Teorema de Fernique

El teorema de Fernique es un resultado sobre medidas gaussianas en espacios de Banach . Extiende el resultado de dimensión finita que establece que una variable aleatoria gaussiana tiene colas exponenciales . El resultado fue demostrado en 1970 por Xavier Fernique .

Sea ( X ,  ||  ||) un espacio de Banach separable . Sea μ una medida gaussiana centrada en X , es decir, una medida de probabilidad definida en los conjuntos de Borel de X tal que, para cada funcional lineal acotado ℓ  : X → R , la medida de avance ℓ _∗ μ definida en los conjuntos de Borel de R por   

${\displaystyle (\ell _{\ast }\mu )(A)=\mu (\ell ^{-1}(A)),}$

es una medida gaussiana (una distribución normal ) con media cero . Entonces existe α > 0 tal que  

${\displaystyle \int _{X}\exp(\alpha \|x\|^{2})\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

Con mayor razón , μ (equivalentemente, cualquiervariable aleatoria G con valores en X cuya ley sea μ ) tiene momentos de todos los órdenes: para todo k ≥0,  

${\displaystyle \mathbb {E} [\|G\|^{k}]=\int _{X}\|x\|^{k}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

• Fernique, Xavier (1970). "Intégrabilité des vecteurs gaussiens". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie AB . 270 : A1698– A1699.MR 0266263 

• Da Prato, Giuseppe ; Zabczyk, Jerzy (1992). Ecuaciones estocásticas en dimensión infinita . Cambridge University Press . Teorema 2.7. ISBN 0-521-38529-6.