Propiedades de finitud de los grupos

En matemáticas , las propiedades de finitud de un grupo son un conjunto de propiedades que permiten utilizar diversas herramientas algebraicas y topológicas , como la cohomología de grupos , para estudiar dicho grupo. Resultan de especial interés para el estudio de grupos infinitos.

Casos especiales de grupos con propiedades de finitud son los grupos finitamente generados y finitamente presentados .

Dado un número entero n ≥ 1, un grupo${\displaystyle \Gamma }$Se dice que es de tipo F _n si existe un complejo CW asférico cuyo grupo fundamental es isomorfo a${\displaystyle \Gamma }$(un espacio de clasificación para${\displaystyle \Gamma }$) y cuyo n- esqueleto es finito. Se dice que un grupo es de tipo F _∞ si es de tipo F _n para todo n . Es de tipo F si existe un complejo CW asférico finito del cual es el grupo fundamental.

Para valores pequeños de n, estas condiciones tienen interpretaciones más clásicas:

• Un grupo es de tipo F ₁ si y solo si es finitamente generado (la rosa con pétalos indexada por una familia generadora finita es el 1-esqueleto de un espacio clasificador, el grafo de Cayley del grupo para esta familia generadora es el 1-esqueleto de su recubrimiento universal);

• Un grupo es de tipo F ₂ si y solo si está finitamente presentado (el complejo de presentación , es decir, la rosa con pétalos indexados por un conjunto generador finito y 2-celdas correspondientes a cada relación, es el 2-esqueleto de un espacio clasificador, cuya cubierta universal tiene como su 2-esqueleto el complejo de Cayley ).

Se sabe que para cada n ≥ 1 existen grupos de tipo F _n que no son de tipo F _{n +1} . Los grupos finitos son de tipo F _∞ pero no de tipo F . El grupo de Thompson${\displaystyle F}$es un ejemplo de un grupo sin torsión que es de tipo F _∞ pero no de tipo F . ^{[ 1 ]}

Una reformulación de la propiedad F _n es que un grupo la tiene si y solo si actúa propiamente discontinuamente, libre y cocompactamente sobre un complejo CW cuyos grupos homotópicos${\displaystyle \pi _{0},\ldots ,\pi _{n-1}}$desaparecer. Otra propiedad de finitud puede formularse reemplazando homotopía por homología: se dice que un grupo es de tipo FH _n si actúa como se indicó anteriormente en un complejo CW cuyos n primeros grupos de homología desaparecen.

Dejar${\displaystyle \Gamma }$ser un grupo y${\displaystyle \mathbb {Z} \Gamma }$su anillo de grupo . El grupo${\displaystyle \Gamma }$Se dice que es de tipo FP _n si existe una resolución de la trivial${\displaystyle \mathbb {Z} \Gamma }$- módulo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de tal manera que los n primeros términos sean proyectivos finitamente generados${\displaystyle \mathbb {Z} \Gamma }$-módulos. ^{[ 2 ]} Los tipos FP _∞ y FP se definen de la manera obvia.

La misma declaración con módulos proyectivos reemplazados por módulos libres define las clases FL _n para n ≥ 1, FL _∞ y FL .

También es posible definir clases FP _n ( R ) y FL _n ( R ) para cualquier anillo conmutativo R , reemplazando el anillo de grupo${\displaystyle \mathbb {Z} \Gamma }$por${\displaystyle R\Gamma }$en las definiciones anteriores.

Cualquiera de las condiciones F _n o FH _n implica FP _n y FL _n (sobre cualquier anillo conmutativo). Un grupo es de tipo FP ₁ si y solo si es finitamente generado, ^{[ 2 ]} pero para cualquier n ≥ 2 existen grupos que son de tipo FP _n pero no F _n . ^{[ 3 ]}

Si un grupo es de tipo F ₂ y FP _n , entonces es de tipo F _n .

Si un grupo es de tipo FP _n, entonces sus grupos de cohomología${\displaystyle H^{i}(\Gamma )}$se generan de forma finita para${\displaystyle 0\leq i\leq n}$Si es de tipo FP, entonces tiene dimensión cohomológica finita. Por lo tanto, las propiedades de finitud desempeñan un papel importante en la teoría de la cohomología de grupos.