Álgebra de von Neumann finita

En matemáticas , un álgebra de von Neumann finita es un álgebra de von Neumann en la que cada isometría es unitaria . En otras palabras, para un operador V en un álgebra de von Neumann finita si $V^{*}V=I$ , entonces $VV^{*}=I$ En términos de la teoría de comparación de proyecciones , el operador identidad no es equivalente (Murray-von Neumann) a ninguna subproyección propia en el álgebra de von Neumann.

Propiedades

Dejar ${\mathcal {M}}$ denotamos un álgebra de von Neumann finita con centro ${\mathcal {Z}}$ Una de las propiedades fundamentales que caracterizan las álgebras de von Neumann finitas es la existencia de una traza con valores en el centro. Un álgebra de von Neumann ${\mathcal {M}}$ es finito si y solo si existe un mapa normal positivo y acotado ${\displaystyle \tau$ con las propiedades:

$\tau (AB)=\tau (BA),A,B\in {\mathcal {M}}$ ,
si $A\geq 0$ y $\tau (A)=0$ entonces $A=0$ ,
$\tau (C)=C$ para $C\in {\mathcal {Z}}$ ,
$\tau (CA)=C\tau (A)$ para $A\in {\mathcal {M}}$ y $C\in {\mathcal {Z}}$ .

Ejemplos

Álgebras de von Neumann de dimensión finita

Las álgebras de von Neumann de dimensión finita pueden caracterizarse utilizando la teoría de álgebras semisimples de Wedderburn . Sea C ⁿ^×ⁿ la matriz n × n con entradas complejas. Un álgebra de von Neumann M es una subálgebra autoadjunta en C ⁿ^×ⁿ tal que M contiene el operador identidad I en C ⁿ^×ⁿ .

Toda matriz M definida anteriormente es un álgebra semisimple , es decir, no contiene ideales nilpotentes. Supongamos que M ≠ 0 pertenece a un ideal nilpotente de M. Dado que M* ∈ M por hipótesis, tenemos que M*M , una matriz semidefinida positiva, pertenece a ese ideal nilpotente. Esto implica que ( M*M ) ^k = 0 para algún k . Por lo tanto, M*M = 0, es decir, M = 0.

El centro de un álgebra de von Neumann M se denotará por Z ( M ). Dado que M es autoadjunta, Z ( M ) es en sí misma un álgebra de von Neumann (conmutativa). Un álgebra de von Neumann N se denomina factor si Z ( N ) es unidimensional, es decir, Z ( N ) consta de múltiplos de la identidad I.

Teorema Toda álgebra de von Neumann de dimensión finita M es una suma directa de m factores, donde m es la dimensión de Z ( M ).

Demostración: Según la teoría de Wedderburn de álgebras semisimples, Z ( M ) contiene un conjunto ortogonal finito de idempotentes (proyecciones) { P _i } tales que P _i P _j = 0 para i ≠ j , Σ P _i = I , y

Z(\mathbf {M} )=\bigoplus _ {i}Z(\mathbf {M} )P_ {i}

donde cada Z ( M )P _i es un álgebra simple conmutativa. Toda álgebra simple compleja es isomorfa al álgebra matricial completa C ^{k × k} para algún k . Pero Z ( M )P _i es conmutativa, por lo tanto unidimensional.

Las proyecciones P _i "diagonalizan" M de forma natural. Para M ∈ M , M puede descomponerse de forma única en M = Σ MP _i . Por lo tanto,

{\mathbf {M} }=\bigoplus _{i}{\mathbf {M} }P_{i}.

Se puede observar que Z ( M P _i ) = Z ( M )P _i . Por lo tanto, Z ( M P _i ) es unidimensional y cada M P _i es un factor. Esto demuestra la afirmación.

Para álgebras de von Neumann generales, la suma directa se reemplaza por la integral directa . Lo anterior es un caso especial de la descomposición central de álgebras de von Neumann .

Álgebras abelianas de von Neumann

Todas las álgebras abelianas de von Neumann son isomorfas a un álgebra de multiplicación. $L^{\infty }(X)$ para alguna medida espacio $(X,\mu )$ Dado que un álgebra de von Neumann abeliana M es conmutativa, para cualquier $V\in M$ , $V^{*}V=VV^{*}$ , por lo tanto, es evidente que cualquier isometría es unitaria.

Tipo $II_{1}$ factores

Referencias

Kadison, RV; Ringrose, JR (1997). Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores , vol. II : Teoría avanzada . AMS. pág. 676. ISBN 978-0821808207.

Sinclair, AM; Smith, RR (2008). Álgebras de von Neumann finitas y masas . Cambridge University Press. pág. 410. ISBN 978-0521719193.