hipérbola de Feuerbach

En geometría , la hipérbola de Feuerbach es una hipérbola rectangular que pasa por centros triangulares importantes como el incentro , el ortocentro , el punto de Gergonne , el punto de Nagel , el mittenpunkt y el punto de Schiffler . El centro de la hipérbola es el punto de Feuerbach , el punto de tangencia de la circunferencia inscrita y la circunferencia de nueve puntos .

Tiene la ecuación trilineal${\displaystyle {\frac {\cos B-\cos C}{\alpha }}+{\frac {\cos C-\cos A}{\beta }}+{\frac {\cos A-\cos B}{\gamma }}=0}$(aquí${\displaystyle A,B,C}$son los ángulos en los vértices respectivos y${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$son las coordenadas trilineales). ^{[ 1 ]}

Al igual que otras hipérbolas rectangulares, el ortocentro de cualesquiera tres puntos de la curva se encuentra sobre la hipérbola. Por lo tanto, el ortocentro del triángulo${\displaystyle ABC}$se encuentra en la curva.

La línea${\displaystyle OI}$es tangente a esta hipérbola en${\displaystyle I}$.

Dado un triángulo${\displaystyle ABC}$, dejar${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}$ser los puntos de contacto del círculo interno${\displaystyle \odot I}$con los lados del triángulo opuestos a los vértices${\displaystyle A,B,C}$respectivamente. Sea${\displaystyle X,Y,Z}$ser puntos que se encuentran en las líneas${\displaystyle IA_{1},IB_{1},IC_{1}}$de tal manera que${\displaystyle IX=IY=IZ}$. Luego, las líneas${\displaystyle AX,BY,CZ}$son concurrentes en un punto situado sobre la hipérbola de Feuerbach.

El teorema de Kariya tiene una larga historia. ^{[ 3 ]} Fue demostrado independientemente por Auguste Boutin y V. Retali, ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} pero se hizo famoso solo después del artículo de Kariya . ^{[ 7 ]} Por esa época, se dieron muchas generalizaciones de este resultado. El teorema de Kariya se puede utilizar para la construcción de la hipérbola de Feuerbach.

Tanto el teorema de Lemoine como el teorema de Kariya son un caso especial del teorema de Jacobi .

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