Filtro integrador-peine en cascada

A la alta frecuencia de muestreo de${\displaystyle f_{s}}$La función de transferencia de un CIC en el dominio z es:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&=\left[\sum _{k=0}^{RM-1}z^{-k}\right]^{N}\\&=\left({\frac {1-z^{-RM}}{1-z^{-1}}}\right)^{N}\end{aligned}}}$

dónde:

${\displaystyle R}$es la relación de decimación o interpolación,

${\displaystyle M}$es el número de muestras por etapa (normalmente 1 pero a veces 2), y

${\displaystyle N}$es el orden: el número de pares peine-integrador.

• El numerador proviene de la multiplicación${\displaystyle N}$etapas de peine de alimentación directa negativa (cada una es simplemente una multiplicación por${\displaystyle 1-z^{-RM}}$en el dominio z).
• El denominador proviene de multiplicar${\displaystyle N}$etapas integradoras (cada una es simplemente una multiplicación por${\displaystyle {\tfrac {1}{1-z^{\text{-1}}}}}$en el dominio z).

Un filtro integrador-peine es una implementación eficiente de un filtro FIR de media móvil simple de ^primer orden , con división por${\displaystyle RM}$omitido. ^{[ nota 1 ]} Para ver esto, considere cómo se puede implementar recursivamente un filtro de media móvil simple agregando la muestra más reciente.${\displaystyle x[n]}$al resultado anterior${\displaystyle y[n-1]}$y restando la muestra más antigua${\displaystyle x[n-RM]}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=0}^{RM-1}x[nk]\\y[n]&=y[n-1]+\underbrace {x[n]-x[n-RM]} _{{\text{filtro de peine }}c[n]}.\end{aligned}}}$

La segunda igualdad corresponde a un filtro de peine (${\displaystyle c[n]=x[n]-x[n-RM]}$) que se integra (${\displaystyle y[n]=y[n-1]+c[n]}$).

Las estructuras CIC de orden superior se obtienen mediante la conexión en cascada.${\displaystyle N}$Filtros de media móvil simple idénticos, y luego reorganizando las secciones para colocar primero todos los integradores (decimador) o primero los peines (interpolador). Esta reorganización es posible porque tanto los peines como los integradores y toda la estructura son sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) .

En el CIC de interpolación, su sobremuestreador (que normalmente precede a un filtro de interpolación) se pasa a través de las secciones de peine utilizando una identidad de Noble, reduciendo el número de elementos de retardo necesarios en un factor de${\displaystyle R}$. De manera similar, en el CIC de decimación, su submuestreador (que normalmente sigue a un filtro de decimación) se mueve antes de las secciones del peine.

En el dominio z, cada integrador contribuye con un polo en CC (${\displaystyle z{=}1}$) y un cero en el origen (${\displaystyle z{=}0}$). Cada peine contribuye${\displaystyle RM}$polos en el origen y${\displaystyle RM}$ceros que están igualmente espaciados a lo largo del círculo unitario del dominio z . Los filtros CIC se implementan con aritmética de punto fijo sin ningún error de redondeo para asegurar la cancelación exacta de cada cero del peine en CC con cada polo del integrador en CC y la cancelación exacta de uno de los polos de cada peine en el origen con cada cero del integrador en el origen, dejando solo${\displaystyle RM{-}1}$polos en el origen por par integrador-peine. Así que con${\displaystyle RM{=}8}$Por ejemplo, el diagrama de polos y ceros de ^primer orden (Figura 2) solo tiene 7 polos en el origen y 7 ceros a lo largo del círculo unitario, no 8. Los filtros CIC de orden N ^tendrán N veces más polos y ceros en las mismas ubicaciones que los de primer ^orden . 

Figura  3: Respuesta en frecuencia normalizada de filtros CIC de 1.º ^, 2.º ^y 3.º ^orden (RM=8). Gráfico superior en ganancia lineal, gráfico inferior en dB .

Evaluar${\displaystyle H(z)}$en${\displaystyle z{=}e^{j\,2\pi f/R}}$proporciona su respuesta en frecuencia${\displaystyle H(f)}$: ^{[ nota 2 ]}

${\displaystyle H(f)={\biggl (}{\frac {\sin(\pi Mf)}{\sin({\tfrac {\pi f}{R}})}}{\biggr )}^{N}}$

dónde${\displaystyle f}$es frecuencia relativa a la baja tasa de muestreo${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$y tiene una frecuencia angular correspondiente${\displaystyle \omega {=}2\pi f}$Al graficar la magnitud de esta respuesta en frecuencia (Figura 3) ,  se observa que se trata de un filtro paso bajo rudimentario que se asemeja a una serie de "lóbulos" cada vez más pequeños con picos suaves separados por valles que anulan cada cero en múltiplos de${\displaystyle f{=}1/M}$. En general${\displaystyle R}$, la respuesta se aproxima ^{[ nota 3 ]} a la siguiente respuesta en frecuencia sinc en frecuencia en un rango de baja frecuencia:

${\displaystyle H(f)\approx {\biggl (}RM{\frac {\sin(\pi Mf)}{\pi Mf}}{\biggr )}^{N}{\text{ para }}0\leq f<{\frac {1}{M}}\,.}$

Normalmente, la ganancia se normaliza dividiendo por${\displaystyle (RM)^{N}}$, por lo que el pico de CC tiene ganancia unitaria. Los filtros CIC ^de orden N se denominan filtros sinc ^N y su respuesta en frecuencia corresponde a multiplicar la forma del primer ^orden por sí misma N veces, lo que resulta en una atenuación sucesivamente mayor. El pico del primer lóbulo lateral es aproximadamente -13·N dB .

Los filtros Sinc ^N se utilizan comúnmente con convertidores analógico-digitales de modulación delta-sigma justo antes del submuestreo a la velocidad de datos de salida (ODR) deseada.${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$La respuesta en frecuencia de un filtro sinc ^N se encuentra bajo una envolvente de –20·N dB por década , por lo que los órdenes superiores tienen una atenuación más pronunciada para eliminar más ruido de alta frecuencia, pero también tendrán una frecuencia de -3 dB más baja. Otra desventaja es que el tiempo de establecimiento de un filtro sinc N será N /  ODR , por ^lo que los filtros de orden superior conllevan una latencia adicional . ^{[ 6 ]}

El rango de respuestas posibles del filtro CIC está limitado por su forma. Se puede lograr una mayor atenuación en la banda de rechazo aumentando el orden, pero esto incrementa la atenuación en la banda de paso y requiere un mayor ancho de bits para las secciones del integrador y del peine. Por esta razón, muchos requisitos de filtrado prácticos no pueden satisfacerse únicamente con un filtro CIC.