colector plano

Si${\displaystyle (M,g)}$es una variedad riemanniana plana, completa, conexa y bidimensional suave, entonces${\displaystyle M}$debe ser difeomorfo a uno de

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(el plano infinito)
• ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$(el cilindro infinito)
• ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$(el toroide )
• la cinta de Möbius
• la botella de Klein .

Las únicas posibilidades compactas son${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$y la botella de Klein, mientras que las únicas posibilidades orientables son${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$y${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Se requiere más esfuerzo para describir las distintas métricas riemannianas planas completas en estos espacios. Por ejemplo, los dos factores de${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$Pueden tener como radios cualesquiera dos números reales. Estas métricas se distinguen entre sí por la razón de sus dos radios, por lo que este espacio posee infinitas métricas de producto plano diferentes que no son isométricas salvo por un factor de escala. Para hablar uniformemente sobre las cinco posibilidades, y en particular para trabajar concretamente con la cinta de Möbius y la botella de Klein como variedades abstractas, resulta útil utilizar el lenguaje de las acciones de grupo.

Dado${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$dejar${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$denota la traducción${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$dado por${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$Dejar${\displaystyle R}$denota la reflexión${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$dado por${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$Dados dos números positivos${\displaystyle a,b,}$Consideremos los siguientes subgrupos de${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$el grupo de isometrías de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con su métrica estándar.

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$proporcionó${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

Todos estos son grupos que actúan de forma libre y adecuada de manera discontinua.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$y así los diversos espacios de clases${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$Todas ellas poseen naturalmente la estructura de variedades riemannianas planas completas bidimensionales. Ninguna es isométrica entre sí, y cualquier variedad riemanniana bidimensional conexa, plana completa y lisa es isométrica a una de ellas.

Hay 17 orbifolds compactos bidimensionales con métrica plana (incluidos el toro y la botella de Klein), enumerados en el artículo sobre orbifolds , que corresponden a los 17 grupos de papel tapiz .

Nótese que la "imagen" estándar del toro como una rosquilla no lo presenta con una métrica plana, ya que los puntos más alejados del centro tienen curvatura positiva, mientras que los puntos más cercanos al centro tienen curvatura negativa. Según la formulación de Kuiper del teorema de incrustación de Nash , existe una${\displaystyle C^{1}}$incrustación${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$lo que induce cualquiera de las métricas de producto plano que existen en${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$pero estos no son fácilmente visualizables. Dado que${\displaystyle S^{1}}$se presenta como una subvariedad incrustada de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$cualquiera de las estructuras de producto (planas) en${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$se presentan naturalmente como subvariedades de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$Asimismo, las visualizaciones tridimensionales estándar de la botella de Klein no presentan una métrica plana. La construcción estándar de una cinta de Möbius, mediante el pegado de los extremos de una tira de papel, sí proporciona una métrica plana, pero no es completa.

Las 10 variedades planas orientables de dimensión 3 son: ^{[ 3 ]}

1. espacio euclidiano tridimensional ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
2. El toroide de 3 lados${\displaystyle T^{3}}$, hecho pegando las caras opuestas de un cubo .
3. El colector se forma pegando caras opuestas de un cubo con una torsión de 1/2 en uno de los pares.
4. El colector se obtiene pegando las caras opuestas de un cubo con una torsión de 1/4 en uno de los pares.
5. La variedad se obtiene pegando las caras opuestas de un prisma hexagonal con una torsión de 1/3 en las caras hexagonales.
6. La variedad se obtiene pegando las caras opuestas de un prisma hexagonal con una torsión de 1/6 en las caras hexagonales.
7. La variedad de Hantzsche-Wendt .
8. El colector${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$formado por el espacio entre dos planos paralelos que están pegados entre sí.
9. El colector${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$hecha pegando las paredes opuestas de una columna cuadrada infinita.
10. El colector se forma pegando las paredes opuestas de una columna cuadrada infinita con una torsión de 1/2 en uno de los pares.

Las 8 3-variedades no orientables son: ^{[ 4 ]}

1. El producto cartesiano de un círculo y una botella de Klein,${\displaystyle S^{1}\times K}$.
2. Una variedad similar a la mencionada anteriormente, pero desplazada traslacionalmente en una dirección paralela al plano de deslizamiento ; al moverse en esta dirección, se regresa al lado opuesto de la variedad.
3. La variedad formada al reflejar un punto a través de dos planos de deslizamiento perpendiculares y trasladarlo a lo largo de la tercera dirección.
4. Una variedad similar a la mencionada anteriormente, pero desplazada traslacionalmente en una dirección paralela a un plano de deslizamiento; al moverse en esta dirección, se regresa al lado opuesto de la variedad.
5. El producto cartesiano de un círculo y una cinta de Möbius (ilimitada).
6. El colector${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$se obtiene trasladando un punto a lo largo de un eje y reflejándolo a través de un plano de deslizamiento perpendicular.
7. La variedad que se obtiene al trasladar un punto a lo largo de un eje y reflejarlo a través de un plano de deslizamiento paralelo.
8. La variedad formada al reflejar un punto a través de dos planos de deslizamiento perpendiculares.