Fibración

La noción de fibración generaliza la noción de fibrado y desempeña un papel importante en la topología algebraica , una rama de las matemáticas.

Las fibraciones se utilizan, por ejemplo, en los sistemas de Postnikov o en la teoría de la obstrucción .

En este artículo, todas las aplicaciones son aplicaciones continuas entre espacios topológicos .

Definiciones formales

Propiedad de elevación homotópica

Un mapeo $p\colon E\to B$ satisface la propiedad de elevación homotópica para un espacio $X$ si:

para cada homotopía $h\colon X\times [0,1]\to B$ y
para cada mapeo (también llamado elevación) ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E$ levantamiento $h|_{X\times 0}=h_{0}$ (es decir $h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}$ )

existe una homotopía (no necesariamente única) ${\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E$ levantamiento $h$ (es decir $h=p\circ {\tilde {h}}$ ) con ${\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.$

El siguiente diagrama conmutativo muestra la situación: ^{[ 1 ]}^{: 66}

Fibración

Una fibración (también llamada fibración de Hurewicz ) es una aplicación $p\colon E\to B$ que satisface la propiedad de elevación homotópica para todos los espacios $X.$ El espacio $B$ se llama espacio base y el espacio $E$ se denomina espacio total . La fibra sobre $b\in B$ es el subespacio $F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.$ ^{[ 1 ]}^{: 66}

Fibración de Serre

Una fibración de Serre (también llamada fibración débil ) es una aplicación $p\colon E\to B$ que satisfacen la propiedad de levantamiento de homotopía para todos los complejos CW . ^{[ 2 ]}^{: 375-376}

Toda fibración de Hurewicz es una fibración de Serre.

Cuasifibración

Un mapeo $p\colon E\to B$ se llama cuasifibración , si para cada $b\in B,$ $e\in p^{-1}(b)$ y $i\geq 0$ sostiene que el mapeo inducido $p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)$ es un isomorfismo .

Toda fibración de Serre es una cuasifibración. ^{[ 3 ]}^{: 241-242}

Ejemplos

La proyección sobre el primer factor $p\colon B\times F\to B$ es una fibración. Es decir, los haces triviales son fibraciones.
Cada revestimiento $p\colon E\to B$ es una fibración. Específicamente, para cada homotopía $h\colon X\times [0,1]\to B$ y cada levantamiento ${\tilde {h}}_{0}\colon X\to E$ Existe un ascensor definido de forma única. ${\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E$ con $p\circ {\tilde {h}}=h.$ ^{[ 4 ]}^{: 159}^{[ 5 ]}^{: 50}
Cada haz de fibras $p\colon E\to B$ Satisface la propiedad de levantamiento de homotopía para cada complejo CW. ^{[ 2 ]}^{: 379}
Un fibrado con un espacio base paracompacto y de Hausdorff satisface la propiedad de levantamiento de homotopía para todos los espacios. ^{[ 2 ]}^{: 379}
Un ejemplo de fibración que no es un fibrado viene dado por el mapeo $i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}$ inducido por la inclusión $i\colon \partial I^{k}\to I^{k}$ dónde $k\in \mathbb {N} ,$ $X$ un espacio topológico y $X^{A}=\{f\colon A\to X\}$ es el espacio de todas las aplicaciones continuas con la topología compacta-abierta . ^{[ 4 ]}^{: 198}
La fibración de Hopf $S^{1}\to S^{3}\to S^{2}$ es un haz de fibras no trivial y, específicamente, una fibración de Serre.

Conceptos básicos

equivalencia de homotopía de fibra

Un mapeo $f\colon E_{1}\to E_{2}$ entre espacios totales de dos fibraciones $p_{1}\colon E_{1}\to B$ y $p_{2}\colon E_{2}\to B$ con el mismo espacio base es un homomorfismo de fibración si el siguiente diagrama conmuta:

El mapeo $f$ es una equivalencia de homotopía de fibra si además es un homomorfismo de fibración $g\colon E_{2}\to E_{1}$ existe, de tal manera que las asignaciones $f\circ g$ y $g\circ f$ son homotópicos, por homomorfismos de fibración, a las identidades $\operatorname {Id} _{E_{2}}$ y $\operatorname {Id} _{E_{1}}.$ ^{[ 2 ]}^{: 405-406}

Fibración de retroceso

Dada una fibración $p\colon E\to B$ y un mapeo $f\colon A\to B$ , el mapeo $p_{f}\colon f^{*}(E)\to A$ es una fibración, donde $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E\ |\ f(a)=p(e)\}$ es el retroceso y las proyecciones de $f^{*}(E)$ sobre $A$ y $E$ se obtiene el siguiente diagrama conmutativo:

La fibración $p_{f}$ Se denomina fibración de retroceso o fibración inducida. ^{[ 2 ]}^{: 405-406}

fibración de espacio de trayectorias

Con la construcción de espacio de caminos, cualquier aplicación continua puede extenderse a una fibración ampliando su dominio a un espacio homotópicamente equivalente. Esta fibración se denomina fibración de espacio de caminos .

El espacio total $E_{f}$ de la fibración del espacio de caminos para un mapeo continuo $f\colon A\to B$ entre espacios topológicos consta de pares $(a,\gamma )$ con $a\in A$ y caminos $\gamma \colon I\to B$ con punto de partida $\gamma (0)=f(a),$ dónde $I=[0,1]$ es el intervalo unitario . El espacio $E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}$ lleva la topología de subespacio de $A\times B^{I},$ dónde $B^{I}$ describe el espacio de todas las aplicaciones $I\to B$ y presenta la topología compacta-abierta .

La fibración del espacio de caminos viene dada por la aplicación $p\colon E_{f}\to B$ con $p(a,\gamma )=\gamma (1).$ La fibra $F_{f}$ también se denomina fibra homotópica de $f$ y consta de los pares $(a,\gamma )$ con $a\in A$ y caminos $\gamma \colon [0,1]\to B,$ dónde $\gamma (0)=f(a)$ y $\gamma (1)=b_{0}\in B$ sostiene.

Para el caso especial de la inclusión del punto base $i\colon b_{0}\to B$ , surge un ejemplo importante de la fibración del espacio de caminos. El espacio total $E_{i}$ consta de todos los caminos en $B$ que comienza en $b_{0}.$ Este espacio se denota por $PB$ y se denomina espacio de caminos. La fibración del espacio de caminos $p\colon PB\to B$ mapea cada ruta a su punto final, de ahí la fibra $p^{-1}(b_{0})$ consta de todos los caminos cerrados. La fibra se denota por $\Omega B$ y se denomina espacio de bucle . ^{[ 2 ]}^{: 407-408}

Propiedades

Las fibras $p^{-1}(b)$ encima $b\in B$ son homotópicamente equivalentes para cada componente de trayectoria de $B.$ ^{[ 2 ]}^{: 405}
Para una homotopía $f\colon [0,1]\times A\to B$ las fibras de retroceso $f_{0}^{*}(E)\to A$ y $f_{1}^{*}(E)\to A$ son homotópicamente equivalentes en fibra. ^{[ 2 ]}^{: 406}
Si el espacio base $B$ es contraíble , entonces la fibración $p\colon E\to B$ ¿La homotopía de fibra es equivalente a la fibración de producto? $B\times F\to B.$ ^{[ 2 ]}^{: 406}
La fibración del espacio de caminos de una fibración $p\colon E\to B$ es muy similar a sí mismo. Más precisamente, la inclusión $E\hookrightarrow E_{p}$ es una equivalencia de homotopía de fibra. ^{[ 2 ]}^{: 408}
Para una fibración $p\colon E\to B$ con fibra $F$ y espacio total contraíble, existe una equivalencia homotópica débil $F\to \Omega B.$ ^{[ 2 ]}^{: 408}

Secuencia de marionetas

Para una fibración $p\colon E\to B$ con fibra $F$ y punto base $b_{0}\in B$ la inclusión $F\hookrightarrow F_{p}$ de la fibra en la fibra homotópica es una equivalencia homotópica . El mapeo $i\colon F_{p}\to E$ con $i(e,\gamma )=e$ , dónde $e\in E$ y $\gamma \colon I\to B$ es un camino desde $p(e)$ a $b_{0}$ en el espacio base, es una fibración. Específicamente, es la fibración de retroceso de la fibración del espacio de caminos. $PB\to B$ a lo largo de $p$ Este procedimiento ahora se puede aplicar nuevamente a la fibración. $i$ y así sucesivamente. Esto da lugar a una larga secuencia:

$\cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.$

La fibra de $i$ sobre un punto $e_{0}\in p^{-1}(b_{0})$ consta de los pares $(e_{0},\gamma )$ dónde $\gamma$ es un camino desde $p(e_{0})=b_{0}$ a $b_{0}$ , es decir, el espacio del bucle $\Omega B$ . La inclusión $\Omega B\hookrightarrow F_{i}$ de la fibra de $i$ en la fibra homotópica de $i$ es de nuevo una equivalencia homotópica y la iteración produce la secuencia:

$\cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.$

Debido a la dualidad de fibración y cofibración , también existe una secuencia de cofibraciones. Estas dos secuencias se conocen como secuencias de Puppe o secuencias de fibraciones y cofibraciones. ^{[ 2 ]}^{: 407-409}

Fibración principal

Una fibración $p\colon E\to B$ con fibra $F$ Se denomina principal si existe un diagrama conmutativo:

La fila inferior es una secuencia de fibraciones y las aplicaciones verticales son equivalencias de homotopía débil. Las fibraciones principales desempeñan un papel importante en las torres de Postnikov . ^{[ 2 ]}^{: 412}

Secuencia larga y exacta de grupos de homotopía

Para una fibración de Serre $p\colon E\to B$ Existe una larga secuencia exacta de grupos de homotopía . Para puntos base $b_{0}\in B$ y $x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})$ Esto viene dado por:

$\cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow$ $\cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).$

Los homomorfismos $\pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})$ y $\pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})$ son los homomorfismos inducidos de la inclusión $i\colon F\hookrightarrow E$ y la proyección $p\colon E\rightarrow B.$ ^{[ 2 ]}^{: 376}

Fibración de Hopf

Las fibraciones de Hopf son una familia de haces de fibras cuya fibra, espacio total y espacio base son esferas :

$S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},$
$S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},$
$S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},$
$S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.$

La larga secuencia exacta de grupos de homotopía de la fibración de Hopf $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}$ rendimientos:

$\cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow$ $\cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).$

Esta secuencia se divide en secuencias cortas y exactas, como la fibra $S^{1}$ en $S^{3}$ es contraíble hasta cierto punto:

$0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.$

Esta corta secuencia exacta se divide debido al homomorfismo de suspensión. $\phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})$ y existen isomorfismos :

$\pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).$

Los grupos de homotopía $\pi _{i-1}(S^{1})$ son triviales para $i\geq 3,$ por lo que existen isomorfismos entre $\pi _{i}(S^{2})$ y $\pi _{i}(S^{3})$ para $i\geq 3.$

De forma análoga, las fibras $S^{3}$ en $S^{7}$ y $S^{7}$ en $S^{15}$ son contraíbles hasta cierto punto. Además, las secuencias exactas cortas se dividen y existen familias de isomorfismos: ^{[ 6 ]}^{: 111}

$\pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})$ y $\pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).$

Secuencia espectral

Las secuencias espectrales son herramientas importantes en la topología algebraica para el cálculo de grupos de (co)homología.

La secuencia espectral de Leray-Serre conecta la (co)homología del espacio total y la fibra con la (co)homología del espacio base de una fibración. Para una fibración $p\colon E\to B$ con fibra $F,$ donde el espacio base es un complejo CW conectado por caminos y una teoría de homología aditiva. $G_{*}$ Existe una secuencia espectral: ^{[ 7 ]}^{: 242}

H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).

Las fibraciones no producen secuencias exactas largas en homología, como sí lo hacen en homotopía. Pero bajo ciertas condiciones, las fibraciones proporcionan secuencias exactas en homología. Para una fibración $p\colon E\to B$ con fibra $F,$ donde el espacio base y la fibra están conectados por camino , el grupo fundamental $\pi _{1}(B)$ actúa trivialmente en $H_{*}(F)$ y además las condiciones $H_{p}(B)=0$ para $0<p<m$ y $H_{q}(F)=0$ para $0<q<n$ Si existe una secuencia exacta (también conocida como secuencia exacta de Serre):

$H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.$ ^{[ 7 ]}^{: 250}

Esta secuencia puede utilizarse, por ejemplo, para demostrar el teorema de Hurewicz o para calcular la homología de espacios de lazos de la forma $\Omega S^{n}:$ ^{[ 8 ]}^{: 162}

$H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.$

Para el caso especial de una fibración $p\colon E\to S^{n}$ donde el espacio base es un $n$ -esfera con fibra $F,$ Existen secuencias exactas (también llamadas secuencias de Wang ) para homología y cohomología: ^{[ 1 ]}^{: 456}

$\cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots$ $\cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots$

Orientabilidad

Para una fibración $p\colon E\to B$ con fibra $F$ y un anillo conmutativo fijo $R$ con una unidad, existe un functor contravariante del grupoide fundamental de $B$ a la categoría de calificado $R$ -módulos, que se asignan a $b\in B$ el módulo $H_{*}(F_{b},R)$ y a la clase de ruta $[\omega ]$ el homomorfismo $h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),$ dónde $h[\omega ]$ es una clase de homotopía en $[F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].$

Una fibración se denomina orientable sobre $R$ si para cualquier camino cerrado $\omega$ en $B$ Se cumple lo siguiente: $h[\omega ]_{*}=1.$ ^{[ 1 ]}^{: 476}

Característica de Euler

Para una fibración orientable $p\colon E\to B$ sobre el campo $\mathbb {K}$ con fibra $F$ y el espacio base conectado por camino, la característica de Euler del espacio total viene dada por:

$\chi (E)=\chi (B)\chi (F).$

Aquí se definen las características de Euler del espacio base y de la fibra sobre el campo. $\mathbb {K}$ . ^{[ 1 ]}^{: 481}

Véase también

Referencias

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