cálculo exterior de elementos finitos

El cálculo exterior de elementos finitos (FEEC) es un marco matemático que formula métodos de elementos finitos utilizando complejos de cadenas . Su principal aplicación ha sido una teoría integral para métodos de elementos finitos en electromagnetismo computacional , mecánica de sólidos y fluidos computacional . FEEC fue desarrollado a principios de la década de 2000 por Douglas N. Arnold , Richard S. Falk y Ragnar Winther , ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} entre otros. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} El cálculo exterior de elementos finitos a veces se denomina como un ejemplo de una técnica de discretización compatible, y guarda similitudes con el cálculo exterior discreto , aunque son teorías distintas.

Se parte del reconocimiento de que los operadores diferenciales utilizados suelen formar parte de complejos: su aplicación sucesiva resulta en cero. A continuación, se formulan los operadores diferenciales de las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno pertinentes como un laplaciano de Hodge . Los términos del laplaciano de Hodge se descomponen mediante la descomposición de Hodge . Posteriormente, se genera una formulación variacional de punto de silla relacionada para cantidades mixtas . La discretización a un subcomplejo relacionado con la malla se realiza mediante un conjunto de operadores de proyección que conmutan con los operadores diferenciales. Finalmente, se puede demostrar la unicidad y la convergencia óptima en función de la densidad de la malla.

FEEC es de relevancia inmediata para la difusión , la elasticidad , el electromagnetismo y el flujo de Stokes .

Para el complejo de de Rham , importante en lo que respecta a los operadores gradiente, rotacional y divergente, se ha generado una familia adecuada de elementos no solo para tetraedros, sino también para otros elementos con formas como ladrillos. Además, conforme a ellos, también se han generado elementos con forma de prisma y pirámide. Para estos últimos, de manera única, las funciones de forma no son polinómicas. Las cantidades son 0-formas (escalares), 1-formas (gradientes), 2-formas (flujos) y 3-formas (densidades). ^{[ 13 ]} La difusión, el electromagnetismo y la elasticidad, ^{[ 14 ]} el flujo de Stokes, ^{[ 15 ]} la relatividad general y, de hecho, todos los complejos conocidos, ^{[ 16 ]} pueden expresarse en términos del complejo de de Rham. Para Navier-Stokes , también puede haber posibilidades. ^{[ 17 ] [ 18 ]}