Extensiones finitas de campos locales

En la teoría de números algebraicos , a través de la terminación, el estudio de la ramificación de un ideal primo a menudo se puede reducir al caso de campos locales donde se puede realizar un análisis más detallado con la ayuda de herramientas como los grupos de ramificación .

En este artículo, un campo local no es arquimediano y tiene un campo de residuos finitos .

Sea una extensión finita de Galois de cuerpos locales no arquimedianos con cuerpos de residuos finitos y grupo de Galois . Entonces los siguientes son equivalentes. ${\estilo de visualización L/K}$${\displaystyle \ell/k}$${\estilo de visualización G}$

• (i) no está ramificado .${\estilo de visualización L/K}$
• (ii) es un campo, donde es el ideal máximo de .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$
• (iii)${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv) El subgrupo de inercia de es trivial.${\estilo de visualización G}$
• (v) Si es un elemento uniformizador de , entonces es también un elemento uniformizador de .${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización L}$

Cuando no está ramificado, por (iv) (o (iii)), G puede identificarse con , que es cíclico finito . ${\estilo de visualización L/K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$

Lo anterior implica que existe una equivalencia de categorías entre las extensiones finitas no ramificadas de un campo local K y las extensiones finitas separables del campo de residuos  de K.

De nuevo, sea una extensión finita de Galois de cuerpos locales no arquimedianos con cuerpos de residuos finitos y grupo de Galois . Los siguientes son equivalentes. ${\estilo de visualización L/K}$${\estilo de visualización l/k}$${\estilo de visualización G}$

• ${\estilo de visualización L/K}$está totalmente ramificado
• ${\estilo de visualización G}$coincide con su subgrupo de inercia.
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$donde es una raíz de un polinomio de Eisenstein .${\estilo de visualización \pi}$
• La norma contiene un uniformizador de .${\displaystyle N(L/K)}$${\estilo de visualización K}$

• El lema de Abhyankar
• Morfismo no ramificado

• Cassels, JWS (1986). Campos locales. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006  .
• Weiss, Edwin (1976). Teoría algebraica de números (2.ª edición sin modificaciones). Chelsea Publishing . ISBN 0-8284-0293-0.Zbl 0348.12101  .