Iteración de punto fijo

En análisis numérico , la iteración de punto fijo es un método para calcular los puntos fijos de una función.

Más específicamente, dada una función $f$ definido en los números reales con valores reales y dado un punto $x_{0}$ en el dominio de $f$ , la iteración de punto fijo es $x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots$ lo que da lugar a la secuencia $x_{0},x_{1},x_{2},\dots$ de aplicaciones de funciones iteradas $x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots$ que se espera que converja a un punto $x_{\text{fix}}$ . Si $f$ es continuo, entonces se puede demostrar que el obtenido $x_{\text{fix}}$ es un punto fijo de $f$ , es decir, $f(x_{\text{fix}})=x_{\text{fix}}.$

De manera más general, la función $f$ puede definirse en cualquier espacio métrico con valores en ese mismo espacio.

Ejemplos

Un primer ejemplo sencillo y útil es el método babilónico para calcular la raíz cuadrada de $a > 0$ , que consiste en tomar $f(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{x}}+x\right)$ , es decir, el valor medio de $x$ y $a / x$ , para aproximarse al límite $x={\sqrt {a}}$ (desde cualquier punto de partida) $x_{0}\gg 0$ ). Este es un caso especial del método de Newton citado a continuación.
La iteración de punto fijo $x_{n+1}=\cos x_{n}\,$ converge al único punto fijo de la función $f(x)=\cos x\,$ para cualquier punto de partida $x_{0}.$ Este ejemplo satisface (como máximo después del primer paso de iteración) los supuestos del teorema del punto fijo de Banach . Por lo tanto, el error después de n pasos satisface $|x_{n}-x|\leq {q^{n} \over 1-q}|x_{1}-x_{0}|=Cq^{n}$ (donde podemos tomar $q=0.85$ , si comenzamos desde $x_{0}=1$ .) Cuando el error es menor que un múltiplo de $q^{n}$ Para alguna constante $q$ , decimos que tenemos convergencia lineal . El teorema del punto fijo de Banach permite obtener iteraciones de punto fijo con convergencia lineal.
El requisito de que $f$ sea continua es importante, como muestra el siguiente ejemplo. La iteración $x_{n+1}={\begin{cases}{\frac {x_{n}}{2}},&x_{n}\neq 0\\1,&x_{n}=0\end{cases}}$ converge a 0 para todos los valores de $x_{0}$ Sin embargo, 0 no es un punto fijo de la función . $f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$ ya que esta función no es continua en $x=0$ y, de hecho, no tiene puntos fijos.

Puntos fijos de atracción

Un punto fijo atractor de una función $f$ es un punto fijo $x fix$ de $f$ con un entorno $U$ de puntos "suficientemente cercanos" alrededor de $x fix$ tales que para cualquier valor de $x$ en $U$ , la secuencia de iteración del punto fijo $x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\dots$ está contenido en $U$ y converge a $x fix$ . La cuenca de atracción de $x fix$ es el mayor entorno $U$ de este tipo . ^{[ 1 ]}

La función coseno natural ("natural" significa en radianes , no en grados u otras unidades) tiene exactamente un punto fijo, y ese punto fijo es atractor. En este caso, "suficientemente cerca" no es un criterio estricto en absoluto; para demostrarlo, comience con cualquier número real y presione repetidamente la tecla cos en una calculadora (verificando primero que la calculadora esté en modo "radianes"). Finalmente converge al número de Dottie (aproximadamente 0.739085133), que es un punto fijo. Ahí es donde la gráfica de la función coseno interseca la línea $y=x$ . ^{[ 2 ]}

No todos los puntos fijos son atractores. Por ejemplo, 0 es un punto fijo de la función $f (x) = 2 x$ , pero la iteración de esta función para cualquier valor distinto de cero diverge rápidamente. Decimos que el punto fijo de $f(x)=2x$ es repulsivo.

Se dice que un punto fijo atractor es un punto fijo estable si también es estable en el sentido de Lyapunov .

Se dice que un punto fijo es neutramente estable si es estable en el sentido de Lyapunov pero no atractor. El centro de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden es un ejemplo de punto fijo neutramente estable.

Se pueden reunir varios puntos de atracción en un conjunto fijo de atracción .

Teorema del punto fijo de Banach

El teorema del punto fijo de Banach proporciona una condición suficiente para la existencia de puntos fijos atractores. Una función de mapeo de contracción $f$ Definido en un espacio métrico completo, tiene precisamente un punto fijo, y la iteración del punto fijo es atraída hacia ese punto fijo para cualquier suposición inicial. $x_{0}$ en el dominio de la función. Los casos especiales comunes son que (1) $f$ está definida en la recta real con valores reales y es Lipschitz continua con constante de Lipschitz $L<1$ y (2) la función $f$ es continuamente diferenciable en un entorno abierto de un punto fijo $x fijo$ y $|f'(x_{\text{fix}})|<1$ .

Aunque existen otros teoremas de punto fijo , este en particular resulta muy útil porque no todos los puntos fijos son atractivos. Al construir una iteración de punto fijo, es fundamental asegurarse de que converja a dicho punto. Generalmente, podemos utilizar el teorema de punto fijo de Banach para demostrar que el punto fijo es atractivo.

Atractores

Los puntos fijos atractores son un caso particular del concepto matemático más amplio de atractores . Las iteraciones de punto fijo constituyen un sistema dinámico discreto de una variable. La teoría de bifurcaciones estudia los sistemas dinámicos y clasifica diversos comportamientos, como puntos fijos atractores, órbitas periódicas o atractores extraños . Un ejemplo de sistema es el mapa logístico .

Métodos iterativos

En matemáticas computacionales, un método iterativo es un procedimiento matemático que utiliza un valor inicial para generar una secuencia de soluciones aproximadas cada vez mejores para una clase de problemas, donde la n-ésima aproximación se deriva de las anteriores. Las iteraciones de punto fijo convergentes son formalizaciones matemáticamente rigurosas de los métodos iterativos.

Ejemplos de métodos iterativos

El método de Newton es un algoritmo para encontrar raíces de una función diferenciable dada . $f(x)$ ⁠ . La iteración es ${\textstyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$ Si escribimos ${\textstyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}}$ , podemos reescribir la iteración de Newton como la iteración de punto fijo. ${\textstyle x_{n+1}=g(x_{n})}$ Si esta iteración converge a un punto fijo $x_{\text{fix}}$ de $g$ , entonces ${\textstyle x_{\text{fix}}=g(x_{\text{fix}})=x_{\text{fix}}-{\frac {f(x_{\text{fix}})}{f'(x_{\text{fix}})}}}$ , entonces ${\textstyle f(x_{\text{fix}})/f'(x_{\text{fix}})=0,}$ por lo tanto $f(x_{\text{fix}})=0$ , eso es, $x_{\text{fix}}$ es una raíz de $f$ Bajo los supuestos del teorema del punto fijo de Banach , la iteración de Newton, formulada como un método de punto fijo, demuestra al menos una convergencia lineal . Un análisis más detallado muestra una convergencia cuadrática , es decir, ${\textstyle |x_{n}-x_{\text{fix}}|<Cq^{2^{n}}}$ , bajo ciertas circunstancias.
El método de Halley es similar al método de Newton cuando funciona correctamente, pero su error es $|x_{n}-x_{\text{fix}}|<Cq^{3^{n}}$ ( convergencia cúbica ). En general, es posible diseñar métodos que converjan con rapidez. $Cq^{k^{n}}$ para cualquier $k\in \mathbb {N}$ Por regla general, cuanto mayor sea $k$ , menos estable será y más costoso computacionalmente resultará. Por estas razones, los métodos de orden superior no suelen utilizarse.
Los métodos de Runge-Kutta y los solucionadores numéricos de ecuaciones diferenciales ordinarias en general pueden considerarse iteraciones de punto fijo. De hecho, la idea central al analizar la estabilidad A de los solucionadores de EDO es comenzar con el caso especial $y'=ay$ , dónde $a$ es un número complejo , y para comprobar si el solucionador de EDO converge al punto fijo $y_{\text{fix}}=0$ siempre que la parte real de $a$ es negativo. ^{[ a ]}
El teorema de Picard-Lindelöf , que demuestra que las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen solución, es esencialmente una aplicación del teorema del punto fijo de Banach a una secuencia especial de funciones que forma una iteración de punto fijo, construyendo así la solución de la ecuación. Resolver una EDO de esta manera se denomina iteración de Picard , método de Picard o proceso iterativo de Picard .
La función de iteración de Excel se puede utilizar para encontrar soluciones a la ecuación de Colebrook con una precisión de 15 cifras significativas. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
Algunos de los esquemas de "aproximación sucesiva" utilizados en la programación dinámica para resolver la ecuación funcional de Bellman se basan en iteraciones de punto fijo en el espacio de la función de retorno. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}
El modelo de telaraña de la teoría de precios corresponde a la iteración de punto fijo de la composición de la función de oferta y la función de demanda. ^{[ 7 ]}

Aceleración de la convergencia

La velocidad de convergencia de la secuencia iterativa puede incrementarse mediante un método de aceleración de la convergencia, como la aceleración de Anderson y el proceso delta-cuadrado de Aitken . La aplicación del método de Aitken a la iteración de punto fijo se conoce como método de Steffensen , y se puede demostrar que este método produce una tasa de convergencia al menos cuadrática.

Juego del caos

El término juego del caos se refiere a un método para generar el punto fijo de cualquier sistema de funciones iteradas $($ SFI). Partiendo de cualquier punto $x₀$ , las iteraciones sucesivas se forman como $xᵏ + 1 = fᵣ (xᵏ)$ , donde $fᵣ$ es un miembro del SFI dado, seleccionado aleatoriamente para cada iteración. Por lo tanto, el juego del caos es una iteración de punto fijo aleatoria. El juego del caos permite trazar la forma general de un $fractal$ $,$ $como$ el triángulo de Sierpinski, $repitiendo$ el proceso iterativo un gran número de veces. Matemáticamente, las iteraciones convergen al punto fijo del SFI. Siempre que $x₀$ pertenece al atractor del SFI, todas las iteraciones $xᵏ$ $permanecen$ dentro del atractor y, con probabilidad 1, forman un conjunto denso en este último.

Véase también

Referencias

↑ También se pueden considerar ciertas iteraciones A-estables si las iteraciones permanecen acotadas durante mucho tiempo, lo cual está fuera del alcance de este artículo.

↑ Rassias, Themistocles M.; Pardalos, Panos M. (17 de septiembre de 2014). Matemáticas sin fronteras: Estudios en matemáticas puras . Springer. ISBN 978-1-4939-1106-6.
↑ Weisstein, Eric W. "Número Dottie" . Wolfram MathWorld . Wolfram Research, Inc. Recuperado el 23 de julio de 2016 .
↑ MA Kumar (2010), Resolver ecuaciones implícitas (Colebrook) en una hoja de trabajo, Createspace, ISBN 1-4528-1619-0
↑ Brkic, Dejan (2017) Solución de la ecuación implícita de Colebrook para la fricción del flujo usando Excel, Spreadsheets in Education (eJSiE): Vol. 10: Núm. 2, Artículo 2. Disponible en: https://sie.scholasticahq.com/article/4663-solution-of-the-implicit-colebrook-equation-for-flow-friction-using-excel
↑ Bellman, R. (1957). Programación dinámica, Princeton University Press.
↑ Sniedovich, M. (2010). Programación dinámica: fundamentos y principios, Taylor & Francis .
↑ Onozaki, Tamotsu (2018). «Capítulo 2. Modelo de telaraña no lineal unidimensional». No linealidad, racionalidad limitada y heterogeneidad: algunos aspectos de las economías de mercado como sistemas complejos . Springer. ISBN 978-4-431-54971-0.

Lecturas adicionales

Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1985). «Iteración de punto fijo». Análisis numérico (Tercera ed.). PWS Publishers. ISBN 0-87150-857-5.
Hoffman, Joe D.; Frankel, Steven (2001). «Iteración de punto fijo» . Métodos numéricos para ingenieros y científicos (segunda edición). Nueva York: CRC Press. págs. 141-145 . ISBN 0-8247-0443-6.
Judd, Kenneth L. (1998). «Iteración de punto fijo» . Métodos numéricos en economía . Cambridge: MIT Press. pp. 165–167 . ISBN 0-262-10071-1.
Sternberg, Shlomo (2010). «Iteración y puntos fijos». Sistemas dinámicos (Primera ed.). Dover Publications. ISBN 978-0486477053.
Shashkin, Yuri A. (1991). "9. El método de iteración". Puntos fijos (Primera ed.). Sociedad Matemática Americana. ISBN 0-8218-9000-X.
Rosa, Alejandro (2021). "Una historia episódica del diagrama de iteración escalonada" . Antiquitates Mathematicae . 15 : 3– 90. doi : 10.14708/am.v15i1.7056 . S2CID 247259939 .

Enlaces externos

Algoritmos de punto fijo en línea
Calculadora en línea de iteración de punto fijo (Asistente matemático en la web)

[3] También se pueden considerar ciertas iteraciones A-estables si las iteraciones permanecen acotadas durante mucho tiempo, lo cual está fuera del alcance de este artículo.

[1] Rassias, Themistocles M.; Pardalos, Panos M. (17 de septiembre de 2014). Matemáticas sin fronteras: Estudios en matemáticas puras . Springer. ISBN 978-1-4939-1106-6.

[wolfram-2] Weisstein, Eric W. "Número Dottie" . Wolfram MathWorld . Wolfram Research, Inc. Recuperado el 23 de julio de 2016 .

[4] MA Kumar (2010), Resolver ecuaciones implícitas (Colebrook) en una hoja de trabajo, Createspace, ISBN 1-4528-1619-0

[5] Brkic, Dejan (2017) Solución de la ecuación implícita de Colebrook para la fricción del flujo usando Excel, Spreadsheets in Education (eJSiE): Vol. 10: Núm. 2, Artículo 2. Disponible en: https://sie.scholasticahq.com/article/4663-solution-of-the-implicit-colebrook-equation-for-flow-friction-using-excel

[6] Bellman, R. (1957). Programación dinámica, Princeton University Press.

[7] Sniedovich, M. (2010). Programación dinámica: fundamentos y principios, Taylor & Francis .

[8] Onozaki, Tamotsu (2018). «Capítulo 2. Modelo de telaraña no lineal unidimensional». No linealidad, racionalidad limitada y heterogeneidad: algunos aspectos de las economías de mercado como sistemas complejos . Springer. ISBN 978-4-431-54971-0.

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