Punto fijo (matemáticas)

En matemáticas , un punto fijo (a veces abreviado como fixpoint ), también conocido como punto invariante , es un valor que no cambia bajo una transformación dada . Específicamente, para funciones , un punto fijo es un elemento que se transforma a sí mismo mediante la función. Cualquier conjunto de puntos fijos de una transformación también es un conjunto invariante .

Formalmente, c es un punto fijo de una función f si c pertenece tanto al dominio como al codominio de f , y f ( c ) = c . En particular, f no puede tener ningún punto fijo si su dominio es disjunto de su codominio. Si f se define en los números reales , corresponde, gráficamente, a una curva en el plano euclidiano , y cada punto fijo c corresponde a una intersección de la curva con la recta y = x (véase la imagen).

Por ejemplo, si f se define en los números reales por ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$ entonces 2 es un punto fijo de f , porque f (2) = 2 .

No todas las funciones tienen puntos fijos: por ejemplo, f ( x ) = x + 1 no tiene puntos fijos porque x + 1 nunca es igual a x para ningún número real.

En análisis numérico , la iteración de punto fijo es un método para calcular los puntos fijos de una función. Específicamente, dada una función${\displaystyle f}$con el mismo dominio y codominio, un punto${\displaystyle x_{0}}$en el dominio de${\displaystyle f}$, la iteración de punto fijo es

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

lo que da lugar a la secuencia${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$de aplicaciones de funciones iteradas${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$que se espera que converja a un punto${\displaystyle x}$. Si${\displaystyle f}$es continuo, entonces se puede demostrar que el obtenido${\displaystyle x}$es un punto fijo de${\displaystyle f}$.

Las nociones de puntos fijos atractores, puntos fijos repulsores y puntos periódicos se definen con respecto a la iteración de puntos fijos.

Un teorema de punto fijo es un resultado que afirma que existe al menos un punto fijo, bajo alguna condición general. ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, el teorema del punto fijo de Banach (1922) proporciona un criterio general que garantiza que, si se cumple, la iteración de punto fijo siempre convergerá a un punto fijo.

El teorema del punto fijo de Brouwer (1911) establece que cualquier función continua de la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano n- dimensional a sí misma debe tener un punto fijo, pero no describe cómo encontrar dicho punto fijo.

El teorema del punto fijo de Lefschetz (y el teorema del punto fijo de Nielsen ) de la topología algebraica proporcionan una forma de contar los puntos fijos.

En álgebra , para un grupo G que actúa sobre un conjunto X con una acción de grupo${\displaystyle \cdot }$, se dice que x en X es un punto fijo de g si${\displaystyle g\cdot x=x}$.

El subgrupo de punto fijo${\displaystyle G^{f}}$de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G : $${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

De manera similar, el subanillo de punto fijo${\displaystyle R^{f}}$de un automorfismo f de un anillo R es el subanillo de los puntos fijos de f , es decir, $${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

En la teoría de Galois , el conjunto de puntos fijos de un conjunto de automorfismos de un cuerpo se denomina cuerpo fijo del conjunto de automorfismos.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que tiene la propiedad de punto fijo (PPF) si para cualquier función continua

${\displaystyle f\colon X\to X}$

existe${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=x}$.

El FPP es un invariante topológico , es decir, se conserva bajo cualquier homeomorfismo . El FPP también se conserva bajo cualquier retracción .

Según el teorema del punto fijo de Brouwer , todo subconjunto compacto y convexo de un espacio euclidiano posee el punto fijo. La compacidad por sí sola no implica el punto fijo, y la convexidad ni siquiera es una propiedad topológica, por lo que resulta pertinente preguntarse cómo caracterizar topológicamente el punto fijo. En 1932, Borsuk se preguntó si la compacidad, junto con la contractibilidad, podría ser una condición necesaria y suficiente para que se cumpliera el punto fijo. El problema permaneció abierto durante 20 años hasta que Kinoshita refutó la conjetura, al encontrar un ejemplo de un espacio compacto y contraíble sin el punto fijo. ^{[ 2 ]}

En teoría de dominios , la noción y terminología de puntos fijos se generaliza a un orden parcial . Sea ≤ un orden parcial sobre un conjunto X y sea f : X → X una función sobre X. Entonces, un punto prefijo (también escrito punto prefijo , a veces abreviado como prefixpoint o pre-fixpoint ) de f es cualquier p tal que f ( p ) ≤ p . Análogamente, un punto postfijo de f es cualquier p tal que p ≤ f ( p ). ^{[ 3 ]} Ocasionalmente aparece el uso opuesto. ^{[ 4 ]} Malkis justifica la definición presentada aquí de la siguiente manera: "dado que f está antes del signo de desigualdad en el término f ( x ) ≤ x , dicho x se llama punto prefijo ". ^{[ 5 ]} Un punto fijo es un punto que es a la vez un punto prefijo y un punto postfijo. Los puntos prefijos y postfijos tienen aplicaciones en la informática teórica . ^{[ 6 ]}

En lógica combinatoria para ciencias de la computación , un combinador de punto fijo es una función de orden superior.${\displaystyle {\mathsf {fix}}}$que devuelve un punto fijo de su función argumento, si existe. Formalmente, si la función f tiene uno o más puntos fijos, entonces

${\displaystyle \operatorname {\mathsf {fix}} f=f(\operatorname {\mathsf {fix}} f).}$

En lógica matemática , las lógicas de punto fijo son extensiones de la lógica de predicados clásica que se han introducido para expresar la recursión. Su desarrollo ha sido motivado por la teoría de la complejidad descriptiva y su relación con los lenguajes de consulta de bases de datos , en particular con Datalog .

En muchos campos, el equilibrio o la estabilidad son conceptos fundamentales que pueden describirse en términos de puntos fijos. A continuación se presentan algunos ejemplos.

• En geometría proyectiva , un punto fijo de una proyectividad se ha denominado punto doble . ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• En economía , un equilibrio de Nash de un juego es un punto fijo de la correspondencia de mejor respuesta del juego . John Nash aprovechó el teorema del punto fijo de Kakutani para su influyente artículo que le valió el Premio Nobel de Economía.
• En física , más precisamente en la teoría de las transiciones de fase , la linealización cerca de un punto fijo inestable ha llevado al trabajo de Wilson , ganador del Premio Nobel, que inventó el grupo de renormalización , y a la explicación matemática del término " fenómeno crítico ". ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• Los compiladores de lenguajes de programación utilizan cálculos de punto fijo para el análisis de programas, por ejemplo, en el análisis de flujo de datos , que a menudo es necesario para la optimización del código . También son el concepto central utilizado por el método genérico de análisis de programas de interpretación abstracta . ^{[ 12 ]}
• En teoría de tipos , el combinador de punto fijo permite definir funciones recursivas en el cálculo lambda sin tipos .
• El vector de valores PageRank de todas las páginas web es el punto fijo de una transformación lineal derivada de la estructura de enlaces de la World Wide Web .
• La distribución estacionaria de una cadena de Markov es el punto fijo de la función de probabilidad de transición de un paso.
• Los puntos fijos se utilizan para encontrar fórmulas para funciones iteradas .

• Yutaka Nishiyama (2012). "Una solución elegante para dibujar un punto fijo" (PDF) . Revista Internacional de Matemáticas Puras y Aplicadas . 78 (3): 363– 377.