Grupo Fischer

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Fischer son los tres grupos simples esporádicos Fi ₂₂ , Fi ₂₃ y Fi ₂₄ introducidos por Bernd Fischer ( 1971 , 1976 ) . 

Los grupos de Fischer reciben su nombre de Bernd Fischer, quien los descubrió mientras investigaba grupos de 3-transposición. Estos son grupos G con las siguientes propiedades:

• G se genera mediante una clase de conjugación de elementos de orden 2, llamados 'transposiciones de Fischer' o 3-transposiciones.
• El producto de dos transposiciones distintas cualesquiera tiene orden 2 o 3.

El ejemplo típico de un grupo de 3 transposiciones es un grupo simétrico , donde las transposiciones de Fischer son genuinamente transposiciones. El grupo simétrico S _n puede generarse mediante n − 1 transposiciones: (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .

Fischer logró clasificar grupos de 3-transposición que satisfacen ciertas condiciones técnicas adicionales. Los grupos que encontró se agruparon principalmente en varias clases infinitas (además de los grupos simétricos: ciertas clases de grupos simplécticos, unitarios y ortogonales), pero también descubrió tres grupos nuevos de gran tamaño. Estos grupos suelen denominarse Fi ₂₂ , Fi ₂₃ y Fi _24. Los dos primeros son grupos simples, y el tercero contiene el grupo simple Fi ₂₄ ′ de índice 2.

Un punto de partida para los grupos de Fischer es el grupo unitario PSU ₆ (2), que podría considerarse como un grupo Fi ₂₁ en la serie de grupos de Fischer, de orden 9,196,830,720 = 2 ¹⁵ ⋅3 ⁶ ⋅5⋅7⋅11 . En realidad, es el recubrimiento doble 2.PSU ₆ (2) el que se convierte en un subgrupo del nuevo grupo. Este es el estabilizador de un vértice en un grafo de 3510 (= 2⋅3 ³ ⋅5⋅13). Estos vértices se identifican como 3-transposiciones conjugadas en el grupo de simetría Fi ₂₂ del grafo.

Los grupos de Fischer se nombran por analogía con los grandes grupos de Mathieu . En Fi _22, un conjunto maximal de 3-transposiciones que conmutan entre sí tiene tamaño 22 y se llama conjunto básico . Hay 1024 3-transposiciones, llamadas anabásicas , que no conmutan con ninguna en el conjunto básico particular. Cualquiera de las otras 2464, llamadas hexádicas , conmuta con 6 de las básicas. Los conjuntos de 6 forman un sistema de Steiner S(3,6,22) , cuyo grupo de simetría es M _22. Un conjunto básico genera un grupo abeliano de orden 2 ¹⁰ , que se extiende en Fi ₂₂ a un subgrupo 2 ¹⁰ :M ₂₂ .

El siguiente grupo de Fischer se obtiene considerando 2.Fi ₂₂ como un estabilizador de un punto para un grafo de 31671 (= 3 ⁴ ⋅17⋅23) vértices, y tratando estos vértices como las 3-transposiciones en un grupo Fi ₂₃ . Las 3-transposiciones vienen en conjuntos básicos de 23, 7 de los cuales conmutan con una 3-transposición externa dada.

A continuación, se toma Fi ₂₃ y se trata como un estabilizador de un punto para un grafo de 306936 (= 2 ³ ⋅3 ³ ⋅7 ² ⋅29) vértices para formar un grupo Fi _24. Las 3-transposiciones vienen en conjuntos básicos de 24, ocho de las cuales conmutan con una 3-transposición externa dada. El grupo Fi ₂₄ no es simple, pero su subgrupo derivado tiene índice 2 y es un grupo simple esporádico.

No existe una notación uniformemente aceptada para estos grupos. Algunos autores usan F en lugar de Fi (F ₂₂ , por ejemplo). La notación de Fischer para ellos fue M(22), M(23) y M(24)′, que enfatizaba su estrecha relación con los tres grupos de Mathieu más grandes , M ₂₂ , M ₂₃ y M ₂₄ .

Una fuente particular de confusión es que Fi ₂₄ se usa a veces para referirse al grupo simple Fi ₂₄ ′, y a veces se usa para referirse al grupo completo de 3 transposiciones (que es el doble de grande).

En su artículo de 1979, John H. Conway y Simon P. Norton sugirieron que el fenómeno de la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que pueden encontrarse fenómenos similares en otros grupos. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir expansiones de muchos Hauptmoduln (módulos principales) a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos.

• Aschbacher, Michael (1997), 3-transposition groups , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  124, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN 978-0-521-57196-8MR 1423599 , archivado del original el 4 de marzo de 2016 , recuperado el 6 de diciembre de 2010. Contiene una demostración completa del teorema de Fischer.
• Fischer, Bernd (1971), "Grupos finitos generados por 3-transposiciones. I", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246 , doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN 0020-9910 , MR 0294487  Esta es la primera parte del preimpreso de Fischer sobre la construcción de sus grupos. El resto del artículo permanece inédito (a fecha de 2010).
• Fischer, Bernd (1976), Grupos finitos generados por 3-transposiciones , Preimpresión, Instituto de Matemáticas, Universidad de Warwick
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos simples finitos , Graduate Texts in Mathematics 251, vol.  251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 
• Wilson, RA "ATLAS de representación de grupos finitos" https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo