Fibra (matemáticas)

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son el dominio y la imagen de${\displaystyle f}$, respectivamente, entonces las fibras de${\displaystyle f}$son los conjuntos en

${\displaystyle \left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}}$

que es una partición del conjunto de dominios${\displaystyle X}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle f}$debe mapear${\displaystyle X}$sobre${\displaystyle Y}$Para que el conjunto definido anteriormente sea una partición , de lo contrario contendría el conjunto vacío como uno de sus elementos. La fibra que contiene un elemento${\displaystyle x\in X}$es el conjunto${\displaystyle f^{-1}(f(x)).}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle f}$sea ​​la función de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$que envía un punto${\displaystyle (a,b)}$a${\displaystyle a+b}$. La fibra de 5 bajo${\displaystyle f}$son todos los puntos en la línea recta con ecuación${\displaystyle a+b=5}$. Las fibras de${\displaystyle f}$son esa línea y todas las líneas rectas paralelas a ella, que forman una partición del plano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

En términos más generales, si${\displaystyle f}$es una aplicación lineal de algún espacio vectorial lineal${\displaystyle X}$a algún otro espacio lineal${\displaystyle Y}$, las fibras de${\displaystyle f}$son subespacios afines de${\displaystyle X}$, que son todas las copias traducidas del espacio nulo de${\displaystyle f}$.

Si${\displaystyle f}$es una función de valores reales de varias variables reales , las fibras de la función son los conjuntos de nivel de${\displaystyle f}$. Si${\displaystyle f}$es también una función continua y${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$está en la imagen de${\displaystyle f,}$el nivel establecido${\displaystyle f^{-1}(y)}$ será típicamente una curva en 2D , una superficie en 3D y, más generalmente, una hipersuperficie en el dominio de${\displaystyle f.}$

Las fibras de ${\displaystyle f}$son las clases de equivalencia de la relación de equivalencia${\displaystyle \equiv _{f}}$definido en el dominio${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle x'\equiv _{f}x''}$si y solo si${\displaystyle f(x')=f(x'')}$.

En la topología de conjuntos de puntos , generalmente se consideran funciones de espacios topológicos a espacios topológicos.

Si${\displaystyle f}$es una función continua y si${\displaystyle Y}$(o, de forma más general, el conjunto de imágenes)${\displaystyle f(X)}$) es un espacio T ₁ entonces cada fibra es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X.}$En particular, si${\displaystyle f}$es un homeomorfismo local de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$, cada fibra de${\displaystyle f}$es un subespacio discreto de${\displaystyle X}$.

Una función entre espacios topológicos se llamamonótona si cada fibra es unsubespacioconexo de su dominio. Una función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es monótona en este sentido topológico si y solo si es no creciente o no decreciente , que es el significado habitual de " función monótona " en análisis real .

Una función entre espacios topológicos se denomina (a veces) aplicación propia si cada fibra es un subespacio compacto de su dominio. Sin embargo, muchos autores utilizan otras definiciones no equivalentes y contrapuestas de "aplicación propia", por lo que es recomendable consultar siempre la definición que utiliza cada autor. Una función continua, cerrada y sobreyectiva cuyas fibras son todas compactas se denomina aplicación perfecta .

Un haz de fibras es una función${\displaystyle f}$entre espacios topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$cuyas fibras poseen ciertas propiedades especiales relacionadas con la topología de esos espacios.

En geometría algebraica , si${\displaystyle f:X\to Y}$es un morfismo de esquemas , la fibra de un punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle Y}$es el producto de fibra de esquemas$${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$$ dónde${\displaystyle k(p)}$es el campo residual en${\displaystyle p.}$