Teorema del triángulo rectángulo de Fermat

El teorema del triángulo rectángulo de Fermat es una prueba de inexistencia en teoría de números , publicada en 1670 entre las obras de Pierre de Fermat , poco después de su muerte. Es la única prueba completa dada por Fermat. ^[1] Tiene muchas formulaciones equivalentes, una de las cuales fue enunciada (pero no demostrada) en 1225 por Fibonacci . En sus formas geométricas, establece:

• Un triángulo rectángulo en el plano euclidiano en el que las tres longitudes de sus lados son números racionales no puede tener un área que sea el cuadrado de un número racional. El área de un triángulo rectángulo de lados racionales se denomina número congruente , por lo que ningún número congruente puede ser cuadrado.
• Un triángulo rectángulo y un cuadrado con áreas iguales no pueden tener todos los lados proporcionales entre sí.
• No existen dos triángulos rectángulos de lados enteros en los que los dos catetos de un triángulo sean el cateto y la hipotenusa del otro triángulo.

De manera más abstracta, como resultado de las ecuaciones diofánticas (soluciones enteras o de números racionales para ecuaciones polinómicas), es equivalente a las afirmaciones de que:

• Si tres números cuadrados forman una progresión aritmética , entonces el espacio entre números consecutivos en la progresión (llamado congruo ) no puede ser cuadrado.
• Los únicos puntos racionales en la curva elíptica son los tres puntos triviales con y .$y^{2}=x(x-1)(x+1)}$${\displaystyle x\en \{-1,0,1\}}$${\displaystyle y=0}$
• La ecuación cuártica no tiene una solución entera distinta de cero.${\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}}$

Una consecuencia inmediata de la última de estas formulaciones es que el último teorema de Fermat es verdadero en el caso especial de que su exponente sea 4.

En 1225, el emperador Federico II desafió al matemático Fibonacci a participar en un concurso matemático contra varios otros matemáticos, con tres problemas planteados por su filósofo de la corte, Juan de Palermo. El primero de estos problemas pedía tres números racionales cuyos cuadrados estuvieran igualmente espaciados cinco unidades, resuelto por Fibonacci con los tres números , , y . En El libro de los cuadrados , publicado más tarde el mismo año por Fibonacci, resolvió el problema más general de encontrar ternas de números cuadrados que estén igualmente espaciados entre sí, formando una progresión aritmética . Fibonacci llamó al espacio entre estos números un congruo . ^[2] Una forma de describir la solución de Fibonacci es que los números a elevar al cuadrado son la diferencia de los catetos, la hipotenusa y la suma de los catetos de un triángulo pitagórico , y que el congruo es cuatro veces el área del mismo triángulo. ^[3] Fibonacci observó que es imposible que un congruo sea un número cuadrado en sí mismo, pero no presentó una prueba satisfactoria de este hecho. ^[4]${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}}$${\displaystyle {\tfrac {41}{12}}}$${\displaystyle {\tfrac {49}{12}}}$

Si tres cuadrados , , y pudieran formar una progresión aritmética cuyo congruo fuera también un cuadrado , entonces estos números satisfarían las ecuaciones diofánticas Es decir, por el teorema de Pitágoras , formarían dos triángulos rectángulos de lados enteros en los que el par da un cateto y la hipotenusa del triángulo menor y el mismo par también forma los dos catetos del triángulo mayor. Pero si (como afirmó Fibonacci) no puede existir un congruo cuadrado, entonces no puede haber dos triángulos rectángulos enteros que compartan dos lados de esta manera. ^[5]${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle b^{2}}$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle d^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle (d,b)}$

Como los congruos son exactamente los números que son cuatro veces el área de un triángulo pitagórico, y la multiplicación por cuatro no cambia si un número es cuadrado o no, la existencia de un congruo cuadrado es equivalente a la existencia de un triángulo pitagórico con un área cuadrada. Es esta variante del problema a la que se refiere la prueba de Fermat: demuestra que no existe tal triángulo. Al considerar este problema, Fermat no se inspiró en Fibonacci sino en una edición de Arithmetica de Diofanto , publicada en una traducción al francés en 1621 por Claude Gaspar Bachet de Méziriac . ^[6] Este libro describía varios triángulos rectángulos especiales cuyas áreas tenían formas relacionadas con los cuadrados, pero no consideraba el caso de áreas que fueran cuadradas en sí mismas. ^[7]

Al reorganizar las ecuaciones para los dos triángulos pitagóricos anteriores y luego multiplicarlos entre sí, se obtiene la ecuación diofántica única que se puede simplificar introduciendo una nueva variable en A la inversa, cualesquiera tres números enteros positivos que obedezcan la ecuación conducen a un congruo cuadrado: para estos números, los cuadrados , , y forman una progresión aritmética con congruo , que es un cuadrado en sí mismo. Por lo tanto, la resolubilidad de es equivalente a la existencia de un congruo cuadrado. Pero, si el último teorema de Fermat tuviera un contraejemplo para el exponente , una solución entera para la ecuación , entonces elevar al cuadrado uno de los tres números en el contraejemplo daría tres números que resuelven la ecuación . Por lo tanto, la prueba de Fermat de que ningún triángulo pitagórico tiene un área cuadrada implica la verdad del caso exponencial del último teorema de Fermat. ^[7]$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}}$$${\displaystyle e=ac}$$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}.}$$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$${\displaystyle (b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}}$${\displaystyle (b^{4}+d^{4})^{2}}$${\displaystyle (b^{4}-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}}$${\displaystyle 4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}}$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$${\displaystyle 4}$

Otra formulación equivalente del mismo problema involucra números congruentes , los números que son áreas de triángulos rectángulos cuyos tres lados son todos números racionales . Al multiplicar los lados por un denominador común, cualquier número congruente puede transformarse en el área de un triángulo pitagórico, de lo que se deduce que los números congruentes son exactamente los números formados al multiplicar un congruo por el cuadrado de un número racional. ^[8] Por lo tanto, la existencia de un congruo cuadrado es equivalente a la afirmación de que el número 1 no es un número congruente. ^[9] Otra forma más geométrica de enunciar esta formulación es que es imposible que un cuadrado (la forma geométrica) y un triángulo rectángulo tengan áreas iguales y todos los lados conmensurables entre sí. ^[10]

Otra forma equivalente del teorema de Fermat implica la curva elíptica que consiste en los puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacen la ecuación Los puntos (−1,0), (0,0) y (1,0) proporcionan soluciones obvias a esta ecuación. El teorema de Fermat es equivalente a la afirmación de que estos son los únicos puntos de la curva para los que tanto y son racionales. De manera más general, los triángulos rectángulos con lados y área racionales se corresponden uno a uno con los puntos racionales con coordenadas positivas en la curva elíptica . ^[11]${\displaystyle (x,y)}$$${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-1).}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{2}=x(x+n)(x-n)}$

Durante su vida, Fermat desafió a varios otros matemáticos a demostrar la inexistencia de un triángulo pitagórico con área cuadrada, pero no publicó la prueba él mismo. Sin embargo, escribió una prueba en su copia de la Aritmética de Diofanto , la misma copia en la que escribió que podía demostrar el Último Teorema de Fermat . El hijo de Fermat, Clement-Samuel, publicó una edición de este libro, incluyendo las notas marginales de Fermat con la prueba del teorema del triángulo rectángulo, en 1670. ^[12]

La prueba de Fermat es una prueba por descendencia infinita . Muestra que, a partir de cualquier ejemplo de un triángulo pitagórico con área cuadrada, se puede derivar un ejemplo más pequeño. Como los triángulos pitagóricos tienen áreas de números enteros positivos y no existe una secuencia descendente infinita de números enteros positivos, tampoco puede existir un triángulo pitagórico con área cuadrada. ^[13]

Con más detalle, supongamos que , , y son los lados enteros de un triángulo rectángulo con área cuadrada. Al dividir por cualquier factor común, se puede suponer que este triángulo es primitivo ^[10] y a partir de la forma conocida de todas las ternas pitagóricas primitivas, se puede establecer , , y , por lo que el problema se transforma en encontrar números enteros relativamente primos y (uno de los cuales es par) tales que el área es cuadrada. Para que este número sea un cuadrado, sus cuatro factores lineales , , , y (que son relativamente primos) deben ser ellos mismos cuadrados; sea y . Ambos y deben ser impares ya que exactamente uno de o es par y el otro es impar. Por lo tanto, ambos y son pares, y uno de ellos es divisible por 4. Dividirlos por dos produce dos números enteros más y , uno de los cuales es par por la oración anterior. Porque es un cuadrado, y son los catetos de otro triángulo pitagórico primitivo cuya área es . Dado que es en sí mismo un cuadrado y dado que es par, es un cuadrado. Por lo tanto, cualquier triángulo pitagórico con área cuadrada conduce a un triángulo pitagórico más pequeño con área cuadrada, completando la prueba. ^[14]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x=2pq}$${\displaystyle y=p^{2}-q^{2}}$${\displaystyle z=p^{2}+q^{2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle pq(p^{2}-q^{2})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p+q}$${\displaystyle p-q}$${\displaystyle p+q=r^{2}}$${\displaystyle p-q=s^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r-s}$${\displaystyle r+s}$${\displaystyle u=(r-s)/2}$${\displaystyle v=(r+s)/2}$${\displaystyle u^{2}+v^{2}=(r^{2}+s^{2})/2=p}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle uv/2=q/4}$${\displaystyle q}$${\displaystyle uv}$${\displaystyle q/4}$