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Articulo de referencia

Conjetura de Fermat-Catalán

En teoría de números , la conjetura de Fermat-Catalán es una generalización del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan . La conjetura afirma que la ecuación a^m +...

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En teoría de números , la conjetura de Fermat-Catalán es una generalización del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan . La conjetura afirma que la ecuación

tiene solo un número finito de soluciones ( a , b , c , m , n , k ) con tríos distintos de valores ( a m , b n , c k ) donde a , b , c son enteros coprimos positivos y m , n , k son enteros positivos que satisfacen

La desigualdad sobre m , n y k es una parte necesaria de la conjetura. Sin la desigualdad habría infinitas soluciones, por ejemplo con k = 1 (para cualesquiera a , b , m y n y con c = a m + b n ), con m = n = k = 2 (para las infinitas ternas pitagóricas ), y por ejemplo75+3933=77922{\displaystyle 7^{5}+393^{3}=7792^{2}}.

Soluciones conocidas

A partir de 2024, se conocen las siguientes diez soluciones a la ecuación (1) que cumplen los criterios de la ecuación (2): [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

1metro+23=32{\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}(parametro>6{\displaystyle m>6}para satisfacer la ecuación 2)
25+72=34{\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}
73+132=29{\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}
27+173=712{\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}
35+114=1222{\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}
338+15490342=156133{\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}
14143+22134592=657{\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}
92623+153122832=1137{\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}
177+762713=210639282{\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}
438+962223=300429072{\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}

La primera de estas (1 m + 2 3 = 3 2 ) es la única solución donde uno de a , b o c es 1, según la conjetura de Catalan , demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu . Si bien este caso conduce a infinitas soluciones de (1) (ya que se puede elegir cualquier m para m > 6), estas soluciones solo dan una única tripleta de valores ( a m , b n , c k ).

Resultados parciales

Se sabe por el teorema de Darmon-Granville, que utiliza el teorema de Faltings , que para cualquier elección fija de enteros positivos m , n y k que satisfagan (2), solo existen un número finito de ternas coprimas ( a , b , c ) que resuelven (1). [ 4 ] [ 5 ] : pág. 64 Sin embargo, la conjetura completa de Fermat-Catalán es más fuerte ya que permite que los exponentes m , n y k varíen.  

La conjetura abc implica la conjetura de Fermat-Catalán. [ 6 ]

Para ver una lista de resultados para combinaciones imposibles de exponentes, consulte Conjetura de Beal#Resultados parciales . La conjetura de Beal es verdadera si y solo si todas las soluciones de Fermat-Catalán tienen m = 2, n = 2 o k = 2.

Poonen y otros. [ 7 ] [ 8 ] lista de triples de exponentes donde se han determinado las soluciones: [ nota 1 ]  {2,3,7}, [ 8 ]  {2,3,8}, [ 9 ] [ 10 ]  {2,3,9}, [ 11 ]  {2,2 q ,3} para primo 7< q <1000 con q ≠31, [ 12 ]  {2,4,5}, [ 10 ]  {2,4,6}, [ 9 ]  (2,4,7),  (2,4, q ) para primo q ≥211, [ 13 ]  (2, n ,4), [ 14 ] [ 15 ]  {2, n , n }, [ 16 ]  {3,3,4}, [ 17 ]  {3,3,5}, [ 17 ]  {3,3, q } para 17 ≤ q ≤ 10000, [ 18 ]  {3, n , n }, [ 16 ]  {2 n ,2 n ,5}, [ 19 ]  { n , n , n }. [ 20 ] [ 21 ]  Para cada una de estas ternas de exponentes, si existe alguna solución, se enumera entre las de la sección §  Soluciones conocidas .

Sikora utilizó parcialmente los ordenadores del clúster del Centro de Investigación Computacional de la Universidad de Buffalo para probar todas las tuplas ( a , b , c , m , n , k ) tales que min( m , n , k ) ≤ 113 y a m , b n , c k < M min( m , n , k ) , donde M 2 = 2 71 , M 3 = 2 80 , M 4 = 2 100 y M 5 = ... = M 113 = 2 113. No encontró ninguna otra solución que las anteriores. [ nota 2 ] [ 1 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ La notación "{ p , q , r }" significa que las soluciones se han determinado para cada permutación de ( p , q , r ).
  2. ↑ Por ejemplo, las cinco soluciones grandes conocidas se reprodujeron todas durante la prueba para min( m , n , k ) = 2, donde a m , b n , y c k se consideraron hasta 2 71 .

Referencias

  1. 1 2 Adam S. Sikora (octubre de 2024). Conjeturas de Fermat-Catalan y Tijdeman-Zagier para productos (Informe técnico). ArXiv. arXiv : 2410.21552 .
  2. ↑ Pomerance, Carl (2008), "Teoría computacional de números", en Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, pp. 361–362 , ISBN  978-0-691-11880-2.
  3. ↑ Frits Beukers (enero de 1998). "La ecuación diofántica Ax p + By q = Cz r ". Duque Matemáticas. J. 91 (1): 61– 88. doi : 10.1215/S0012-7094-98-09105-0 .Aquí: pág. 61: "Las soluciones más grandes se encontraron mediante una búsqueda informática realizada el día de Fermat en Utrecht en noviembre de 1993... Nótese que en cada solución aparece un exponente 2."
  4. ↑ Darmon, H.; Granville, A. (1995). "Sobre las ecuaciones z m = F ( x , y ) y Ax p + By q = Cz r " . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 27 (6): 513– 43. doi : 10.1112/blms/27.6.513 .
  5. ↑ Elkies, Noam D. (2007). "Los ABC de la teoría de números" (PDF) . The Harvard College Mathematics Review . 1 (1).
  6. ↑ Waldschmidt, Michel (2015). "Conferencia sobre elabdo{\displaystyle abc}conjetura y algunas de sus consecuencias". Matemáticas en el siglo XXI (PDF) . Springer Proc. Math. Stat. Vol.  98. Basilea: Springer. págs. 211–230 . doi : 10.1007/978-3-0348-0859-0_13 . ISBN  978-3-0348-0858-3MR 3298238 .​ 
  7. ↑ Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F.; Stoll, Michael (agosto de 2005). Torsiones de X (7) y soluciones primitivas para x 2 + y 3 = z 7 (Informe). arXiv : math/0508174 .Aquí: pág. 3, tabla 1.
  8. 1 2 Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F.; Stoll, Michael (2007). "Twists of X (7) and primitive solutions to x 2 + y 3 = z 7 ". Duke Math. J . 137 : 103– 158.
  9. 1 2 Nils Bruin (1999). "Las ecuaciones diofánticas x 2 ± y 4 = ± z 6 y x 2 + y 8 = z 3 " . Compositio Mathematica . 118 : 305– 321. MR 1711307 . 
  10. 1 2 Nils Bruin (2003). "Métodos de Chabauty utilizando curvas elípticas" (PDF) . J. Reine Angew. Math . 562 : 27–49 . MR 2011330 . 
  11. ↑ Nils Bruin (2004). "Visualización de Sha [ 2 ] en superficies abelianas" (PDF) . Math. Comp. (electrónico) . 73 : 1459–1476 . MR 2047096 . 
  12. ↑ Imin Chen (2007). "Sobre la ecuación s 2 + y 2 p = α 3 ". Math. Comp . 77 (262): 1223– 1227.
  13. ↑ Jordan S. Ellenberg (2004). "Representaciones de Galois adjuntas a curvas Q y la ecuación de Fermat generalizada A 4 + B 2 = C p " (PDF) . Amer. J. Math . 126 : 763– 787. JSTOR 40067960 . MR 2075481 .  
  14. ↑ "se deduce fácilmente de" Michael A. Bennett y Chris M. Skinner (2004). "Ecuaciones diofánticas ternarias mediante representaciones de Galois y formas modulares" (PDF) . Canad. J. Math . 56 (1): 23– 54. MR 2031121 . 
  15. ↑ El caso especial (4, n ,4) fue tratado anteriormente por Henri Darmon (1993). "La ecuación x 4 - y 4 = z p " (PDF) . CR Math. Rep. Acad. Sci. Canada . 15 : 286– 290. MR 1260076 . 
  16. 1 2 Henri Darmon y Loc Merel (1997). "Cocientes de enrollamiento y algunas variantes del último teorema de Fermat" . J. Reine Angew. Math . 490 : 81–100 . MR 1468926 . 
  17. 1 2 Nils Bruin (2000). "Sobre potencias como sumas de dos cubos". En Wieb Bosma (ed.). Teoría algorítmica de números – 4.º Simposio Internacional ANTS . LNCS. Vol. 1838. Leiden: Springer. pp. 169–184 . MR 1850605 .   
  18. ↑ Alain Kraus (1998). "Sobre la ecuación a 3 + b 3 = c p " (PDF) . Experimento. Matemáticas . 7 : 1– 13. SEÑOR 1618290 . 
  19. ^ Michael A. Bennett (2006). «La ecuación x 2 n + y 2 n = z 5 » (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 18 : 315-321 .
  20. ↑ Andrew Wiles (1995). "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat". Anales de Matemáticas . 142 : 443–551 .
  21. ↑ Richard Taylor y Andrew Wiles (1995). "Propiedades de la teoría de anillos de ciertas álgebras de Hecke" (PDF) . Ann. of Math. (2) . 141 : 553–572 . MR 1333036 . 
  • Poderes perfectos: las obras de Pillai y su desarrollo . Waldschmidt, M.
  • Sloane, N.  J.  A. (ed.). "Secuencia A214618 (Potencias perfectas z^r que se pueden escribir en la forma x^p + y^q, donde x, y, z son enteros positivos coprimos y p, q, r son enteros positivos que satisfacen 1/p + 1/q + 1/r < 1)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.