Punto medio

En geometría , el mittenpunkt (del alemán : punto medio ) de un triángulo es su centro : un punto definido a partir del triángulo que permanece invariante bajo transformaciones euclidianas . Fue identificado en 1836 por Christian Heinrich von Nagel como el punto simediano del triángulo excentral del triángulo dado. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El mittenpunkt tiene coordenadas trilineales ^{[ 1 ]}

${\displaystyle (b+ca):(c+ab):(a+bc)}$

donde a , b y c son las longitudes de los lados del triángulo dado. Expresados ​​en términos de los ángulos A , B y C , los trilineales son ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C).}$

Las coordenadas baricéntricas son ^{[ 3 ]}

${\displaystyle a(b+ca):b(c+ab):c(a+bc)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).}$

El mittenpunkt se encuentra en la intersección de la línea que conecta el centroide y el punto de Gergonne , la línea que conecta el incentro y el punto simediano y la línea que conecta el ortocentro con el centro de Spieker , estableciendo así tres colinealidades que involucran al mittenpunkt. ^{[ 4 ]}

Las tres líneas que conectan los excentros del triángulo dado con los puntos medios de los bordes correspondientes se encuentran en el mittenpunkt; por lo tanto, es el centro de perspectiva del triángulo excentral y del triángulo mediano, siendo el eje de perspectiva correspondiente la polar trilineal del punto de Gergonne . ^{[ 5 ]} El mittenpunkt es también el centroide de la elipse de Mandart del triángulo dado, la elipse tangente al triángulo en sus puntos de contacto . ^{[ 6 ]}

El mittenpunkt también sirve como punto de Gergonne del triángulo medial .

• Weisstein, Eric W. "Mittenpunkt" . MundoMatemático .