Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

El lema de Fodor

En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , el lema de Fodor (o lema de presión hacia abajo ) establece: \\kappa is a [[Regular cardinal|regular]], [[uncountable]]...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , el lema de Fodor (o lema de presión hacia abajo ) establece:

El lema de Fodor : Siκ{\displaystyle \kappa }es un cardinal regular e incontable ,S{\displaystyle S}es un subconjunto estacionario deκ{\displaystyle \kappa }, yF:S→κ{\displaystyle f:S\rightarrow \kappa }es regresivo (es decir,F(α)<α{\displaystyle f(\alpha )<\alpha }para cualquierα∈S{\displaystyle \alpha \in S},α≠0{\displaystyle \alpha \neq 0}) entonces hay algoγ{\displaystyle \gamma }y algunos artículos de papeleríaS0⊆S{\displaystyle S_{0}\subsetequ S}de tal manera queF(α)=γ{\displaystyle f(\alpha )=\gamma }para cualquierα∈S0{\displaystyle \alpha \in S_{0}}.

En la terminología moderna, el ideal no estacionario es normal . El lema fue demostrado por primera vez por el teórico de conjuntos húngaro Géza Fodor en 1956.

Prueba

Podemos suponer que0∉S{\displaystyle 0\notin S}(eliminando el 0, si es necesario). Si el lema de Fodor es falso, para cadaα<κ{\displaystyle \alpha <\kappa}Hay algún conjunto de clubdoα{\displaystyle C_{\alpha }}de tal manera quedoα∩F−1(α)=∅{\displaystyle C_{\alpha }\cap f^{-1}(\alpha )=\emptyset }. Dejardo=Δα<κdoα{\displaystyle C=\Delta _{\alpha <\kappa }C_{\alpha }}. Los conjuntos de clubes están cerrados bajo intersección diagonal , por lo tantodo{\displaystyle C}También es un club y por lo tanto hay algunosα∈S∩do{\displaystyle \alpha \in S\cap C}. Entoncesα∈doβ{\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}para cadaβ<α{\displaystyle \beta <\alpha}y por lo tanto no puede haberβ<α{\displaystyle \beta <\alpha}de tal manera queα∈F−1(β){\displaystyle \alpha \in f^{-1}(\beta )}, entoncesF(α)≥α{\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha }, una contradicción .

Existe un lema de Fodor para los árboles:

El lema de Fodor para los árboles : para todos los árboles comunesT{\displaystyle T}y mapeo regresivoF:T→T{\displaystyle f:T\rightarrow T}(eso es,F(t)<t{\displaystyle f(t)<t}, con respecto a la orden sobreT{\displaystyle T}, por cadat∈T{\displaystyle t\in T},t≠0{\displaystyle t\neq 0}), hay un subárbol no especialS⊆T{\displaystyle S\subseteq T}en el cualF{\displaystyle f}es constante.

El lema de Fodor también es válido para la noción de conjuntos estacionarios de Thomas Jech , así como para la noción general de conjunto estacionario.

Referencias

  • Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999). «Capítulo 11, Sección 3». Introducción a la teoría de conjuntos, revisada y ampliada (3.ª  ed.). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9780824779153.
  • Howard, Mark (marzo de 1989). "Aplicaciones del lema de Fodor a la conjetura de Vaught" . Anales de lógica pura y aplicada . 42 (1): 1– 19. doi : 10.1016/0168-0072(89)90063-8 .
  • Versión preliminar de un libro inédito: Thomas, Simon. "El problema de la torre de automorfismos" (PDF) . Universidad de Rutgers . Consultado el 12 de abril de 2026 .
  • Todorcevic, Stevo (marzo de 2011). "Dicótomas combinatorias en la teoría de conjuntos" . The Bulletin of Symbolic Logic . 17 (1): 1– 72. doi : 10.2178/bsl/1294186662 . ISSN 1079-8986 . 

Este artículo incorpora material del lema de Fodor en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .