Paraleloedro

En geometría , un paralelepípedo o poliedro de Fedorov ^{[ 1 ]} es un poliedro convexo que puede trasladarse sin rotaciones para llenar el espacio euclidiano , produciendo un panal en el que todas las copias del poliedro se encuentran cara a cara. Evgraf Fedorov identificó los cinco tipos de paralelepípedo en 1885 en sus estudios de sistemas cristalográficos. Estos son el cubo , el prisma hexagonal , el dodecaedro rómbico , el dodecaedro alargado y el octaedro truncado .

Cada paralelepípedo es simétrico centralmente y tiene caras simétricas, lo que lo convierte en un caso especial de zonohedro . Cada paralelepípedo es también un estereoedro , un poliedro que recubre el espacio de manera que todas las teselas son simétricas . Los centros de las teselas en un recubrimiento del espacio con paralelepípedos forman una red de Bravais , y toda red de Bravais puede formarse de esta manera. Ajustar las longitudes de las aristas paralelas en un paralelepípedo, o realizar una transformación afín del mismo, da como resultado otro paralelepípedo del mismo tipo combinatorio. Es posible elegir este ajuste de manera que el recubrimiento con paralelepípedos sea el diagrama de Voronoi de su red de Bravais, y de manera que los paralelepípedos resultantes se conviertan en casos especiales de los plesioedros .

Los paralelepípedos tridimensionales son análogos a los paralelogonos bidimensionales y a los paralelotopos de dimensiones superiores.

Un paralelepípedo se define como un poliedro cuyas copias trasladadas se encuentran cara a cara para llenar el espacio, formando un panal . ^{[ 2 ]} El panal resultante debe ser periódico , teniendo un sistema tridimensional de simetrías globales , porque cada traslación de una copia del poliedro a una copia adyacente debe aplicarse a todas las copias, formando una simetría de todo el teselado. ^{[ 3 ]} Por la misma razón, el panal está determinado unívocamente por la posición de cualquier paralelepípedo en él. ^{[ 4 ]} Para encontrarse cara a cara con otra copia, cada cara del poliedro debe corresponder a una cara paralela con la misma forma pero la orientación opuesta. Según un resultado de Hermann Minkowski , la forma de un paralelepípedo está determinada unívocamente por los vectores normales y las áreas de estos pares de caras opuestas. Esto implica que un paralelepípedo debe ser simétrico respecto al centro , ya que de lo contrario una reflexión puntual del poliedro produciría una forma diferente con los mismos vectores normales y áreas de caras, lo que contradiría el teorema de unicidad de Minkowski. Cada cara de un paralelepípedo también debe ser simétrica respecto al centro, para coincidir con su copia simétrica en la copia adyacente del paralelepípedo. ^{[ 2 ]}

Estas dos propiedades de los paralelepípedos, tener simetría central y caras con simetría central, caracterizan una clase más amplia de poliedros, los zonohedros , por lo que todo paralelepípedo es un zonohedro. ^{[ 5 ]} En cualquier zonohedro, las aristas se pueden agrupar en zonas , sistemas de aristas paralelas de igual longitud. Si se selecciona una arista de cada zona, la suma de Minkowski de las aristas seleccionadas da una copia trasladada del propio zonohedro. Todas las sumas de Minkowski de conjuntos finitos de segmentos de línea producen zonohedros; los segmentos que forman un zonohedro de esta manera se llaman sus generadores . A diferencia de otros zonohedros, el paralelepípedo solo puede tener de tres a seis zonas y, correspondientemente, de tres a seis generadores. ^{[ 6 ]}

Cualquier zonoedro cuyas caras tengan la misma estructura combinatoria que uno de los cinco paralelepípedos es, a su vez, un paralelepípedo. Cualquier transformación afín de un paralelepípedo producirá otro paralelepípedo del mismo tipo. ^{[ 2 ]} Una forma de caracterizar los paralelepípedos entre todos los zonoedros es mediante el uso de cinturones . Senechal y Taylor (2023) definen un cinturón de un zonoedro como el ciclo de caras que contienen todas las copias paralelas de una arista. El número de caras en cualquier cinturón de cualquier zonoedro debe ser par y puede ser cualquier número par mayor que dos. Como demostraron Federov y muchos otros, los paralelepípedos son precisamente los zonoedros cuyos cinturones constan de solo cuatro o seis caras. ^{[ 7 ]}

La clasificación de los paralelepípedos en cinco tipos fue realizada por primera vez por el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov , como capítulo 13 de un libro en ruso publicado por primera vez en 1885, cuyo título se ha traducido al inglés como Introducción a la teoría de las figuras . ^{[ 17 ]} Fedorov trabajaba con una teoría incorrecta de la estructura de los cristales , según la cual cada cristal tiene una estructura repetitiva en forma de paralelepípedo, que a su vez está formada por una o más moléculas que adoptan la misma forma (un estereoedro ). Esta teoría fue refutada por el descubrimiento en 1913 de la estructura de la halita (sal de mesa), que no está dividida en moléculas separadas, y de forma más contundente por el descubrimiento, mucho más tarde, de los cuasicristales . ^{[ 7 ]}

Algunas de las fórmulas matemáticas del libro de Fedorov son erróneas; por ejemplo, incluye una demostración incorrecta de un lema que afirma que todo recubrimiento monoédrico del plano es periódico, ^{[ 18 ]} demostrada como falsa en 2023 como parte de la solución al problema de Einstein . ^{[ 19 ]} En el caso de los paralelepípedos, Fedorov asumió sin demostración que todo paralelepípedo es centralmente simétrico, y utilizó esta suposición para demostrar su clasificación. La clasificación de los paralelepípedos fue posteriormente fundamentada por Hermann Minkowski , quien utilizó su teorema de unicidad para poliedros con normales de cara y áreas dadas para demostrar que los paralelepípedos son centralmente simétricos. ^{[ 2 ]}

En dos dimensiones, la figura análoga a un paraleloedro es un paralelogono , un polígono que puede recubrir el plano borde con borde mediante traslación. Existen dos tipos de paralelogramos: los paralelogramos y los hexágonos, en los que cada par de lados opuestos es paralelo y de igual longitud. ^{[ 20 ]}

Existen múltiples poliedros no convexos que recubren el espacio mediante traslación, más allá de los cinco paralelepípedos de Federov. ^{[ 7 ] [ 21 ]} Estos no son zonohedros y no necesariamente son simétricos centralmente. Por ejemplo, algunos de ellos pueden obtenerse a partir de un triacontaedro rómbico reemplazando ciertas ternas de caras por indentaciones. Según una conjetura de Branko Grünbaum , para cada poliedro que sea topológicamente una esfera y pueda recubrir el espacio mediante traslación, es posible agrupar sus caras en parches (uniones de subconjuntos conexos de caras) de modo que la estructura combinatoria de estos parches sea la misma que la estructura combinatoria de las caras de uno de los cinco paralelepípedos de Federov. Esta conjetura aún no ha sido demostrada. ^{[ 7 ]}

En dimensiones superiores, un politopo convexo que recubre el espacio mediante traslación se denomina paralelepípedo . Existen 52 paralelepípedos tetradimensionales diferentes, enumerados por primera vez por Boris Delaunay (con un paralelepípedo faltante, descubierto posteriormente por Mikhail Shtogrin), ^{[ 22 ]} y exactamente 110.244 tipos en cinco dimensiones. ^{[ 23 ]} A diferencia del caso de las tres dimensiones, no todos son zonotopos . Diecisiete de los paralelepípedos tetradimensionales son zonotopos, uno es el 24-celda regular , y los 34 restantes de estas formas son sumas de Minkowski de zonotopos con el 24-celda. ^{[ 24 ]} A${\displaystyle d}$Un paralelepípedo de dimensión puede tener como máximo${\displaystyle 2^{d+1}-2}$facetas, con el permutoedro alcanzando este máximo. ^{[ 6 ]}

Todo paralelepípedo es un estereoedro , un poliedro convexo que recubre el espacio de tal manera que existen simetrías en el recubrimiento que transforman cualquier tesela en cualquier otra. Un plesioedro es una clase relacionada de poliedros tridimensionales que llenan el espacio, formados a partir de los diagramas de Voronoi de conjuntos periódicos de puntos (de un tipo más general que las redes). ^{[ 20 ]} El diagrama de Voronoi de una red produce un recubrimiento del espacio mediante paralelepípedos, ^{[ 23 ]} pero no todo paralelepípedo y su recubrimiento pueden generarse de esta manera: para que un paralelepípedo sea un plesioedro, se requiere que cada vector desde el centro del paralelepípedo hasta el centro de una cara sea perpendicular a la cara. ^{[ 2 ]} Sin embargo, como demostró Boris Delaunay en 1929, ^{[ 25 ]} todo paralelepípedo puede convertirse en un plesioedro mediante una transformación afín. ^{[ 2 ]} También demostró el mismo hecho para los paralelepípedos de cuatro dimensiones, ^{[ 20 ]} y también se ha demostrado para cinco dimensiones, ^{[ 23 ]} pero esto sigue abierto en dimensiones superiores. ^{[ 6 ] [ 20 ] [ 23 ]} Algunos otros plesioedros tridimensionales no son paralelepípedos. Los recubrimientos del espacio por plesioedros tienen simetrías que llevan cualquier celda a cualquier otra celda, pero a diferencia de los paralelepípedos, estas simetrías pueden implicar rotaciones, no solo traslaciones. ^{[ 20 ]}

• La conjetura de Keller , sobre los recubrimientos mediante copias trasladadas de cubos e hipercubos que no requieren estar cara a cara.

• Weisstein, Eric W. "Paraleloedro" . MathWorld .