Solución Flamant

En mecánica de medios continuos , la solución de Flamant proporciona expresiones para las tensiones y los desplazamientos en una cuña elástica lineal cargada por fuerzas puntuales en su extremo afilado. Esta solución fue desarrollada por Alfred-Aimé Flamant en 1892 ^{[ 1 ]} modificando las soluciones tridimensionales para elasticidad lineal de Joseph Valentin Boussinesq .

Las tensiones predichas por la solución de Flamant son (en coordenadas polares ) ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&={\frac {2C_{1}\cos \theta }{r}}+{\frac {2C_{3}\sin \theta }{r}}\\\sigma _{r\theta }&=0\\\sigma _{\theta \theta }&=0\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle C_{1},C_{3}}$son constantes que se determinan a partir de las condiciones de contorno y la geometría de la cuña (es decir, los ángulos${\displaystyle \alpha,\beta}$) y satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )\,\cos \theta \,d\theta =0\\F_{2}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )\,\sin \theta \,d\theta =0\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle F_{1},F_{2}}$son las fuerzas aplicadas.

El problema de la cuña es autosimilar y no tiene una escala de longitud inherente . Además, todas las cantidades pueden expresarse en forma de variables separadas.${\displaystyle \sigma =f(r)g(\theta )}$Las tensiones varían como${\displaystyle (1/r)}$.

Para el caso especial donde${\displaystyle \alpha =-\pi }$,${\displaystyle \beta =0}$, la cuña se convierte en un semiplano con una fuerza normal y una fuerza tangencial. En ese caso

${\displaystyle C_{1}=-{\frac {F_{1}}{\pi }},\quad C_{3}=-{\frac {F_{2}}{\pi }}}$

Por lo tanto, las tensiones son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=-{\frac {2}{\pi \,r}}(F_{1}\cos \theta +F_{2}\sin \theta )\\\sigma _{r\theta }&=0\\\sigma _{\theta \theta }&=0\end{aligned}}}$

y los desplazamientos son (usando la solución de Michell )

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=-{\cfrac {1}{4\pi \mu }}\left[F_{1}\{(\kappa -1)\theta \sin \theta -\cos \theta +(\kappa +1)\ln r\cos \theta \}+\right.\\&\qquad \qquad \left.F_{2}\{(\kappa -1)\theta \cos \theta +\sin \theta -(\kappa +1)\ln r\sin \theta \}\right]\\u_{\theta }&=-{\cfrac {1}{4\pi \mu }}\left[F_{1}\{(\kappa -1)\theta \cos \theta -\sin \theta -(\kappa +1)\ln r\sin \theta \}-\right.\\&\qquad \qquad \left.F_{2}\{(\kappa -1)\theta \sin \theta +\cos \theta +(\kappa +1)\ln r\cos \theta \}\right]\end{aligned}}}$

El${\displaystyle \ln r}$La dependencia de los desplazamientos implica que el desplazamiento aumenta a medida que uno se aleja del punto de aplicación de la fuerza (y es ilimitado en el infinito). Esta característica de la solución de Flamant es confusa y parece no tener sentido físico. ^{[ 3 ]}

Si suponemos que las tensiones varían como${\displaystyle (1/r)}$, podemos elegir términos que contengan${\displaystyle 1/r}$en las tensiones de la solución de Michell . Entonces, la función de tensión de Airy se puede expresar como

${\displaystyle \varphi =C_{1}r\theta \sin \theta +C_{2}r\ln r\cos \theta +C_{3}r\theta \cos \theta +C_{4}r\ln r\sin \theta }$

Por lo tanto, a partir de las tablas de la solución de Michell , tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}&=C_{1}\left({\frac {2\cos \theta }{r}}\right)+C_{2}\left({\frac {\cos \theta }{r}}\right)+C_{3}\left({\frac {2\sin \theta }{r}}\right)+C_{4}\left({\frac {\sin \theta }{r}}\right)\\\sigma _{r\theta }&=C_{2}\left({\frac {\sin \theta }{r}}\right)+C_{4}\left({\frac {-\cos \theta }{r}}\right)\\\sigma _{\theta \theta }&=C_{2}\left({\frac {\cos \theta }{r}}\right)+C_{4}\left({\frac {\sin \theta }{r}}\right)\end{aligned}}}$

Las constantes${\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}}$En principio, puede determinarse a partir de la geometría de la cuña y las condiciones de contorno aplicadas .

Sin embargo, las cargas concentradas en el vértice son difíciles de expresar en términos de condiciones de contorno de tracción porque

1. La normal exterior unitaria en el vértice no está definida.
2. Las fuerzas se aplican en un punto (que tiene área cero) y, por lo tanto, la tracción en ese punto es infinita.

Para sortear este problema, consideramos una región acotada de la cuña y el equilibrio de la cuña acotada. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Sea la cuña acotada dos superficies libres de tracción y una tercera superficie en forma de arco de círculo con radio${\displaystyle a\,}$. A lo largo del arco del círculo, la normal exterior unitaria es${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {e} _{r}}$donde los vectores base son${\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })}$. Las tracciones en el arco son

${\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} \quad \implies t_{r}=\sigma _{rr},~t_{\theta }=\sigma _{r\theta }~.}$

A continuación, examinamos el equilibrio de fuerzas y momentos en la cuña delimitada y obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum f_{1}&=F_{1}+\int _{\alpha }^{\beta }\left[\sigma _{rr}(a,\theta )~\cos \theta -\sigma _{r\theta }(a,\theta )~\sin \theta \right]~a~d\theta =0\\\sum f_{2}&=F_{2}+\int _{\alpha }^{\beta }\left[\sigma _{rr}(a,\theta )~\sin \theta +\sigma _{r\theta }(a,\theta )~\cos \theta \right]~a~d\theta =0\\\sum m_{3}&=\int _{\alpha }^{\beta }\left[a~\sigma _{r\theta }(a,\theta )\right]~a~d\theta =0\end{aligned}}}$

Requerimos que estas ecuaciones se satisfagan para todos los valores de${\displaystyle a\,}$y, por lo tanto, satisfacer las condiciones de contorno .

Las condiciones de contorno sin tracción en los bordes${\displaystyle \theta =\alpha }$y${\displaystyle \theta =\beta }$también implican que

${\displaystyle \sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta \theta }=0\qquad {\text{at}}~~\theta =\alpha ,\theta =\beta }$

excepto en el punto${\displaystyle r=0}$.

Si asumimos que${\displaystyle \sigma _{r\theta }=0}$En todas partes, entonces se satisfacen las condiciones de tracción libre y la ecuación de equilibrio de momentos y nos quedamos con

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+\int _{\alpha }^{\beta }\sigma _{rr}(a,\theta )~a~\cos \theta ~d\theta =0\\F_{2}&+\int _{\alpha }^{\beta }\sigma _{rr}(a,\theta )~a~\sin \theta ~d\theta =0\end{aligned}}}$

y${\displaystyle \sigma _{\theta \theta }=0}$a lo largo de${\displaystyle \theta =\alpha ,\theta =\beta }$excepto en el punto${\displaystyle r=0}$Pero el campo${\displaystyle \sigma _{\theta \theta }=0}$En todas partes también satisface las ecuaciones de equilibrio de fuerzas. Por lo tanto, esta debe ser la solución. Además, la suposición${\displaystyle \sigma _{r\theta }=0}$implica que${\displaystyle C_{2}=C_{4}=0}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {2C_{1}\cos \theta }{r}}+{\frac {2C_{3}\sin \theta }{r}}~;~~\sigma _{r\theta }=0~;~~\sigma _{\theta \theta }=0}$

Para encontrar una solución particular para${\displaystyle \sigma _{rr}}$tenemos que sustituir la expresión para${\displaystyle \sigma _{rr}}$en las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para obtener un sistema de dos ecuaciones que deben resolverse para${\displaystyle C_{1},C_{3}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )~\cos \theta ~d\theta =0\\F_{2}&+2\int _{\alpha }^{\beta }(C_{1}\cos \theta +C_{3}\sin \theta )~\sin \theta ~d\theta =0\end{aligned}}}$