Topología plana

En matemáticas , la topología plana es una topología de Grothendieck utilizada en geometría algebraica . Se utiliza para definir la teoría de la cohomología plana ; también desempeña un papel fundamental en la teoría del descenso (descenso fielmente plano). ^{[ 1 ]} El término «plana» aquí proviene de módulos planos .

Hay varias topologías planas ligeramente diferentes, las más comunes de las cuales son la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de recubrimiento si es fielmente plano y de presentación finita. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de recubrimiento si es fielmente plano y un morfismo cuasi-compacto . En ambas categorías, una familia de recubrimiento se define como una familia que es un recubrimiento en subconjuntos abiertos de Zariski. ^{[ 2 ]} En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi-compacto es un recubrimiento. ^{[ 3 ]} Estas topologías están estrechamente relacionadas con el descenso . La topología "pura" fielmente plana sin ninguna condición de finitud adicional como la cuasi compacidad o la presentación finita no se usa mucho porque no es subcanónica; en otras palabras, los functores representables no tienen por qué ser haces.

Lamentablemente, la terminología para las topologías planas no está estandarizada. Algunos autores usan el término "topología" para referirse a una pretopología, y existen varias pretopologías ligeramente diferentes, a veces llamadas fppf o fpqc (pre)topología, que en ocasiones dan como resultado la misma topología.

La cohomología plana fue introducida por Grothendieck alrededor de 1960. ^{[ 4 ]}

Sea X un esquema afín . Definimos una cubierta fppf de X como una familia finita y conjuntamente sobreyectiva de morfismos.

( φ _a  : X _a → X )

donde cada X _es afín y cada φ _es plano , finitamente presentado . Esto genera una pretopología : para X arbitrario, definimos una cubierta fppf de X como una familia

( φ _a  : X _a → X )

which is an fppf cover after base changing to an open affine subscheme of X. This pretopology generates a topology called the fppf topology. (This is not the same as the topology we would get if we started with arbitrary X and X_a and took covering families to be jointly surjective families of flat, finitely presented morphisms.) We write Fppf for the category of schemes with the fppf topology.

The small fppf site of X is the category O(X_fppf) whose objects are schemes U with a fixed morphism U → X which is part of some covering family. (This does not imply that the morphism is flat, finitely presented.) The morphisms are morphisms of schemes compatible with the fixed maps to X. The large fppf site of X is the category Fppf/X, that is, the category of schemes with a fixed map to X, considered with the fppf topology.

"Fppf" is an abbreviation for "fidèlement plate de présentation finie", that is, "faithfully flat and of finite presentation". Every surjective family of flat and finitely presented morphisms is a covering family for this topology, hence the name. The definition of the fppf pretopology can also be given with an extra quasi-finiteness condition; it follows from Corollary 17.16.2 in EGA IV₄ that this gives the same topology.

Let X be an affine scheme. We define an fpqc cover of X to be a finite and jointly surjective family of morphisms {u_α : X_α → X} with each X_α affine and each u_αflat and quasicompact. This generates a pretopology: For X arbitrary, we define an fpqc cover of X to be a family {u_α : X_α → X} which is an fpqc cover after base changing to an open affine subscheme of X. This pretopology generates a topology called the fpqc topology. (This is not the same as the topology we would get if we started with arbitrary X and X_α and took covering families to be jointly surjective families of flat morphisms.) We write Fpqc for the category of schemes with the fpqc topology.

El sitio fpqc pequeño de X es la categoría O ( X _fpqc ) cuyos objetos son esquemas U con un morfismo fijo U → X que forma parte de alguna familia de recubrimiento. Los morfismos son morfismos de esquemas compatibles con los mapas fijos a X. El sitio fpqc grande de X es la categoría Fpqc/X , es decir, la categoría de esquemas con un mapa fijo a X , considerada con la topología fpqc.

«Fpqc» es una abreviatura de «fidèlement plate quasi-compacte», es decir, «fielmente plano y cuasicompacto». Toda familia sobreyectiva de morfismos planos y cuasicompactos es una familia de recubrimiento para esta topología, de ahí su nombre.

El procedimiento para definir los grupos de cohomología es el estándar: la cohomología se define como la secuencia de functores derivados del functor que toma las secciones de un haz de grupos abelianos .

Si bien estos grupos tienen varias aplicaciones, en general no son fáciles de calcular, excepto en los casos en que se reducen a otras teorías, como la cohomología étale .

El siguiente ejemplo muestra por qué la "topología fielmente plana" sin condiciones de finitud no se comporta bien. Supongamos que X es la recta afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k . Para cada punto cerrado x de X , podemos considerar el anillo local R _x en ese punto, que es un anillo de valuación discreta cuyo espectro tiene un punto cerrado y un punto abierto (genérico). Unimos estos espectros identificando sus puntos abiertos para obtener un esquema Y. Existe una aplicación natural de Y a X. La recta afín X está cubierta por los conjuntos Spec( R _x ), que son abiertos en la topología fielmente plana, y cada uno de estos conjuntos tiene una aplicación natural a Y , y estas aplicaciones son idénticas en las intersecciones. Sin embargo, no se pueden combinar para dar una aplicación de X a Y , porque los espacios subyacentes de X e Y tienen topologías diferentes.

• morfismo fpqc

• Éléments de géométrie algébrique , vol. IV. 2
• Milne, James S. (1980), Étale Cohomology , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Michael Artin y JS Milne, "Dualidad en la cohomología plana de curvas", Inventiones Mathematicae , Volumen 35, Número 1, diciembre de 1976

• El libro en línea "Teoremas de dualidad aritmética " (PDF) , de James Milne, explica a nivel de cohomología plana los teoremas de dualidad que se originan en la dualidad de Tate-Poitou de la cohomología de Galois.