Sumas de potencias

En matemáticas y estadística , las sumas de potencias aparecen en diversos contextos:

• Las sumas de cuadrados aparecen en muchos contextos. Por ejemplo, en geometría , el teorema de Pitágoras implica la suma de dos cuadrados; en teoría de números , están el teorema de los tres cuadrados de Legendre y el teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi ; y en estadística , el análisis de varianza implica la suma de los cuadrados de cantidades.
• Solo existen un número finito de enteros positivos que no son sumas de cuadrados distintos . El mayor es 128. Lo mismo ocurre con las sumas de cubos distintos (la mayor es 12.758), las cuartas potencias distintas (la mayor es 5.134.240), etc. Véase ^{[ 1 ]} para una generalización a sumas de polinomios.
• La fórmula de Faulhaber expresa${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$como un polinomio en n , o alternativamente en términos de un polinomio de Bernoulli .
• El teorema del triángulo rectángulo de Fermat establece que no hay solución en enteros positivos para${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$y${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$.
• El último teorema de Fermat establece que${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$es imposible en enteros positivos con k > 2 .
• La ecuación de una superelipse es${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$. El squircle es el caso k = 4 , a = b .
• La conjetura de Euler sobre la suma de potencias (refutada) se refiere a situaciones en las que la suma de n enteros, cada uno una k ^-ésima potencia de un entero, es igual a otra k ^-ésima potencia.
• La conjetura de Fermat-Catalán plantea si existe una infinidad de ejemplos en los que la suma de dos enteros coprimos, cada uno potencia de un entero, con potencias no necesariamente iguales, puede ser igual a otro entero que también es potencia, y la suma de los recíprocos de las tres potencias es menor que 1.
• La conjetura de Beal se refiere a la cuestión de si la suma de dos enteros coprimos, cada uno de ellos una potencia mayor que 2 de un entero, con potencias no necesariamente iguales, puede ser igual a otro entero que sea una potencia mayor que 2.
• La ecuación de Jacobi-Madden es${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$en números enteros.
• El problema de Prouhet-Tarry-Escott considera sumas de dos conjuntos de potencias k ^-ésimas de enteros que son iguales para múltiples valores de k .
• El número de un taxi es el entero más pequeño que se puede expresar como la suma de dos potencias cúbicas positivas de n maneras distintas.
• La función zeta de Riemann es la suma de los recíprocos de los enteros positivos, cada uno elevado a la potencia s , donde s es un número complejo cuya parte real es mayor que 1.
• La conjetura de Lander, Parkin y Selfridge se refiere al valor mínimo de m + n en${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• El problema de Waring pregunta si para cada número natural k existe un entero positivo asociado s tal que cada número natural es la suma de como máximo sk ^potencias de números naturales.
• Las potencias sucesivas de la proporción áurea φ obedecen la recurrencia de Fibonacci:$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$$
• Las identidades de Newton expresan la suma de las potencias k ^-ésimas de todas las raíces de un polinomio en términos de los coeficientes del polinomio.
• La suma de cubos de números en progresión aritmética a veces es otro cubo.
• La ecuación cúbica de Fermat , en la que la suma de tres cubos es igual a otro cubo, tiene una solución general.
• El polinomio simétrico de suma de potencias es un elemento básico para la construcción de polinomios simétricos.
• La suma de los recíprocos de todas las potencias perfectas, incluyendo las duplicadas (pero sin incluir el 1), es igual a 1.
• La ecuación de Erdős-Moser ,${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$donde m y k son enteros positivos, se conjetura que no tiene otras soluciones que 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ .
• La suma de tres cubos no puede ser igual a 4 o 5 módulo 9, pero se desconoce si todos los demás números enteros pueden expresarse de esta forma.
• La suma de los términos de la serie geométrica es${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}z^{i}={\frac {z^{k}-z^{n+1}}{1-z}}.}$
• La suma de potencias se puede expresar de la siguiente manera  :${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{k}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}j^{ka}(i^{a}-(i-1)^{a})}$para n mayor que 1, a mayor que 1 y todo k. Este es útil para ayudar a determinar sumas de potencias subsiguientes basándose en sumas de potencias previas conocidas.

• Suma de cuadrados
• Suma de recíprocos
• Ecuación diofántica