Grupo Fischer Fi 23

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Fischer Fi ₂₃ es un grupo simple esporádico de orden

   4.089.470.473.293.004.800

= 2 ¹⁸ · 3 ¹³ · 5 ² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23       

≈ 4 × 10¹⁸ .

Fi ₂₃ es uno de los 26 grupos esporádicos y es uno de los tres grupos de Fischer introducidos por Bernd Fischer ( 1971 , 1976 ) mientras investigaba los grupos de 3-transposición . 

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son ambos triviales .

El grupo de Fischer Fi ₂₃ tiene una acción de rango 3 sobre un grafo de 31671 vértices correspondiente a 3-transposiciones, con estabilizador de punto el recubrimiento doble del grupo de Fischer Fi22 . Tiene una segunda acción de rango 3 sobre 137632 puntos.

Fi ₂₃ es el centralizador de una transposición en el grupo de Fischer Fi24 . Al realizar Fi ₂₄ como un subgrupo del grupo Monstruo , el centralizador completo de una transposición es la doble cubierta del grupo Monstruo Bebé . Como resultado, Fi ₂₃ es un subgrupo del Monstruo Bebé y es el normalizador de un cierto grupo S _{3 en el Monstruo.}

La representación compleja fiel más pequeña tiene dimensión${\displaystyle 782}$. El grupo tiene una representación irreducible de dimensión 253 sobre el campo con 3 elementos.

Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que el fenómeno de la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que se pueden encontrar fenómenos similares para otros grupos. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para Fi ₂₃ , la serie de McKay-Thompson relevante es${\displaystyle T_{3A}(\tau )}$donde se puede establecer el término constante a(0) = 42 ( OEIS : A030197  ),

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{3A}(\tau )&=T_{3A}(\tau )+42\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+42+783q+8672q^{2}+65367q^{3}+371520q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .

Kleidman, Parker y Wilson (1989) encontraron las 14 clases de conjugación de subgrupos máximos de Fi ₂₃ de la siguiente manera:

• Aschbacher, Michael (1997), 3-transposition groups , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  124, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511759413 , ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599 , archivado del original el 04-03-2016 , recuperado el 21-06-2012 Contiene una demostración completa del teorema de Fischer.
• Fischer, Bernd (1971), "Grupos finitos generados por 3-transposiciones. I", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246 , doi : 10.1007/BF01404633 , ISSN 0020-9910 , MR 0294487  Esta es la primera parte del preimpreso de Fischer sobre la construcción de sus grupos. El resto del artículo permanece inédito (a fecha de 2010).
• Fischer, Bernd (1976), Grupos finitos generados por 3-transposiciones , Preimpresión, Instituto de Matemáticas, Universidad de Warwick
• Kleidman, Peter B.; Parker, Richard A.; Wilson, Robert A. (1989), "Los subgrupos maximales del grupo de Fischer Fi₂₃", Journal of the London Mathematical Society , Segunda Serie, 39 (1): 89– 101, doi : 10.1112/jlms/s2-39.1.89 , ISSN 0024-6107 , MR 0989922  
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos simples finitos , Graduate Texts in Mathematics 251, vol.  251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 
• Wilson, RA ATLAS de Representaciones de Grupos Finitos.

• MathWorld: Grupos de Fischer
• Atlas de representaciones de grupos finitos: Fi23