficie de Fano

En geometría algebraica, una superficie de Fano es una superficie de tipo general (en particular, no una variedad de Fano ) cuyos puntos indexan las líneas en una variedad cúbic...

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En geometría algebraica, una superficie de Fano es una superficie de tipo general (en particular, no una variedad de Fano ) cuyos puntos indexan las líneas en una variedad cúbica tridimensional no singular . Fueron estudiadas por primera vez por Fano ( 1904 ) . 

Diamante Hodge:

Las superficies de Fano son quizás los ejemplos más simples y estudiados de superficies irregulares de tipo general que no están relacionadas con un producto de dos curvas y no son una intersección completa de divisores en una variedad abeliana .

La superficie de Fano S de una variedad cúbica lisa tridimensional F en P⁴ posee muchas propiedades geométricas notables. La superficie S está naturalmente incrustada en la grassmanniana de líneas G(2,5) de P⁴ . Sea U la restricción a S del fibrado universal de rango 2 en G. Tenemos que:

Teorema del fibrado tangente ( Fano , Clemens - Griffiths , Tyurin): El fibrado tangente de S es isomorfo a U.

Este es un resultado bastante interesante porque, a priori, no debería existir ningún vínculo entre estos dos haces. Tiene muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo, se puede recuperar el hecho de que el espacio cotangente de S está generado por secciones globales. Este espacio de 1-formas globales se puede identificar con el espacio de secciones globales del haz lineal tautológico O(1) restringido al F cúbico y, además:

Teorema de tipo Torelli  : Sea g' el morfismo natural de S al grassmanniano G(2,5) definido por el haz cotangente de S generado por su espacio de secciones globales de 5 dimensiones. Sea F' la unión de las rectas correspondientes a g'(S). El ternario F' es isomorfo a F.

Así, conociendo una superficie de Fano S, podemos recuperar la variedad triple F. Mediante el teorema del fibrado tangente, también podemos comprender geométricamente los invariantes de S:

a) Recordemos que el segundo número de Chern de un fibrado vectorial de rango 2 sobre una superficie es el número de ceros de una sección genérica. Para una superficie de Fano S, una 1-forma w define también una sección hiperplana {w=0} en P 4 de la cúbica F. Los ceros de la w genérica en S corresponden biyectivamente al número de líneas en la intersección de la superficie cúbica lisa de {w=0} y F, por lo tanto recuperamos que la segunda clase de Chern de S es igual a 27.

b) Sean w 1 , w 2 dos 1-formas en S. El divisor canónico K en S asociado a la forma canónica w 1 ∧ w 2 parametriza las líneas en F que cortan el plano P={ w 1 = w 2 =0} en P 4 . Usando w 1 y w 2 tales que la intersección de P y F es la unión de 3 líneas, se puede recuperar el hecho de que K 2 =45. Demos algunos detalles de ese cálculo: Por un punto genérico del cubo F pasan 6 líneas. Sea s un punto de S y sea L s la línea correspondiente en el cubo F. Sea C s el divisor en S que parametriza las líneas que cortan la línea L s . La autointersección de C s es igual al número de intersección de C s y C t para un punto genérico. La intersección de C s y C t es el conjunto de líneas en F que corta las líneas disjuntas L s y L t . Consideremos el espacio lineal generado por L s y L t : es un hiperplano que entra en P 4 y corta F en una superficie cúbica lisa. Según resultados bien conocidos sobre superficies cúbicas, el número de líneas que cortan dos líneas disjuntas es 5, por lo que obtenemos ( C s ) 2 = C s C t =5. Como K es numéricamente equivalente a 3 C s , obtenemos K 2 =45.

c) El mapa compuesto natural: S → G(2,5) → P 9 es el mapa canónico de S. Es una incrustación.

Véase también

Referencias