Coordenadas de Fermi

En la teoría matemática de la geometría riemanniana , existen dos usos del término coordenadas de Fermi . En un uso, son coordenadas locales adaptadas a una geodésica . ^{[ 1 ]} En un segundo uso, más general, son coordenadas locales adaptadas a cualquier línea de universo , incluso no geodésica. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Toma una curva temporal orientada hacia el futuro.${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau )}$, ${\displaystyle \tau }$siendo el momento adecuado a lo largo${\displaystyle \gamma }$en el espaciotiempo${\displaystyle M}$. Supongamos que${\displaystyle p=\gamma (0)}$es el punto inicial de${\displaystyle \gamma }$. Coordenadas de Fermi adaptadas a${\displaystyle \gamma }$se construyen de esta manera. Consideremos una base ortonormal de${\displaystyle TM}$con${\displaystyle e_{0}}$paralelo a${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$Transportar la base${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=0,1,2,3}}$a lo largo de${\displaystyle \gamma (\tau)}$haciendo uso del transporte de Fermi-Walker . La base${\displaystyle \{e_{a}(\tau )\}_{a=0,1,2,3}}$en cada punto${\displaystyle \gamma (\tau)}$sigue siendo ortonormal con${\displaystyle e_{0}(\tau )}$ paralelo a${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$y no está rotado (en un sentido preciso relacionado con la descomposición de las transformaciones de Lorentz en transformaciones puras y rotaciones) con respecto a la base inicial, este es el significado físico del transporte de Fermi-Walker.

Finalmente, construya un sistema de coordenadas en un tubo abierto.${\displaystyle T}$, un barrio de${\displaystyle \gamma }$, emitiendo todas las geodésicas espaciales a través de${\displaystyle \gamma (\tau)}$con vector tangente inicial${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}v^{i}e_{i}(\tau )}$, por cada${\displaystyle \tau }$Un punto${\displaystyle q\in T}$tiene coordenadas${\displaystyle \tau (q),v^{1}(q),v^{2}(q),v^{3}(q)}$dónde${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}v^{i}e_{i}(\tau (q))}$es el único vector cuyos alcances geodésicos asociados${\displaystyle q}$por el valor de su parámetro${\displaystyle s=1}$y${\displaystyle \tau (q)}$es la única vez a lo largo${\displaystyle \gamma }$para que este alcance geodésico${\displaystyle q}$existe.

Si${\displaystyle \gamma }$En sí misma es una geodésica, entonces el transporte de Fermi-Walker se convierte en el transporte paralelo estándar y las coordenadas de Fermi se convierten en coordenadas riemannianas estándar adaptadas a${\displaystyle \gamma }$En este caso, utilizando estas coordenadas en un vecindario${\displaystyle T}$de${\displaystyle \gamma }$, tenemos${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=0}$, todos los símbolos de Christoffel desaparecen exactamente en${\displaystyle \gamma }$Esta propiedad no es válida para las coordenadas de Fermi, sin embargo, cuando${\displaystyle \gamma }$no es una geodésica. Dichas coordenadas se denominan coordenadas de Fermi y reciben su nombre del físico italiano Enrico Fermi . Las propiedades anteriores solo son válidas en la geodésica. Las coordenadas de Fermi adaptadas a una geodésica nula son proporcionadas por Mattias Blau, Denis Frank y Sebastian Weiss. ^{[ 4 ]} Nótese que, si todos los símbolos de Christoffel se desvanecen cerca de${\displaystyle p}$, entonces el colector es plano cerca${\displaystyle p}$.

Al menos en el caso riemanniano, las coordenadas de Fermi pueden generalizarse a una subvariedad arbitraria . ^{[ 2 ]}

• Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano)#Coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi
• Coordenadas normales geodésicas
• Transporte de Fermi-Walker
• Símbolos de Christoffel
• Coordenadas isotérmicas