Diseño de filtros

La respuesta en frecuencia requerida es un parámetro importante . La pendiente y la complejidad de la curva de respuesta determinan el orden y la viabilidad del filtro.

Un filtro recursivo de primer orden solo tendrá un componente dependiente de la frecuencia. Esto significa que la pendiente de la respuesta en frecuencia está limitada a 6 dB por octava . Para muchos fines, esto no es suficiente. Para lograr pendientes más pronunciadas, se requieren filtros de orden superior.

En relación con la función de frecuencia deseada, también puede existir una función de ponderación que la acompañe , la cual describe, para cada frecuencia, la importancia de que la función de frecuencia resultante se aproxime a la deseada.

Ejemplos típicos de función de frecuencia son:

• Se utiliza un filtro de paso bajo para eliminar las señales de alta frecuencia no deseadas.
• Un filtro de paso alto deja pasar bastante bien las frecuencias altas; resulta útil como filtro para eliminar cualquier componente de baja frecuencia no deseado.
• Un filtro de paso de banda deja pasar un rango limitado de frecuencias.
• Un filtro de rechazo de banda permite el paso de frecuencias por encima y por debajo de un determinado rango. Un filtro de rechazo de banda muy estrecho se conoce como filtro de muesca.
• Un filtro paso todo deja pasar todas las frecuencias con la misma ganancia. Solo se modifica el desfase, lo que también afecta al retardo de grupo.
• Un diferenciador tiene una respuesta de amplitud proporcional a la frecuencia.
• Un filtro de estantería baja deja pasar todas las frecuencias, pero aumenta o reduce las frecuencias que están por debajo de la frecuencia de estantería en una cantidad específica.
• Un filtro de estantería alta deja pasar todas las frecuencias, pero aumenta o reduce las frecuencias que están por encima de la frecuencia de estantería en una cantidad específica.
• Un filtro EQ de pico crea un pico o una caída en la respuesta de frecuencia, y se utiliza comúnmente en ecualizadores paramétricos .

• Un filtro paso todo deja pasar todas las frecuencias sin cambios, pero modifica la fase de la señal. Este tipo de filtros se puede utilizar para ecualizar el retardo de grupo de los filtros recursivos. También se emplea en efectos de fase .
• Un transformador de Hilbert es un filtro paso todo específico que deja pasar las señales sinusoidales con amplitud inalterada, pero desplaza la fase de cada señal sinusoidal en ±90°.
• Un filtro de retardo fraccional es un filtro paso todo que tiene un retardo de grupo o de fase especificado y constante para todas las frecuencias.

Existe una correspondencia directa entre la función de frecuencia del filtro y su respuesta impulsional: la primera es la transformada de Fourier de la segunda. Esto significa que cualquier requisito sobre la función de frecuencia implica un requisito sobre la respuesta impulsional, y viceversa.

Sin embargo, en ciertas aplicaciones, la respuesta impulsional del filtro puede ser explícita, y el proceso de diseño entonces busca producir una aproximación lo más cercana posible a la respuesta impulsional solicitada, teniendo en cuenta todos los demás requisitos.

En algunos casos, incluso puede ser relevante considerar una función de frecuencia y una respuesta impulsional del filtro, elegidas independientemente una de la otra. Por ejemplo, podríamos desear tanto una función de frecuencia específica del filtro como que el filtro resultante tenga el menor ancho efectivo posible en el dominio de la señal. Esta última condición se puede lograr considerando una función muy estrecha como la respuesta impulsional deseada del filtro, aunque esta función no tenga relación con la función de frecuencia deseada. El objetivo del proceso de diseño es entonces crear un filtro que intente satisfacer ambos objetivos de diseño, aparentemente contradictorios, en la medida de lo posible. Un ejemplo es el audio de alta resolución, donde la respuesta en frecuencia (magnitud y fase) para señales de estado estacionario (suma de sinusoides) es el requisito principal del filtro, mientras que una respuesta impulsional sin restricciones puede causar una degradación inesperada debido a la dispersión temporal de las señales transitorias . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Cualquier filtro que opere en tiempo real (cuya respuesta dependa únicamente de las entradas actuales y pasadas) debe ser causal . Si el proceso de diseño produce un filtro no causal, este puede convertirse en causal introduciendo un desfase temporal (o retardo) adecuado.

Los filtros que no operan en tiempo real (por ejemplo, para el procesamiento de imágenes) pueden ser no causales. Los filtros no causales pueden diseñarse para tener un retardo cero.

Un filtro estable garantiza que cada señal de entrada limitada produzca una respuesta de filtro limitada. Un filtro que no cumpla este requisito puede, en algunas situaciones, resultar inútil o incluso perjudicial. Ciertos enfoques de diseño pueden garantizar la estabilidad, por ejemplo, mediante el uso exclusivo de circuitos de alimentación directa, como un filtro FIR. Por otro lado, los filtros basados ​​en circuitos de realimentación presentan otras ventajas y, por lo tanto, pueden ser preferibles, aunque esta clase de filtros incluya filtros inestables. En este caso, los filtros deben diseñarse cuidadosamente para evitar la inestabilidad.

En ciertas aplicaciones, debemos trabajar con señales que contienen componentes que pueden describirse como fenómenos locales, por ejemplo, pulsos o escalones, con una duración determinada. Intuitivamente, al aplicar un filtro a una señal, la duración de los fenómenos locales se extiende en la medida del ancho del filtro. Esto implica que, en ocasiones, es importante mantener el ancho de la función de respuesta impulsional del filtro lo más corto posible.

Según la relación de incertidumbre de la transformada de Fourier, el producto del ancho de la función de respuesta impulsional del filtro y el ancho de su función de frecuencia debe superar una constante determinada. Esto significa que cualquier requisito sobre la localidad del filtro también implica un límite para el ancho de su función de frecuencia. Por consiguiente, puede resultar imposible cumplir simultáneamente los requisitos sobre la localidad de la función de respuesta impulsional del filtro y sobre su función de frecuencia. Este es un ejemplo típico de requisitos contradictorios.

En cualquier diseño, se busca minimizar el número de operaciones (sumas y multiplicaciones) necesarias para calcular la respuesta del filtro. En ciertas aplicaciones, este objetivo se convierte en un requisito indispensable, por ejemplo, debido a la limitación de recursos computacionales, energéticos o de tiempo. Esta última limitación es típica en aplicaciones en tiempo real.

Existen diversas maneras en que un filtro puede tener diferente complejidad computacional. Por ejemplo, el orden de un filtro es más o menos proporcional al número de operaciones. Esto significa que al elegir un filtro de orden bajo, se puede reducir el tiempo de cálculo.

Para filtros discretos, la complejidad computacional es más o menos proporcional al número de coeficientes del filtro. Si el filtro tiene muchos coeficientes, por ejemplo, en el caso de señales multidimensionales como los datos de tomografía, puede ser relevante reducir el número de coeficientes eliminando aquellos que están suficientemente cerca de cero. En filtros multivelocidad, el número de coeficientes se reduce aprovechando sus límites de ancho de banda, donde la señal de entrada se submuestrea (por ejemplo, a su frecuencia crítica) y se sobremuestrea después del filtrado.

Otro aspecto relacionado con la complejidad computacional es la separabilidad, es decir, si un filtro puede expresarse como la convolución de dos o más filtros más simples, y cómo hacerlo. Este aspecto es especialmente importante para los filtros multidimensionales, como los filtros 2D utilizados en el procesamiento de imágenes. En este caso, se puede lograr una reducción significativa de la complejidad computacional si el filtro puede separarse como la convolución de un filtro 1D en la dirección horizontal y otro en la dirección vertical. El proceso de diseño del filtro puede, por ejemplo, permitir aproximar un filtro deseado como un filtro separable o como la suma de varios filtros separables.

También debe decidirse cómo se va a implementar el filtro:

• Filtro analógico
• Filtro analógico muestreado
• Filtro digital
• Filtro mecánico

Como establece el límite de Gabor , un principio de incertidumbre, el producto del ancho de la función de frecuencia y el ancho de la respuesta impulsional no puede ser menor que una constante específica. Esto implica que si se requiere una función de frecuencia específica, correspondiente a un ancho de frecuencia determinado, se establece el ancho mínimo del filtro en el dominio de la señal. Por el contrario, si se especifica el ancho máximo de la respuesta, este determina el ancho mínimo posible en el dominio de la frecuencia. Este es un ejemplo típico de requisitos contradictorios, donde el proceso de diseño del filtro puede intentar encontrar una solución de compromiso útil.

Dejar${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$sea ​​la varianza de la señal de entrada y sea${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$sea ​​la varianza del filtro. La varianza de la respuesta del filtro,${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$, entonces viene dado por

${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$=${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$+${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$

Esto significa que${\displaystyle \sigma _{r}>\sigma _{f}}$Esto implica que la localización de diversas características, como pulsos o escalones, en la respuesta del filtro está limitada por el ancho del filtro en el dominio de la señal. Si se requiere una localización precisa, necesitamos un filtro de ancho reducido en el dominio de la señal y, según el principio de incertidumbre, su ancho en el dominio de la frecuencia no puede ser arbitrariamente pequeño.

Sea f(t) una función y sea${\displaystyle F(\omega )}$sea ​​su transformada de Fourier. Hay un teorema que establece que si la primera derivada de F que es discontinua tiene orden${\displaystyle n\geq 0}$, entonces f tiene una disminución asintótica como${\displaystyle t^{-n-1}}$.

Una consecuencia de este teorema es que la función de frecuencia de un filtro debe ser lo más suave posible para permitir que su respuesta impulsional tenga una caída rápida y, por lo tanto, un ancho reducido.

El método anterior puede extenderse para incluir un término de error adicional relacionado con la respuesta impulsional deseada del filtro en el dominio de la señal, con una función de ponderación correspondiente. La respuesta impulsional ideal puede elegirse independientemente de la función de frecuencia ideal y, en la práctica, se utiliza para limitar el ancho efectivo y eliminar los efectos de oscilación del filtro resultante en el dominio de la señal. Esto se logra eligiendo una función de respuesta impulsional del filtro ideal estrecha, por ejemplo, un impulso, y una función de ponderación que crece rápidamente con la distancia al origen, por ejemplo, el cuadrado de la distancia. El filtro óptimo aún puede calcularse resolviendo un problema simple de mínimos cuadrados, y el filtro resultante es entonces un "compromiso" que presenta un ajuste óptimo total a las funciones ideales en ambos dominios. Un parámetro importante es la fuerza relativa de las dos funciones de ponderación, que determina en qué dominio es más importante tener un buen ajuste con respecto a la función ideal.

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