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Órbita (dinámica)

En matemáticas , específicamente en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es un conjunto de puntos relacionados por la función de evolución del sistema. Puede entenderse...

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En matemáticas , específicamente en el estudio de sistemas dinámicos , una órbita es un conjunto de puntos relacionados por la función de evolución del sistema. Puede entenderse como el subconjunto del espacio de fases cubierto por la trayectoria del sistema dinámico bajo un conjunto particular de condiciones iniciales , a medida que el sistema evoluciona. Dado que una trayectoria en el espacio de fases está determinada de forma única para cualquier conjunto dado de coordenadas del espacio de fases, no es posible que diferentes órbitas se intersequen en dicho espacio; por lo tanto, el conjunto de todas las órbitas de un sistema dinámico constituye una partición del espacio de fases. Comprender las propiedades de las órbitas mediante métodos topológicos es uno de los objetivos de la teoría moderna de sistemas dinámicos.

Para los sistemas dinámicos de tiempo discreto , las órbitas son secuencias ; para los sistemas dinámicos reales , las órbitas son curvas ; y para los sistemas dinámicos holomorfos , las órbitas son superficies de Riemann .

Definición

Diagrama que muestra la órbita periódica de un sistema masa-resorte en movimiento armónico simple . (Aquí, los ejes de velocidad y posición se han invertido con respecto a la convención estándar para alinear ambos diagramas).

Dado un sistema dinámico ( T , M , Φ) con T un grupo , M un conjunto y Φ la función de evolución

Φ:U→METRO{\displaystyle \Phi :U\to M}dóndeU⊂T×METRO{\displaystyle U\subset T\times M}conΦ(0,incógnita)=incógnita{\displaystyle \Phi (0,x)=x}

definimos

I(incógnita):={t∈T:(t,incógnita)∈U},{\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\},}

luego el conjunto

γincógnita:={Φ(t,incógnita):t∈I(incógnita)}⊂METRO{\displaystyle \gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M}

se llama órbita a través de x . Una órbita que consta de un solo punto se llama órbita constante . Una órbita no constante se llama cerrada o periódica si existe unat≠0{\displaystyle t\neq 0}enI(incógnita){\displaystyle I(x)}de tal manera que

Φ(t,incógnita)=incógnita{\displaystyle \Phi (t,x)=x}.

Sistema dinámico real

Dado un sistema dinámico real ( R , M , Φ), I ( x ) es un intervalo abierto en los números reales , es decirI(incógnita)=(tincógnita−,tincógnita+){\displaystyle I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})}. Para cualquier x en M

γincógnita+:={Φ(t,incógnita):t∈(0,tincógnita+)}{\displaystyle \gamma _{x}^{+}:=\{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}}

se denomina semiórbita positiva a través de x y

γincógnita−:={Φ(t,incógnita):t∈(tincógnita−,0)}{\displaystyle \gamma _{x}^{-}:=\{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}}

se denomina semiórbita negativa a través de x .

Sistema dinámico de tiempo discreto

Para un sistema dinámico de tiempo discreto con una función de evolución invariante en el tiempoF{\displaystyle f}:

La órbita hacia adelante de x es el conjunto  :

γincógnita+ =dmiF {Ft(incógnita):t≥0}{\displaystyle \gamma _{x}^{+}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\geq 0\}}

Si la función es invertible, la órbita hacia atrás  de x es el conjunto :

γincógnita− =dmiF {Ft(incógnita):t≤0}{\displaystyle \gamma _{x}^{-}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{f^{t}(x):t\leq 0\}}

y la órbita de x es el conjunto  :

γincógnita =dmiF γincógnita−∪γincógnita+{\displaystyle \gamma _{x}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}}

dónde  :

  • F{\displaystyle f}es la función de evoluciónF:incógnita→incógnita{\displaystyle f:X\to X}
  • colocarincógnita{\displaystyle X}es el espacio dinámico ,
  • t{\displaystyle t}es el número de iteraciones, que es un número natural yt∈T{\displaystyle t\in T}
  • incógnita{\displaystyle x}es el estado inicial del sistema y incógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}

Sistema dinámico general

Para un sistema dinámico general, especialmente en dinámica homogénea, cuando se tiene un grupo "agradable"GRAMO{\displaystyle G}actuando sobre un espacio de probabilidadincógnita{\displaystyle X}de una manera que preserve la medida, una órbitaGRAMO.incógnita⊂incógnita{\displaystyle Gx\subset X}se denominará periódico (o equivalentemente, cerrado) si el estabilizadorStabGRAMO(incógnita){\displaystyle Stab_{G}(x)}es una celosía en el interiorGRAMO{\displaystyle G}.

Además, un término relacionado es una órbita acotada, cuando el conjuntoGRAMO.incógnita{\displaystyle Gx}es precompacto en el interiorincógnita{\displaystyle X}.

La clasificación de órbitas puede conducir a preguntas interesantes relacionadas con otras áreas matemáticas, por ejemplo la conjetura de Oppenheim (demostrada por Margulis) y la conjetura de Littlewood (demostrada parcialmente por Lindenstrauss) tratan la cuestión de si toda órbita acotada de alguna acción natural en el espacio homogéneoSL3(R)∖SL3(Z){\displaystyle SL_{3}(\mathbb {R} )\backslash SL_{3}(\mathbb {Z} )}De hecho, es periódica; esta observación se debe a Raghunathan y, en otro idioma, a Cassels y Swinnerton-Dyer. Estas cuestiones están íntimamente relacionadas con los teoremas de clasificación de medidas profundas.

Notas

A menudo, la función de evolución puede entenderse como la composición de los elementos de un grupo , en cuyo caso las órbitas teóricas de grupo de la acción del grupo son lo mismo que las órbitas dinámicas.

Ejemplos

Estabilidad de las órbitas

Una clasificación básica de las órbitas es

  • órbitas constantes o puntos fijos
  • órbitas periódicas
  • órbitas no constantes y no periódicas

Una órbita puede no cerrarse de dos maneras. Podría ser una órbita asintóticamente periódica si converge a una órbita periódica. Estas órbitas no se cierran porque nunca se repiten realmente, pero se aproximan arbitrariamente a una órbita repetitiva. Una órbita también puede ser caótica . Estas órbitas se aproximan arbitrariamente al punto inicial, pero nunca convergen a una órbita periódica. Presentan una dependencia sensible de las condiciones iniciales , lo que significa que pequeñas diferencias en el valor inicial provocarán grandes diferencias en los puntos futuros de la órbita.

Existen otras propiedades de las órbitas que permiten diferentes clasificaciones. Una órbita puede ser hiperbólica si los puntos cercanos se aproximan o se alejan de ella exponencialmente rápido.

Véase también

Referencias

  • Hale, Jack K.; Koçak, Hüseyin (1991). «Órbitas periódicas». Dinámica y bifurcaciones . Nueva York: Springer. págs. 365–388 . ISBN  0-387-97141-6.
  • Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1996). Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.
  • Perko, Lawrence (2001). «Órbitas periódicas, ciclos límite y ciclos separatriz» . Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera  ed.). Nueva York: Springer. pp. 202–211 . ISBN  0-387-95116-4.
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