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constantes de Feigenbaum

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En matemáticas , específicamente en la teoría de bifurcaciones , las constantes de Feigenbaum / ˈ f aɪ ɡ ə n b aʊ m / [ 1 ] δ y α son dos constantes matemáticas que expresan razones en un diagrama de bifurcación para un mapa no lineal. Reciben su nombre del físico Mitchell J. Feigenbaum .

Historia

Feigenbaum relacionó originalmente la primera constante con las bifurcaciones de duplicación de período en el mapa logístico , pero también demostró que se cumple para todos los mapas unidimensionales con un único máximo cuadrático . Como consecuencia de esta generalidad, todo sistema caótico que corresponda a esta descripción se bifurcará al mismo ritmo. Feigenbaum realizó este descubrimiento en 1975, [ 2 ] [ 3 ] y lo publicó oficialmente en 1978. [ 4 ]

La primera constante

La primera constante de Feigenbaum o simplemente constante de Feigenbaum [ 5 ] δ es la razón límite de cada intervalo de bifurcación con respecto al siguiente entre cada duplicación de período , de un mapa de un parámetro .

incógnitai+1=F(incógnitai),{\displaystyle x_{i+1}=f(x_{i}),}

donde f ( x ) es una función parametrizada por el parámetro de bifurcación a .

Está dado por el límite : [ 6 ]

δ=límitenorte→∞anorte−1−anorte−2anorte−anorte−1{\displaystyle \delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}}

donde a n son valores discretos de a en la duplicación del n -ésimo período.

Esto da su valor numérico (secuencia A006890 en el OEIS ) :

δ=4.669201609102990671853203820466…{\displaystyle \delta =4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466\ldots }

  • Una aproximación racional sencilla es 621/133 , que es correcta con 5 cifras significativas (al redondear). Para mayor precisión, utilice 1228/263 , que es correcta con 7 cifras significativas.
  • Es aproximadamente igual a ⁠ 10 / π − 1 ⁠ , con un error de 0,0047 %.

Ilustración

Mapas no lineales

Para ver cómo surge este número, considere el mapa real de un parámetro.

F(incógnita)=a−incógnita2.{\displaystyle f(x)=ax^{2}.}

Aquí , a es el parámetro de bifurcación y x es la variable. Los valores de a para los cuales el período se duplica (por ejemplo, el valor más grande para a sin órbita de período 2 , o el valor más grande de a sin órbita de período 4 ) son a 1 , a 2 , etc. Estos se muestran en la tabla a continuación: [ 7 ]

La razón en la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum. El mismo número aparece para el mapa logístico.

F(incógnita)=aincógnita(1−incógnita){\displaystyle f(x)=ax(1-x)}

con parámetro real a y variable x . Tabulando nuevamente los valores de bifurcación: [ 8 ]

Fractales

La autosimilitud en el conjunto de Mandelbrot se muestra al ampliar una característica redonda mientras se desplaza en la dirección negativa del eje x . El centro de la pantalla se desplaza desde (−1,  0) hasta (−1,31,  0) mientras que la vista se amplía de 0,5  ×  0,5 a 0,12  ×  0,12 para aproximar la proporción de Feigenbaum.

En el caso del conjunto de Mandelbrot para polinomios cuadráticos complejos

F(z)=z2+do{\displaystyle f(z)=z^{2}+c}

La constante de Feigenbaum es la relación límite entre los diámetros de círculos sucesivos sobre el eje real en el plano complejo (véase la animación ) .

El parámetro de bifurcación es un punto raíz del componente de periodo 2n . Esta serie converge al punto de Feigenbaum c = −1,401155... La razón en la última columna converge a la primera constante de Feigenbaum.

Julia se prepara para el punto Feigenbaum

Otros mapas también reproducen esta relación; en este sentido, la constante de Feigenbaum en la teoría de bifurcaciones es análoga a π en geometría y a e en cálculo .

La segunda constante

La segunda constante de Feigenbaum o parámetro de reducción de Feigenbaum [ 5 ] α viene dada por (secuencia A006891 en el OEIS ) :

α=2.502907875095892822283902873218…{\displaystyle \alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218\ldots }

Es la relación entre el ancho de una púa y el ancho de una de sus dos subpúas (excepto la púa más cercana al pliegue). Se aplica un signo negativo a α cuando se mide la relación entre la subpúa inferior y el ancho de la púa. [ 9 ]

Estas cifras se aplican a una amplia clase de sistemas dinámicos (por ejemplo, desde grifos que gotean hasta el crecimiento de la población). [ 9 ]

Una aproximación racional simple es 5 / 2 , que es correcta hasta 2 valores significativos . Para mayor precisión, se utiliza 13 / 11 × 17 / 11 × 37 / 27 = 8177 / 3267 , que es correcta hasta 8 valores significativos .

Propiedades

Se cree que ambos números son trascendentales , aunque no se ha demostrado que lo sean. [ 10 ] De hecho, no existe ninguna prueba conocida de que alguna de las constantes sea siquiera irracional .

La primera demostración de la universalidad de las constantes de Feigenbaum fue realizada por Oscar Lanford —con ayuda de ordenadores— en 1982 [ 11 ] (con una pequeña corrección de Jean-Pierre Eckmann y Peter Wittwer de la Universidad de Ginebra en 1987 [ 12 ] ). Con el paso de los años, se descubrieron métodos no numéricos para diferentes partes de la demostración, lo que ayudó a Mikhail Lyubich a elaborar la primera demostración completa no numérica. [ 13 ]

Otros valores

La ventana del período 3 en el mapa logístico también tiene una ruta de triplicación de período hacia el caos (moviéndose en cada paso a la subventana del período 3), alcanzando el caos enr=3.854077963591…{\displaystyle r=3.854077963591\dots }y tiene sus propias dos constantes de Feigenbaum:δ=55.26,α=9.277{\displaystyle \delta =55,26,\alpha =9,277}. Resultados similares se mantienen para las otras ventanas de período n aisladas en la región caótica, obteniéndoseα{\displaystyle \alpha }yδ{\displaystyle \delta }para cada ventana. Existe una relación universal entre las dos constantes debida a Eckmann, Epstein y Wittwer, que3δ≈α2{\textstyle 3\delta \approx \alpha ^{2}}. [ 14 ] [ 15 ] : Apéndice F.2

Véase también

Notas

  1. ↑ La constante de Feigenbaum (4,669) – Numberphile , 16 de enero de 2017 , consultado el 7 de febrero de 2023
  2. ↑ Feigenbaum, MJ (1976). "Universalidad en dinámica discreta compleja" (PDF) . Informe anual de la División Teórica de Los Alamos 1975-1976 .
  3. ↑ Alligood, KT; Sauer, TD; Yorke, JA (1996). Caos: Una introducción a los sistemas dinámicos . Springer. ISBN 0-387-94677-2.
  4. ↑ Feigenbaum, Mitchell J. (1978). "Universalidad cuantitativa para una clase de transformaciones no lineales". Journal of Statistical Physics . 19 (1): 25– 52. Bibcode : 1978JSP....19...25F . doi : 10.1007/BF01020332 . S2CID 124498882 . 
  5. 1 2 Weisstein, Eric W. "Constante de Feigenbaum" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 6 de octubre de 2024 .
  6. ↑ Jordan, DW; Smith, P. (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: Introducción para científicos e ingenieros (4.ª ed.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-920825-8.
  7. ↑ Alligood, pág. 503 .
  8. ↑ Alligood, pág. 504 .
  9. 1 2 Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Estudios sobre no linealidad. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.
  10. ↑ Briggs, Keith (1997). Escalamiento de Feigenbaum en sistemas dinámicos discretos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Melbourne .
  11. ↑ Lanford III, Oscar (1982). "Una demostración asistida por computadora de las conjeturas de Feigenbaum" . Bull. Amer. Math. Soc . 6 (3): 427– 434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X .
  12. ↑ Eckmann, JP; Wittwer, P. (1987). "Una demostración completa de las conjeturas de Feigenbaum". Journal of Statistical Physics . 46 ( 3– 4): 455. Bibcode : 1987JSP....46..455E . doi : 10.1007/BF01013368 . S2CID 121353606 . 
  13. ↑ Lyubich, Mikhail (1999). "Universalidad de Feigenbaum-Coullet-Tresser y la conjetura de la pilosidad de Milnor". Annals of Mathematics . 149 (2): 319– 420. arXiv : math/9903201 . Bibcode : 1999math......3201L . doi : 10.2307/120968 . JSTOR 120968 . S2CID 119594350 .  
  14. ↑ Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, BG (1 de enero de 1985). "Dependencia de las constantes universales del período de multiplicación en mapas no lineales" . Physical Review A. 31 ( 1): 514– 516. Bibcode : 1985PhRvA..31..514D . doi : 10.1103/PhysRevA.31.514 . ISSN 0556-2791 . PMID 9895509 .  
  15. ↑ Hilborn, Robert C. (2000). Caos y dinámica no lineal: una introducción para científicos e ingenieros (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. p. 578. ISBN   0-19-850723-2OCLC 44737300​​ 

Referencias

  • Alligood, Kathleen T.; Sauer, Tim D.; Yorke, James A. (1996). Caos: Una introducción a los sistemas dinámicos . Libros de texto en ciencias matemáticas. Springer. ISBN 978-0-38794-677-1.
  • Briggs, Keith (julio de 1991). "Un cálculo preciso de las constantes de Feigenbaum" (PDF) . Matemáticas de la computación . 57 (195): 435–439 . Bibcode : 1991MaCom..57..435B . doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 .
  • Briggs, Keith (1997). Escalamiento de Feigenbaum en sistemas dinámicos discretos (PDF) (tesis doctoral). Universidad de Melbourne.
  • Broadhurst, David (22 de marzo de 1999). "Constantes de Feigenbaum con 1018 decimales" .
  • Constante de Feigenbaum – de Wolfram MathWorld
  • Secuencia OEIS A006890 (Expansión decimal de la velocidad de bifurcación de Feigenbaum)
Secuencia OEIS A006891 (expansión decimal del parámetro de reducción de Feigenbaum)
Secuencia OEIS A195102 (Desarrollo decimal del parámetro para la solución bicuadrática de la ecuación de Feigenbaum-Cvitanovic)
  • Constante de Feigenbaum – PlanetMath
  • Hofstätter, Harald (25 de octubre de 2015). «Cálculo de las Constantes de Feigenbaum» . www.harald-hofstaetter.at (cuaderno de Julia para calcular la constante de Feigenbaum) . Consultado el 7 de abril de 2024 .
  • Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). " δ – Constante de Feigenbaum" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
  • Thurlby, Judi (2021). Cálculos rigurosos de puntos fijos y atractores de renormalización (Tesis doctoral). Universidad de Portsmouth. Archivado del original el 22 de abril de 2022. Consultado el 21 de marzo de 2022 .PDF .