Relación financiera

En matemáticas , una relación finita sobre una secuencia de conjuntos X ₁ , ..., X _n es un subconjunto del producto cartesiano X ₁ × ... × X _n ; es decir, es un conjunto de n - tuplas ( x ₁ , ..., x _n ) , cada una siendo una secuencia de elementos x _i en el X _i correspondiente . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Típicamente, la relación describe una posible conexión entre los elementos de una n- tupla. Por ejemplo, la relación " x es divisible por y y z " consiste en el conjunto de ternas tales que cuando se sustituyen por x , y y z , respectivamente, hacen que la oración sea verdadera.

El entero no negativo n que indica el número de "lugares" en la relación se denomina aridad , adicidad o grado de la relación. Una relación con n "lugares" se denomina indistintamente relación n -aria , relación n -ádica o relación de grado n . Las relaciones con un número finito de lugares se denominan relaciones finitas (o simplemente relaciones si el contexto es claro). También es posible generalizar el concepto a relaciones infinitas con secuencias infinitas . ^{[ 4 ]}

Cuando dos objetos, cualidades, clases o atributos, vistos conjuntamente por la mente, se perciben bajo alguna conexión, esa conexión se denomina relación.

Dado que la definición se basa en los conjuntos subyacentes X ₁ , ..., X _n , R puede definirse más formalmente como la ( n + 1 )-tupla ( X ₁ , ..., X _n , G ) , donde G , llamado el grafo de R , es un subconjunto del producto cartesiano X ₁ × ... × X _n .

Como suele hacerse en matemáticas, se utiliza el mismo símbolo para referirse al objeto matemático y a un conjunto subyacente, por lo que la afirmación ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ R se usa a menudo para significar ( x ₁ , ..., x _n ) ∈ G , se lee " x ₁ , ..., x _n están relacionados por R ", y se denota usando notación prefija por Rx ₁ ⋯ x _n y usando notación postfija por x ₁ ⋯ x _n R . En el caso de que R sea una relación binaria, esas afirmaciones también se denotan usando notación infija por x ₁ Rx ₂ .

Se aplican las siguientes consideraciones:

• El conjunto X _i se llama el i- ésimo dominio de R. [ ^{1 ] En} el caso de que R sea una relación binaria, X ₁ también se llama simplemente el dominio o conjunto de salida de R , y X ₂ también se llama el codominio o conjunto de destino de R.
• Cuando los elementos de X _i son relaciones, X _i se denomina dominio no simple de R . ^{[ 1 ]}
• El conjunto de ∀ x _i ∈ X _i tal que Rx ₁ ⋯ x _{i −1} x _i x _{i +1} ⋯ x _n para al menos uno ( x ₁ , ..., x _n ) se llama el i -ésimo dominio de definición o dominio activo de R . ^{[ 1 ]} En el caso de que R sea una relación binaria, su primer dominio de definición también se llama simplemente dominio de definición o dominio activo de R , y su segundo dominio de definición también se llama codominio de definición o codominio activo de R .
• Cuando el i -ésimo dominio de definición de R es igual a X _i , se dice que R es total en su i- ésimo dominio (o en X _i , cuando esto no es ambiguo). En el caso de que R sea una relación binaria, cuando R es total en X ₁ , también se dice que es total por la izquierda (o serial , en el caso especial donde X ₁ = X ₂ ), y cuando R es total en X ₂ , también se dice que es total por la derecha o sobreyectiva .
• Cuando ∀ x ∀ y ∈ X _i . ∀ z ∈ X _j . xR _ij z ∧ yR _ij z ⇒ x = y , donde i ∈ I , j ∈ J , R _ij = π _ij R , y { I , J } es una partición de {1, ..., n } , se dice que R es único en { X _i } _{i ∈ I} , y { X _i } _{i ∈ J} se llama clave primaria ^{[ 1 ]} de R . En el caso de que R sea una relación binaria, cuando R es único en { X ₁ } , también se dice que es único por la izquierda o inyectivo , y cuando R es único en { X ₂ } , también se dice que es univalente o único por la derecha .
• Cuando todos los X _i son el mismo conjunto X , es más sencillo referirse a R como una relación n -aria sobre X , llamada relación homogénea . Sin esta restricción, R se denomina relación heterogénea .
• Cuando cualquiera de X _i está vacío, el producto cartesiano definitorio está vacío, y la única relación sobre dicha secuencia de dominios es la relación vacía R = ∅ .

Sea un dominio booleano B un conjunto de dos elementos, digamos, B = {0, 1} , cuyos elementos pueden interpretarse como valores lógicos, típicamente 0 = falso y 1 = verdadero . La función característica de R , denotada por χ _R , es la función de valores booleanos χ _R : X ₁ × ... × X _n → B , definida por χ _R ( ( x ₁ , ..., x _n ) ) = 1 si Rx ₁ ⋯ x _n y χ _R ( ( x ₁ , ..., x _n ) ) = 0 en caso contrario.

En matemáticas aplicadas , informática y estadística , es común referirse a una función booleana como un predicado n -ario . Desde el punto de vista más abstracto de la lógica formal y la teoría de modelos , la relación R constituye un modelo lógico o una estructura relacional que sirve como una de las muchas interpretaciones posibles de algún símbolo de predicado n -ario.

Dado que las relaciones surgen en numerosas disciplinas científicas, así como en diversas ramas de las matemáticas y la lógica , existe una considerable variación en la terminología. Además de la extensión conjuntista de un concepto o término relacional , el término «relación» también puede utilizarse para referirse a la entidad lógica correspondiente, ya sea la comprensión lógica , que es la totalidad de intensiones o propiedades abstractas compartidas por todos los elementos de la relación, o bien los símbolos que denotan dichos elementos e intensiones. Asimismo, algunos autores de esta última corriente introducen términos con connotaciones más concretas (como «estructura relacional» para la extensión conjuntista de un concepto relacional dado).

Consideremos la relación ternaria R " x piensa que a y le gusta z " sobre el conjunto de personas P = { Alice, Bob, Charles, Denise } , definida por:

R = { (Alice, Bob, Denise), (Charles, Alice, Bob), (Charles, Charles, Alice), (Denise, Denise, Denise) } .

R puede representarse de forma equivalente mediante la siguiente tabla:

Aquí, cada fila representa una terna de R , es decir, hace una afirmación de la forma " x piensa que a y le gusta z ". Por ejemplo, la primera fila afirma que "Alice piensa que a Bob le gusta Denise". Todas las filas son distintas. El orden de las filas es irrelevante, pero el orden de las columnas sí lo es. ^{[ 1 ]}

La tabla anterior es también un ejemplo sencillo de una base de datos relacional , un campo con una teoría arraigada en el álgebra relacional y aplicaciones en la gestión de datos . ^{[ 6 ]} Sin embargo, los informáticos, lógicos y matemáticos tienden a tener concepciones diferentes de lo que es una relación general y de qué están constituidas. Por ejemplo, las bases de datos están diseñadas para manejar datos empíricos, que por definición son finitos, mientras que en matemáticas también se consideran relaciones con aridad infinita (es decir, relaciones infinitas).

El lógico Augustus De Morgan , en una obra publicada alrededor de 1860, fue el primero en articular la noción de relación en un sentido similar al actual. También enunció los primeros resultados formales en la teoría de las relaciones (sobre De Morgan y las relaciones, véase Merrill, 1990).

Charles Peirce , Gottlob Frege , Georg Cantor , Richard Dedekind y otros impulsaron la teoría de las relaciones. Muchas de sus ideas, especialmente sobre relaciones denominadas órdenes , fueron resumidas en Los principios de las matemáticas (1903), donde Bertrand Russell hizo un amplio uso de estos resultados.

En 1970, Edgar Codd propuso un modelo relacional para bases de datos , anticipando así el desarrollo de sistemas de gestión de bases de datos . ^{[ 1 ]}