Grupo Fischer

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Fischer son los tres grupos simples esporádicos Fi ₂₂ , Fi ₂₃ y Fi ₂₄ introducidos por Bernd Fischer  (1971, 1976).

Los grupos de Fischer reciben su nombre de Bernd Fischer, quien los descubrió mientras investigaba los grupos de 3-transposición. Se trata de grupos G con las siguientes propiedades:

• G se genera mediante una clase de conjugación de elementos de orden 2, llamadas 'transposiciones de Fischer' o 3-transposiciones.
• El producto de dos transposiciones distintas tiene orden 2 o 3.

El ejemplo típico de un grupo de 3 transposiciones es un grupo simétrico , donde las transposiciones de Fischer son genuinamente transposiciones. El grupo simétrico S _n puede generarse mediante n − 1 transposiciones: (12), (23), ..., ( n − 1, n ) .

Fischer fue capaz de clasificar grupos de 3-transposición que satisfacen ciertas condiciones técnicas adicionales. Los grupos que encontró se agrupaban principalmente en varias clases infinitas (además de los grupos simétricos: ciertas clases de grupos simplécticos, unitarios y ortogonales), pero también encontró 3 grupos nuevos muy grandes. Estos grupos suelen denominarse Fi ₂₂ , Fi ₂₃ y Fi ₂₄ . Los dos primeros son grupos simples, y el tercero contiene el grupo simple Fi ₂₄ ′ de índice 2.

Un punto de partida para los grupos de Fischer es el grupo unitario PSU ₆ (2), que podría considerarse como un grupo Fi ₂₁ en la serie de grupos de Fischer, de orden 9.196.830.720 = 2 ¹⁵ ⋅3 ⁶ ⋅5⋅7⋅11 . En realidad, es la doble cubierta 2.PSU ₆ (2) la que se convierte en un subgrupo del nuevo grupo. Este es el estabilizador de un vértice en un grafo de 3510 (= 2⋅3 ³ ⋅5⋅13). Estos vértices se identifican como 3-transposiciones conjugadas en el grupo de simetría Fi ₂₂ del grafo.

Los grupos de Fischer se nombran por analogía con los grandes grupos de Mathieu . En Fi ₂₂ un conjunto maximal de 3-transposiciones que conmutan todas entre sí tiene tamaño 22 y se llama conjunto básico . Hay 1024 3-transposiciones, llamadas anabásicas , que no conmutan con ninguna en el conjunto básico particular. Cualquiera de las otras 2464, llamadas hexádicas , conmuta con 6 básicas. Los conjuntos de 6 forman un sistema de Steiner S(3,6,22) , cuyo grupo de simetría es M _22. Un conjunto básico genera un grupo abeliano de orden 2 ¹⁰ , que se extiende en Fi ₂₂ a un subgrupo 2 ¹⁰ :M ₂₂ .

El siguiente grupo de Fischer consiste en considerar a 2.Fi ₂₂ como un estabilizador de un punto para un gráfico de 31671 (= 3 ⁴ ⋅17⋅23) vértices, y tratar estos vértices como las 3-transposiciones en un grupo Fi _23. Las 3-transposiciones vienen en conjuntos básicos de 23, 7 de los cuales conmutan con una 3-transposición externa dada.

A continuación, se toma Fi ₂₃ y se lo trata como un estabilizador de un punto para un grafo de 306936 (= 2 ³ ⋅3 ³ ⋅7 ² ⋅29) vértices para formar un grupo Fi _24. Las 3-transposiciones vienen en conjuntos básicos de 24, ocho de los cuales conmutan con una 3-transposición externa dada. El grupo Fi ₂₄ no es simple, pero su subgrupo derivado tiene índice 2 y es un grupo simple esporádico.

No existe una notación uniformemente aceptada para estos grupos. Algunos autores utilizan F en lugar de Fi (F ₂₂ , por ejemplo). La notación de Fischer para ellos fue M(22), M(23) y M(24)′, lo que enfatizaba su estrecha relación con los tres grupos de Mathieu más grandes , M ₂₂ , M ₂₃ y M ₂₄ .

Una fuente particular de confusión es que Fi ₂₄ a veces se usa para referirse al grupo simple Fi ₂₄ ′, y a veces se usa para referirse al grupo de 3-transposición completo (que tiene el doble de tamaño).

John H. Conway y Simon P. Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo, sino que pueden encontrarse fenómenos similares para otros grupos. Posteriormente, Larissa Queen y otros descubrieron que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln (módulos principales) a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos.

• Aschbacher, Michael (1997), Grupos de 3-transposición, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 124, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511759413, ISBN 978-0-521-57196-8, MR  1423599, archivado desde el original el 4 de marzo de 2016 , consultado el 6 de diciembre de 2010Contiene una prueba completa del teorema de Fischer.
• Fischer, Bernd (1971), "Grupos finitos generados por 3-transposiciones. I", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, doi :10.1007/BF01404633, ISSN  0020-9910, MR  0294487Esta es la primera parte del trabajo preliminar de Fischer sobre la construcción de sus grupos. El resto del artículo no se ha publicado (hasta 2010).
• Fischer, Bernd (1976), Grupos finitos generados por 3-transposiciones, Preimpresión, Instituto de Matemáticas, Universidad de Warwick
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos finitos simples , Graduate Texts in Mathematics 251, vol. 251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Wilson, RA "ATLAS de representación de grupos finitos"
  https://web.archive.org/web/20171204142908/http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/html/contents.html#spo